практикум_Мат.анализ

Пример 17.

Составить уравнения касательных к кривой y

3x 2

параллельных прямой,

проходящей через точку A 1;1 и точку пересечения прямых

x

y x 6

и y 3x 2 .

Решение.

Найдем точку B пересечения прямых y x 6

и y 3x 2 . Для этого составим и

решим систему

y x 6

x 1

.

y

3x 2

y

5

Составим уравнение прямой AB . Используем уравнение прямой, проходящей через

две точки

x x1

y y1

x 1

y 1

y 2x 3 . Угловой коэффициент прямой

x

y

x

2

y

2

1 1

5 1

1

1

AB равен k АВ

2 .

Угловой

коэффициент

касательной

kкас y

Найдем

x0 .

3x 2

3x 3x 2

2

3x 2 x 3x 2 x

y

x

x 2

2

x 2

x

x

Прямая AB проходит параллельно искомой

касательной, следовательно, их

угловые

коэффициенты связаны соотношением k1AB kкас

2 . Из этого условия найдем координаты

точки касания y x

2

2 x

1.

0

0

x2

0

x01 1

x02

1

.

Найдем соответствующие значения ординат: M1 :

1

и при M 2 :

5

Значит параллельно прямой AB

y01

y02

проходят две касательные в двух точках.

Запишем уравнение касательной в точке M1 1;1 :

y 1 2 x 1 или y 2x 1.

Уравнение касательной в точке M 2 1;5 :

y 5 2 x 1 или y 2x 7 .

Упражнения

Найти экстремумы и интервалы монотонности функций:

1.

y 3x2 2 x3 .

Ответ:

ymin y(0) 2,

ymax y(2) 2, функция

возрастает на интервале 0,2 и убывает на интервалах

,0 , 2, .

e2( x 1)

2. y 2(x 1) .

Ответ: ymin y(1,5) e, функция убывает на интервалах;1 , 1;1,5 и возрастает на интервале 1,5; .

3. y ln x x 1.

31

Ответ: нет экстремумов. Функция возрастает на всей области определения ,0 1, .

4. y x2 4x 13 . 4x 3

Ответ: нет экстремумов. Функция убывает на всей области определения ; 0,75 0,75; .

Найти наибольшее и наименьшее значения функций на заданных отрезках:

5.	y 4 x	4	,	1,4 .
		x2
					Ответ:	yнаим	y(1) 1,	yнаиб y(2) 1.
6.	y ln(x2 2x 3),				3,0 .
					Ответ:	yнаим	y( 1) ln 2,		yнаиб y( 3) ln 6.

Найти асимптоты графиков функций:

7.y x3 4 .

x2

Ответ:	x 0 –	вертикальная	асимптота,	y x –
наклонная асимптота

8.	y	8 x2
						.
			x2	4

Ответ: x 2 – вертикальные асимптоты, y x – наклонные асимптоты.

ln(x 1) 9. y x 2 .

Ответ: x 1–вертикальная асимптота, y 0 – горизонтальная асимптота.

Исследовать функции и построить их графики:

	4
10.	y		.
		x2 2x 3

Ответ:	область	определения ; 3 3;1 1; .
x 1,	x 3 –	вертикальные асимптоты, y 0 –
горизонтальная		асимптота; ymax y( 1) 1;функция
возрастает на интервалах			; 3 3; 1 и убывает на
интервалах 1;1 1; ;			y 0 4	.
			3

11. y x ln x.

32

Ответ: область определения 0, ; ymin y(e 2 ) 2 / e ; функция возрастает на интервале e 2 , и убывает на

интервале 0, e 2 ; y(1) 0.

12.y x3 32 .

x2

Ответ:

область

определения

,0 0, ;

x 0 –

вертикальная асимптота,

y x –

наклонная

асимптота;

ymax y( 4) 6 ,

функция

возрастает

на

интервалах

, 4 ,

0,

и

убывает

на

интервале;

(-4,0),

y(3 32) 0 .

13.

y (3 x)ex 2 .

Ответ:

Область

определения

, ;

y 0

–

горизонтальная асимптота при

x ;

ymax y(2) 1;

функция

возрастает на

интервале

,2

и

убывает

на

интервале 2, ;

y(3) 0, y(0)

3/ e2 .

14. Составить уравнение касательной к кривой

y ln x 1

перпендикулярной

прямой,

образующей с положительным направлением оси OX угол 450 .

Ответ:

y x 2

15.

Составить

уравнение

касательной

к

кривой

y x2

2x 3

параллельной

прямой

2x y 2 0 и

уравнение

прямой, проходящей через

точку

A 1;2

перпендикулярно

к

найденной касательной.

Ответ: уравнение касательной y 2x 3 ,

уравнение прямой y

1

x

5

2

2

16.

Составить уравнения касательных к кривой y

4

в точках ее пересечения с прямой

x 1

x y 1 0 .

Ответ:

y x 5

и y x 3

17. Составить уравнение прямой, проходящей через начало координат перпендикулярно касательной к кривой y ln x , проведенной в точке пересечения кривой с осью абсцисс.

Ответ: y x

18. Найти точку C пересечения касательной, проведенной к кривой y x2 2x 2 в точке с

абсциссой x 2 , и прямой, проходящей через точки A 0;2 и	B 3;0 .
	Ответ: C 3;4
	33

19. Составить уравнения касательных к кривой y x2 4x 3, проходящих через точку

A 2; 2 .

Ответ: y 2x 6 и y 2x 2

Неопределённый интеграл

Функция F x называется первообразной функцией для функции		f x на промежутке
X , если в каждой точке этого промежутка
	F x f x .

Теорема. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым.

Неопределенным	интегралом от функции	f x называется совокупность всех
первообразных функции	f x на промежутке X :	f x dx F x C ,
где F x - некоторая первообразная для f x ,		C произвольная постоянная.

Основные правила интегрирования

1)f x dx f x dx .

2)f x g x dx f x dx g x dx .

3) f kx b dx

1

F kx b C ,

k 0 .

k

Таблица простейших интегралов

0dx C ,

sin xdx cos x C ,

dx x C ,

cos xdx sin x C ,

x

n

dx

1

x

n 1

C, n 1

dx

1

ln

x a

C, a 0

n 1

x2 a2

2a

x a

dx

dx

ln

x

C, x 0 .

ln

x x2

a 2

C, a 0

x

x2 a 2

axdx

1

ax

C, a 0, a 1

dx

tgx C,

ln a

cos

2

x

exdx ex

C ,

dx

ctgx C .

sin

2

x

34

Метод замены переменной (метод подстановки): Если заданный интеграл f x dx

не может быть непосредственно преобразован к табличному интегралу, то введя новую

переменную t : x t , справедлива формула
	f x dx f t t dt .

Метод интегрирования по частям: Если u u x и v v x - дифференцируемые функции, то

udv uv vdu .

Пример 1. Вычислить интеграл (1 x)3 dx . x 3x

Решение.

		(1 x)3
		x 3 x

3x2

x4 / 3

x 1/ 3

1/ 3

Преобразуем подынтегра льную

1 3x 3x2

x3

1

3x

функцию, используя формулы

dx

3

a

3

3a

2

b 3ab

2

b

3

dx

dx

dx

(a b)

x

4 / 3

x

4 / 3

x

4 / 3

n

a

k

a

n k

a

x3

Применим формулу

x 4 / 3dx 3 x 1/ 3dx 3 x2 / 3dx

dx

dx

x5 / 3dx

x

n 1

x4 / 3

xn dx

C

n 1

x2 / 3

x5 / 3

x8 / 3

1/ 3

9

2 / 3

9

5/ 3

3

8 / 3

3

3

C 3x

x

x

x

C .

2 / 3

5 / 3 8 / 3

2

5

8

Пример 2. Вычислить интеграл

x

dx .

5 3x2

Решение.

Используем метод замены

переменной . Пусть 5 3x 2

t.

x

dx Тогда дифференциал t равен

5 3x2

dt (5

3x 2 ) dx 6xdx. Откуда

xdx

dt

6

1

Проведем обратную

5 3x2

ln

C .

замену переменной .

6

Применим формулу

1

dt

1

dx

ln

t

C

t

6

ln

x

C

6

x

Пример 3. Вычислить интеграл		2 ln x		dx .
		x
Решение.

35

Используем метод замены

2 ln x

dx

переменной . Пусть 2 ln x t.

x

ln x) dx

1

Тогда dt (2

dx.

x

2

(2 ln x)3/ 2

C .

3

Пример 4. Вычислить интеграл

(4 3x2 )e x dx .

Решение.

	Применим формулу									t 3/ 2
tdt		n		x	n 1						C
	x		dx				C			3 / 2
				n 1

Используем формулу интегрирования

по частям : udv uv vdu.

(4 3x 2 )e x dx

3x 2 ,

а dv e x dx.

Пусть u 4

(4 3x2 )e x 6xe x dx

du

(4 3x 2 ) dx 6xdx ,

Тогда

а

dv

e

x

dx e

x

C

v

(пустьС 0).

Для полученного интеграла

снова применим

формулу

интегрирования по частям.

(4

3x 2 )e x (6xe x 6e x dx) (4 3x 2 )e x 6xe x

x

Пусть u 6x,

а

dv e

dx.

Тогда

du (6x) dx 6dx,

а

v

e x dx e x C (C 0).

6 e x dx (4 3x2 )e x 6xe x 6e x C (4 3x2

6x 6)e x C (3x2

6x 10)e x C .

Пример 5. Вычислить интеграл

dx

.

9x2

6x 5

Решение.

Преобразуем знаменател ь подынтегральной

dx

dx

функции, выделив полный квадрат

2

5

9x 6x 5

6

9 x2

x

6

5

2

1

1

5

1

2

2

9

9

2

2

x

x

x

x

x

9

9

3

9

3

9 9

3

1

dx

Произведем замену переменной

1

dt

9

x

1/ 3

2

9

t

2

2 / 3

2 / 3

t x 1/ 3,

тогда dt x 1/ 3 dx dx

36

Применим формулу

1

1

t 2 / 3

1

x 1/ 3

2 / 3

dx

1

x a

ln

C

ln

C .

ln

C

9

2 2 / 3

t 2 / 3

18 2 / 3

x 1/ 3

2 / 3

2

a

2

2a

x a

x

Упражнения

Найти интегралы, преобразовав подынтегральные выражения:

			3											2
					x		2		5						4
											x
1.																		dx .
								x3/ 2
2.								dx								.
			cos 2x sin 2
														x
3.						2 x2 2 x2														dx .
										4 x4

Используя метод замены переменной,

tgx

4. cos 2 x dx .

e1/ x

5. x 2 dx .

6. x ln x dx . x

7.
	1 3cos 2 x sin 2x dx .

Ответ.

6

5 / 6

60 11/ 30

10x

1/10

C.

х

x

5

11

Ответ. tgx C.

x

Ответ.

arcsin

ln

x

2 x2

C.

2

найти интегралы:

Ответ.

2

tg 3/ 2 x C.

3

Ответ.

e1/ x C.

Ответ.

ln 2 x

C.

2

x

2

Ответ.

2

1 3cos 2 x 3/ 2 C.

9

Используя метод интегрирования по частям, найти интегралы:

8. (x2

3x)e x dx .

Ответ. e x (x2

5x 5) C.

9.

ln x

dx .

Ответ.

ln x

1

C.

3

2

2

x

2x

4x

10.

3x cos x dx .

Ответ.

3x (sin x ln 3 cos x)

C.

1 ln 2 3

Найти интегралы от рациональных дробей:

11.

xdx

.

Ответ.

1

x2 7x 6

7

x 6

C.

ln

ln

x2 7x 6

x 1

2

10

x3

x2

12.

dx .

Ответ.

6x

41

ln

x2 6x 5

153

ln

x 3

14

C.

x2 6x 5

2

2

2 14

x 3 14

37

13.		dx	.	Ответ.		1			x 7		C.
							ln
		4x x2						x 3
	21				10

Определённый интеграл

на отрезке a,b .

Определенным интегралом

n

интегральной суммы f i xi

i 1

	Пусть		функция		y f x определена			на
отрезке a,b				и a x0 x1		x2	xn b -
произвольное разбиение этого отрезка на								n
частей. На каждом отрезке разбиения выберем
некоторую точку i					и положим
	xi xi		xi 1 ,		где i 1,2,3,...., n .
					n
		Сумма		вида	f i	xi	называется
					i 1
интегральной суммой для функции y f x
от функции	y f x		на отрезке a,b			называется предел
при 0 ,	где max xi :
			i
b		n
f x dx lim		f i xi .
a	0	i 1

Теорема (достаточное условие существования определенного интеграла). Если
функция y f x непрерывна на отрезке a,b , то она интегрируема на этом отрезке.
			Свойства определенного интеграла
	b	b		b	a
1)	f x dx f x dx ,			3)	f x dx f x dx ,
	a	a		a	b
	b	b	b	b	c	b
2)	f	x g x dx f (x)dx g(x)dx ,		4)	f x dx f x dx	f x dx .
	a	a	a	a	a	c

Формула Ньютона-Лейбница. Если F x . f x , то

b
f x dx F (x)		ba F b F a .
a

Метод замены переменной:		Если	функция	f x непрерывна	на отрезке a,b и
x t - функция, непрерывная		вместе	со своей	производной на	отрезке , , где
a и b , причём	f [ (t )] определена и непрерывна на отрезке , , то
	b
		f x dx f t t dt .
	a
					38

Метод интегрирования по частям:		Если функции u u x и								v v x имеют
непрерывные производные на отрезке a,b , то
	b			b		b
	udv uv				vdu ,
	a			a		a
где uv	b u b v b u a v a .
	a
		e5			ln x 1
Пример 1. Вычислить определенный интеграл									dx .
				x		ln x	1
		e	2
Решение.

e5			ln x 1
						dx
		x
				ln x 1
e	2

	t 3/ 2		4		43/ 2
3 / 2			1		3 / 2

Произведем замену переменной .

Пусть t ln x 1. Тогда dt (ln x 1) dx

Найдем новые пределы интегрирования :

если

x e2 , то t ln e2

1 2 1 1;

если

x e5

, то t ln e5

1 5 1 4.

13/ 2

8

1

7

14

.

3 / 2 3 / 2 3 / 2 3 / 2

3

1
	dx.
x		4			4
			t			dt
							t dt
				t
		1			1

4

Пример 2. Вычислить определенный интеграл ( x 1) ln xdx .

1

Решение.

Используем формулу интегрирования

по частям для определенного интеграла

4

4

4

udv uv

vdu.

Пусть

4

1

1

1

(

x 1) ln xdx

ln x ,

dv (

x 1)dx. Тогда

1

u

а

1

du (ln x) dx

dx ,

а

x

dv

(

1)dx

x

3/ 2

x C (C

v

x

3 / 2

4

3/ 2

3/ 2

4

1/ 2

3/ 2

4

x

1

dx

x

x

x

x

x ln x

1 dx

1

3 / 2

x

3 / 2

1

1

3 / 2

3 / 2

3/ 2

3/ 2

3/ 2

4

1

2

4

=

4

ln 4

4

3 / 2

3 / 2

3 3 / 2

		x3/ 2
					4
				x ln x
			3 / 2
					1
0).

	4		2 x3/ 2				4
x ln x						x
			3 3 / 2
	1						1

39

			2		3/ 2				28				68		13				28			55
					1
							1			ln 4	0									ln 4					.
			3		3 / 2				3				9		9				3			9
	Пример 3. Вычислить определенный интеграл																					2 3x2 5x 12					dx .
																									x2	6x 7
																						0

						Подынтегральная функция является
2		2																						2
			5x			неправильной рациональной дробью.
	3x				12
						dx Представим ее в виде целой части																и			3
	x 2		6x
					7
0						правильной дроби										3x 2			5x 12					0
																	x	2	6x 7
									13x 33
						3
								x	2	6x			7
	2		2		13x 33							2	13x 33								2	13x 33
										2
3dx							dx 3x													dx 6
					2					0					2									2
	0		0 x 6x 7									0	(x 3)				16				0	(x 3)			16

13x 33
		dx
x 2 6x
	7

dx.

2

13х 33

Вычислим отдельно второй интеграл

dx . Его можно решить двумя способами:

х2

6х

7

0

1-й способ. Выделим полный квадрат в знаменателе и выполним замену переменной

2

13х 33

2

13х 33

dx

dx

х2 6х 7

0

0

(х 3)2 16

Замена переменной t x 3,

(x 3) dx dx.

dt

1

1

72

13(t 3) 33

13t

Новые пределы интегрирования :

dt

dt

то t 0 3 3 ;

3

t 2 16

3 t 2

16

если х 0,

если х 2,

то t 2 3 1.

В первом интеграле выполним замену переменной :

dz

2

2

z t

16,

dz (t

16)

dt 2tdt. Тогда tdt

.

2

1

1

Новые пределы интегрирования :

13

t dt

72

dt

если t 3, то z ( 3)2

16 7 ;

t 2 16

t 2 16

3

3

если t 1, то z ( 1)2

16 15.

Для второго интеграла воспользуемся

x a

dx

1

формулой

ln

C.

2

a

2

2a

x

a

x

40