Е.Н. Грибанов Теория вероятностей и математическая статистика. Методические указания для студентов всех специальностей

50

наблюдений (≥ 0,5); meнак (ωенак )- частота (частость), накопленная к началу медианного интервала; me (ωe )- частота (частость) меди-

анного интервала.

(~ )

О.2. Модой Mo называют такое значение признака, которое

наблюдалось наибольшее число раз. Нахождение моды для дискретного вариационного ряда не требует каких-либо вычислений, так как ей является вариант, которому соответствует наибольшая частота.

В случае интервального вариационного ряда мода вычисляется по следующей формуле:

	M0 = a0 + h	m0 − m0′	или M0 = a0 + h	ω0 −ω0′	,
		2m0 − m0′ − m0′′		2ω0 −ω0′ −ω0′′

где a0 - начало модального интервала, то есть такого, которому соответствует наибольшая частота (частость); m0 (ω0 ) - частота (частость) модального интервала; m0′ (ω0′ ) - частота (частость) интервала, предшествующего модальному; m0′′ (ω0′′) - частота (час-

тость) интервала, следующего за модальным.

Моду используют в случаях, когда нужно ответить на вопрос, какой товар имеет наибольший спрос, каковы преобладающие в данный момент уровни производительности труда, себестоимости. Модальные производительность и себестоимость помогают вскрыть ресурсы, имеющиеся в экономике.

Пример 37. Вычислить моду и медиану для интервального

ряда

Интервалы

3 - 7

7 - 11

11 - 15

15 - 19

19 - 23

23 – 27

Частоты

6

9

11

12

8

4

Решение. Найдём объём выборки по формуле n = ∑mi , или

n = 6 +9 +11+12 +8 +4 = 50. Вычислим накопленные частоты

тнак = 6; т

нак = 6 +9 =15; тнак

= 6 +9 +11 = 26 , следовательно,

1

2

3

медианным является интервал [11−15].

Тогда ае =11, тенак =15 ,

~

25 −15

≈14,36.

те =11 и Ме =11+ 4

11

[15 −19],

следовательно, a0 =15,

Модальным является интервал

m0 =12, m0′ =11, m0′′

~

12 −11

=8 . Тогда

M0

=15 + 4

=15,8 .

24 −11−8

51

34. Показатели вариации Средние величины, характеризуя вариационный ряд числом,

не отражают изменчивости наблюдавшихся значений признака, то есть вариацию. Простейшим показателем вариации является вариационный размах R0 , равный разности между наибольшим и

наименьшим вариантами: R0 = xmax − xmin .

Вариационный размах – приближённый показатель вариации, так как почти не зависит от изменения вариантов, а крайние варианты которые используются для его вычисления, как правило, ненадёжны.

Более содержательными являются меры рассеяния наблюдений вокруг средних величин. Средняя арифметическая является основным видом средних, поэтому ограничимся рассмотрением мер рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической.

Средним линейным отклонением (d ) называют среднюю арифметическую абсолютных величин отклонений результатов

1 n

наблюдений от их средней арифметической d = n i∑=1 xi − x .

Эмпирической дисперсией (S 2 ) называют среднюю арифме-

тическую квадратов отклонений результатов наблюдений от их

средней арифметической S 2 = 1 ∑n (xi − x)2 . Если по результатам n i =1

наблюдений построен вариационный ряд, то эмпирическая дисперсия S2 = n1 ∑(xi − x)2 mi .

Вместо эмпирической дисперсии в качестве меры рассеяния наблюдений вокруг средней арифметической часто используют эмпирическое среднее квадратическое отклонение, равное арифметическому значению корня квадратного из дисперсии и имеющее ту же размерность, что и значения признака. Для вариационного ряда среднее квадратическое отклонение:

S = n1 ∑(xi − x)2 mi .

Свойства эмпирической дисперсии

1.Дисперсия постоянной величины равна нулю.

2.Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то дисперсия не изменится.

52

3.Если все результаты наблюдений уменьшить (увеличить) в

одно и то же число k раз, то дисперсия уменьшится (увеличится) в k2 раз.

4.Эмпирическая дисперсия равна разности между средней арифметической квадратов наблюдений и квадратом средней

арифметической S 2 = x2 −(x)2 .

Пример 38. Найти эмпирическую дисперсию и выборочное среднее квадратическое отклонение для следующего интервального вариационного ряда

Интервалы

3 – 7

7 - 11

11 - 15

15 - 19

19 - 23

23 – 27

Частоты

6

9

11

12

8

4

Решение.

Эмпирическую

дисперсию найдём по

формуле

S2 =

−(x)2 и

= n1 ∑ xi2mi где xi - середины интервалов

x2

x2

mi

- соответствующая частота, тогда

=

1

(52 6 +92 9 +132 11+172 12 + 212 8 + 252 4)=

12234

x2

=

50

50

= 244,6,

x =14,52,

S 2 = 244,68 −14,522 = 33,8496.

35. Эмпирические центральные и начальные моменты Средняя арифметическая и дисперсия вариационного ряда

являются частными случаями более общего понятия о моментах вариационного ряда.

О.1. Эмпирическим начальным моментом (νk ) порядка k на-

зывают взвешенную среднюю арифметическую k-х степеней вариантов ν~k = xk = n1 ∑ xik mi .

О Эмпирическим центральным моментом (~k )

.2. µ порядка k называют взвешенную среднюю арифметическую k-х степеней

отклонений

вариантов

от

их

средней

арифметической

~

1

k

k

mi .

µk = (x − x) =

n

∑(xi − x)

Эмпирический

центральный

момент

нулевого

порядка равен

~

1

0

0

µ0

= (x − x) =

n

∑(xi − x)

mi =1.

53

Эмпирический

1

центральный

момент

первого

порядка

равен

~

1

1

= 0 .

µ1

= (x − x) =

n

∑(xi − x) mi

Эмпирический

центральный

момент

второго

порядка

равен

1

~

2

~

~2

2

2

= S

.

µ2

= (x − x) =

n

∑(xi − x) mi =ν2

−ν1

Эмпирический центральный момент третьего порядка равен

~			1	3	~	~ ~	~3
		3
µ3	= (x − x)		= n	∑(xi − x)	mi =ν3	−3ν2ν1	+ 2ν1 .

Эмпирический центральный момент четвёртого порядка равен

~				1	4	~	~ ~	~ ~2	~4
		4	=
µ4	= (x − x)			n	∑(xi − x)	mi =ν4	−4ν3ν1	+6ν2ν1	−3ν1 .

Рассмотрим свойства центральных моментов, которые позволяют значительно упростить их вычисление.

1.Если все варианты уменьшить (увеличить) на одно и то же число, то центральный момент k-го порядка не изменится.

2.Если все варианты уменьшить (увеличить) в одно и то же число q раз, то центральный момент k-го порядка уменьшится

(увеличится) в qk раз.

36. Эмпирические асимметрия и эксцесс

(~)

Эмпирическим коэффициентом асимметрии A называют

отношение центрального момента третьего порядка к кубу средне-
	~	~			~
		µ	3		µ	3
го квадратического отклонения	A =			=			.
					~3
		S	3
					µ2

Если полигон вариационного ряда скошен, то есть одна из его ветвей, начиная от вершины, зримо длиннее другой, то такой ряд называют асимметричным. Если в вариационном ряду преобладают варианты, меньшие x , то эмпирический коэффициент асимметрии отрицателен, и в этом случае имеет место левосторонняя асимметрия. Если же в вариационном ряду преобладают варианты, большие x , то эмпирический коэффициент асимметрии положителен, и в этом случае имеет место правосторонняя асимметрия. При левосторонней асимметрии левая ветвь длиннее правой. При правосторонней, более длинной является правая ветвь.

54

Эмпирический коэффициент асимметрии не имеет ни верхней, ни нижней границы, что снижает его ценность как меры асимметрии. Практически коэффициент асимметрии редко бывает особенно велик, а для умеренно асимметричных рядов он обычно

меньше единицы.

(~)

Эмпирическим эксцессом или коэффициентом крутости E

называют уменьшенное на три единицы отношение центрального

момента четвёртого порядка к четвёртой степени среднего квадра-
~		~			~
		µ	4		µ	4
тического отклонения: E	=			−3 =			−3.
		S	4		~2
					µ	2

За стандартное значение эксцесса принимают нуль-эксцесс нормальной кривой распределения. Кривые, у которых эксцесс отрицательный, по сравнению с нормальной менее крутые, имеют более плоскую вершину и называются «плосковершинными». Кривые с положительным эксцессом более крутые по сравнению с нормальной кривой, имеют более острую вершину и называются «островершинными».

Т. Коэффициенты асимметрии и эксцесса не зависят от вы-

бора начало отсчёта и единицы измерения, то есть для любых
постоянных a ≠ 0 и b,	~	~	~	~	(x).
	A(ax +b)=	A(x), E		(ax +b)= E

Доказательство. По свойствам эмпирических центральных момен-

~

~

(ax +b)

a

3

~

(x)

~

тов

имеем

=

µ

3

=

µ

A(ax +b)

+b))

a

3

µ

2 (x)

= A(x) и

(µ

(ax

~

3

~3

~

~

(ax +b)

a

4

~

(x)

~

(x)

~

(ax +b)=

µ

4

µ

4

µ

4

(x).

E

−3

=

−3 =

−3 = E

~2

(ax +b)

a

4

~2

(x)

µ

2

(x)

µ

2

µ

2

2

37. Метод условных вариантов для расчёта основных числовых характеристик вариационного ряда

Значения вариантов могут быть достаточно большими, и, следовательно, вычисление числовых характеристик достаточно трудоёмко. Поэтому для дискретного вариационного ряда при вычислении коэффициентов асимметрии и эксцесса желательно пе-

рейти к условным вариантам по формуле ui = xi h−C , где h- шаг вариационного ряда, С- ложный ноль, то есть вариант, имеющий

55

либо наибольшую частоту, либо равноудаленный от максимального и минимальных вариантов. Тогда основные числовые характеристики для вариантов x и u связаны соотношениями x = hu +C ;

~	~	~	~	(u).
S 2 (x)= h2S 2 (u) и A(x)= A(u); E			(x)= E

Пример 39. Перейдя к условным вариантам, вычислить эмпирические коэффициенты асимметрии и эксцесса для интервального вариационного ряда.

Интервалы	[3 – 7)	[7 – 11)	[11 – 15)	[15 – 19)	[19 – 23)	[23 – 27)
Частоты	6	9	11	12	8	4

Решение. Шаг интервального вариационного ряда равен h=4. Интервал, имеющий наибольшую частоту [15;19[, то за условный

ноль примем его середину С=17. Перейдём к условным вариантам

по формуле u													=				xi −17						. Тогда получим дискретный вариацион-
											i										4
ный ряд.
ui				-3				-2			-1							0					1		2
mi				6				9				11									12		8		4	моменты:
Найдём эмпирические начальные
ν~		=		1 ∑u m					i		=			1					(−3 6 −2 9 −11+8 + 2 4)= − 31 = −0,62 ;
1				n				i					50											50
ν~		=		1 ∑u2m						i		=				1					((−3)2			6 +(−2)2 9 +(−1)2 11+8 + 22 2)=
2				n				i					50
=	125				= 2,5;
																				((−3)3 6 +(−2)3 9 +(−1)3 11+8 + 23 2)=
		50
ν~3 = n1 ∑ui3mi =															1
															50
= −			205				= −4,1;
		50																			((−3)4			6 +(−2)4 9 +(−1)4 11+8 + 24 2)=
ν~		=		1 ∑u4m						i		=				1
4				n				i					50

= 71350 =14,26.

Найдём эмпирические центральные моменты:

~	~	~2		2		= 2,1156;
µ2	=ν2	−ν1 =	2,5 − (− 0,62)
~	~	~ ~2	~3	= −4,1		3
µ3	=ν3	−3ν2ν1	+ 2ν1		+3 2,5 0,62 + 2(−0,62)		≈ −1,1554;

					56
~	~	~ ~	~ ~2	~4	=14,26 + 4 4,1 0,62 +
µ4	=ν4	−4ν3ν1	+6ν2ν1	−3ν1

+6 2,5 (−0,62)2 −3 (−0,62)4 ≈ 7,1956.

Тогда среднее арифметическое равно

x = hu +C = hν~1 +C = 4 (−0,62)+17 =14,52.

Эмпирическая дисперсия равна

S	2	(x)= h	2	S	2	(u)= h	2	~	=16 2,1156 = 33,8496 .
								µ2

Эмпирический коэффициент асимметрии равен

~

~

−1,1554

=

µ

3

=

≈ −0,375.

A

2,11563

µ3

2

Эмпирический коэффициент эксцесса равен

~

~

7

,1956

µ

4

E

=

−3

=

−3

≈ −1,392.

~2

2,1156

2

µ

2

38. Статистическое оценивание параметров распределения

В самом общем смысле содержание этой темы можно сформулировать как совокупность методов, позволяющих делать научно обоснованные выводы о числовых параметрах распределения генеральной совокупности по случайной выборке из неё. Если, например, нас интересует математическое ожидание генеральной совокупности, то задача статистической оценки параметров заключается в том, чтобы найти такую выборочную характеристику, которая позволила бы получить по возможности более точное и надёжное представление об интересующем нас параметре (в данном случае о математическом ожидании). Состав выборки случаен, поэтому выводы о параметрах генеральной совокупности, сделанные по выборочным данным, могут быть ложными. С возрастанием числа элементов выборки вероятность правильного вывода увеличивается. Поэтому всякому решению, принимаемому при статистической оценке параметров, стараются поставить в соответствие вероятность, характеризующую степень достоверности принимаемого решения.

Сформулируем задачу оценки параметров в общем виде. Пусть X - случайная величина, подчиненная закону распределения F (X ,Θ), где Θ - параметр распределения, числовое значение

которого неизвестно. Исследовать все элементы генеральной со-

57

вокупности для вычисления параметра Θ не представляется возможным, поэтому об этом параметре пытаются судить по выборкам из генеральной совокупности.

Всякую однозначно определённую функцию результатов наблюдений, с помощью которой судят о значении параметра Θ , называют оценкой (или статистикой) параметра Θ . Рассмотрим некоторое множество выборок, объёмом п каждая. Выборочную оценку параметра Θ , вычисленную по i -й выборке, обозначим

Θni . Так как состав выборки случаен, то можно сказать, что

Θni примет неизвестное заранее числовое значение, то есть явля-

ется случайной величиной.

Известно, что случайная величина определяется законом распределения и числовыми характеристиками, следовательно, и выборочную оценку можно также описывать законом распределения и числовыми характеристиками.

Для того чтобы отразить случайный характер выборки объёмом п из генеральной совокупности, обозначим её (X1, X2 ,K, Xn),

а выборочную оценку параметра Θ - через ~ . Следовательно,

Θn

можно записать ~n f (X1 , X2 ,K, Xn ). Выбор оценки, позво-

=

Θ

ляющей получить хорошее приближение оцениваемого параметра,

– основная задача теории оценивания.

39. Основные свойства оценок

~

О.1. Оценку Θn параметра Θ называют несмещённой, если

её математическое ожидание равно оцениваемому параметру Θ ,

(~ )

то есть M Θn =Θ . Если это равенство не выполняется, то оценка

~ может либо завышать значение Θ , либо занижать его. В обоих

Θn

случаях это приводит к систематическим ошибкам в оценке параметра. Требование несмещённости гарантирует отсутствие систе-

матических ошибок при оценке параметров.

~

О.2. Несмещённую оценку Θn , которая имеет наименьшую

дисперсию среди всех несмещённых оценок параметра Θ , вычисленных по выборкам одного и того же объёма, называют эффек-

тивной оценкой. ~

О.3. Оценку Θn параметра Θ называют состоятельной, если она подчиняется закону больших чисел, то есть при достаточно

58

большом числе независимых наблюдений п с вероятностью, близ-

~

кой к единице, можно утверждать, что разность между Θn и Θ по

абсолютной величине окажется меньше сколь угодно малого чис-
ла τ , или	~	−η, где η- положительное число,
	p{Θn −Θ <τ}>1

близкое к нулю.

На практике при оценке параметров не всегда удаётся удовлетворить одновременно требованиям несмещённости, эффективности и состоятельности оценки. Так, например, может оказаться, что для простоты расчётов целесообразно использовать незначительно смещённую оценку. Однако выбору оценки всегда должно предшествовать её критическое рассмотрение со всех точек зрения.

40. Оценка математического ожидания и дисперсии Наиболее важными числовыми характеристиками случайной

величины являются математическое ожидание и дисперсия. Рассмотрим вопрос о том, какие выборочные характеристики лучше всего в смысле несмещённости, эффективности и состоятельности оценивают математическое ожидание и дисперсию.

Т.1. Средняя арифметическая x , вычисленная по п независимым наблюдениям над случайной величиной Х, которая имеет математическое ожидание µ, является несмещённой оценкой это-

го параметра.

Доказательство. Пусть X1 , X2 ,K, Xn независимые наблю-

1 n

дения над случайной величиной. По определению x = ∑Xi . n i=1

		1	n		1	n	1
Найдём	M(x)= M		∑Xi =			∑M(Xi )=			µn = µ. Следователь-
							n
	n i=1				n i=1
но: M (x)= µ .

Т.2. Средняя арифметическая x , вычисленная по п независимым наблюдениям над случайной величиной, которая имеет ма-

тематическое ожидание µ и дисперсию σ 2, является состоятельной оценкой этого параметра.

59

Доказательство. Вычислим

1

n

1

n

1

n

1

σ 2

D(x)= D

∑ Xi =

∑D(Xi )=

∑σ 2 =

nσ 2

=

.

n2

n

n i=1

n2 i=1

n2 i=1

Запишем неравенство Чебышева для средней арифметической x ,

p{

x −µ

<τ}>1−

D(x)

или p{

x −µ

<τ}

>1−

σ 2

. При достаточно

τ 2

nτ 2

большом числе испытаний величина

σ 2

является числом, близ-

nτ 2

ким к нулю. Поэтому~для сколь угодно малого числа τ

выполня-

ется неравенство p{Θn −Θ

<τ}>1−η,

определяющее

свойство

состоятельности выборочных оценок.

Получение эффективных оценок - сложное дело. Приведём без доказательства важный для практики факт. Если случайная величина Х распределена по нормальному закону с параметрами

(µ,σ 2 ), то несмещённая оценка x математического ожидания µ имеет минимальную дисперсию σ 2 n , поэтому средняя арифме-

тическая x в этом случае является эффективной оценкой математического ожидания µ.

Т.3. Если случайная выборка состоит из п независимых наблюдений над случайной величиной Х с математическим ожида-

нием

µ и

дисперсией

σ 2, то выборочная дисперсия

S2 =

n

− x)2

не является несмещённой оценкой генераль-

1 ∑(Xi

n i=1

ной дисперсии.

Доказательство. По условию M (Xi )= µ и D(Xi )=σ 2 тогда

1

n

1

n

1

n

S 2 =

∑(Xi

− x)2

=

∑((Xi

−µ)−(x −µ))2 =

∑(X i −µ)2 −

n i =1

n i =1

n i =1

−

2

(x −µ)∑n (X i −µ)+(x −µ)2

n

i =1