Г.В. Алексеевская Использование графиков при решении задач, уравнений, неравенств и систем

		20
При решении задач на равномерное движение удобно рассматривать график в
системе координат Sot, где S – путь,		t – время. При этом v – скорость движения
v=S/t- есть величина тангенса угла наклона прямой к оси Ot.
39. Скорый поезд был задержан у семафора на 16						S
мин и ликвидировал опоздание на перегоне в 80 км,
идя со скоростью на 10 км/час больше, чем по рас-
писанию. Определить скорость поезда по расписа-					80
нию.
Строим график (рис. 45). Введем обозначе-
ния: v1 – скорость поезда по расписанию; v2 – ско-
рость поезда после задержки у семафора. v2=v1+10;						16	Рис. 45	t
t1 – время прохождения всего пути по расписанию;
t1=80/v1; t2 – действительное время прохождения
пути, t2=t1–4/15; (4/15 часа=16 мин); t2=80/(v1+10). Тогда 80/v1=80/(v1+10)+4/15 –
уравнение относительно v1.
15×20 (v1+10)=20×15v1+v12+10v1; v12+10v1–3000=0;
(v1)1.2=-5±√25+3000=-5±55=50, –60, т.к. v1>0.
Ответ: v1=50 км/ч.
40. Если велосипедист и мотоциклист выедут одновременно из двух пунктов на-
встречу друг другу, то они встретятся через 1 ч 20 мин. Если они выедут одновре-
менно в одном направлении, то мотоциклист догонит						S
велосипедиста через 4 ч. Найти отношение скорости
мотоциклиста к скорости велосипедиста.
Введем обозначения: vв – скорость велосипеди-
ста; vм – скорость мотоциклиста. Строим график (рис.
46). 1 час 20 мин = 4/3 часа. S – путь между двумя
пунктами.
S=vм× 4/3+vв×4/3=4/3(vм +vв); (S+vв×4)/vм =4 (ч).
(4/3vм+4/3vв+4 vв)/vм=4;	16/3vв=4vм–4/3vм;		16/3vв		=		4/3ч	4ч	t
8/3vм; vм/ vв = 2.
Ответ: 2.						Рис. 46
Рассмотрим другой тип задачи:
41. В школе 220 учеников: 163 играют в баскетбол, 175 –
в футбол, 24 – ни во что не играют. Сколько учеников од-							24
новременно играют в футбол и баскетбол?						21	?	33
Графически играющих учеников можно изобразить
некоторыми множествами (рис.47).		Множество		учени-
ков, играющих в баскетбол обозначено штрихами, мно-
жество учеников, играющих в футбол – точками. Найти						Рис. 47

21

число элементов множества, являющегося пересечением этих двух.

220–163=57 человек не играют в баскетбол; 220–175=45 человек не играют в футбол; 57–24=33 человека играют только в баскетбол; 45–24=21 человек играют только в футбол; 220–33–21–24=142 человек играют и в баскетбол, и в футбол.

Ответ: 142 человека.

Дополнение.

1) Примеры из контрольной работы 2001 г.

При каких значениях параметра а уравнение

9x −4 3x + 3 = 3x −a имеет

решения? Найдем решение.

Введем новую переменную t=3х; t>0, перепишем

y

у1

уравнение:

t2 −4t +3 = t −a .

Так как левая часть неотрицательна, t-a≥0. Обо-

значим y =

t2 −4t + 3

; y

2

= t −a ; у1≥0; у2≥0,

по-

1

строим эти функции в плоскости tOY.

-у0

3

График

y1 – гипербола с центром (2, 0), полу-

у2

осями по t и Y1, так как после возведения обеих частей

в квадрат и выделения полного квадрата поt , получаем

Рис. 48.

(t-2)2-у12=1, причем только ветви, расположенные в

первой четверти (t>0, y1≥0). График y2 – прямая, смещенная

по OY на а, угловой

коэффициент - 1 (рис. 48.)

Очевидно, что у2 пересечет у1, в одной точке при 2<a≤3; -у0<a≤1, у0 найдем из

условия t=0: у12=3; у0=√3.

Точку пересечения ищем, возводя первое уравнение в квадрат: -4t+3=-2at+a2,

откуда t=(a2-3)/2(a-2), или

х=log3(а2-3)/[2(а-2)].

Ответ: 2<a≤3; -√3<a≤1; х= log3{(а2-3)/2(а-2)}.

2) При каких значениях параметра а уравнение

lg(1/ 2

x +3

) −lg(1− x) −lg lg a = 0 имеет

три

у

решения?

у1

Область определения a > 0 ; x <1. Перепи-

шем уравнение в виде:

у2

lg1/ 2

x +3

(1− x) =lglg a ,

1/ 2

x +3

(1− x) =lg a .

Обозначим y1 =1/ 2

x +3

(1− x);

Рис. 49.

y2 = lg a = const . Построим график y1 .

22

При x = −3, x =1,	y	= 0. x > −3, y = (−x2 −2x +3) / 2 = −1/ 2(x +1)2	+2 .
	1	1
x < −3 y =1/ 2(x +1)2		+2 . Это параболы с вершинами (-1; 2) при x > −3, (-1, -2)
1
при x < −3; y1 ≥ 0 .	y1 пересекает y2 = const в трех точках при 0 < y2 < 2.

Ответ: 1 < a <102 .