практикум_Мат.анализ
.pdfФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ
ФИНАНСОВЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПРИ ПРАВИТЕЛЬСТВЕ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
БАРНАУЛЬСКИЙ ФИЛИАЛ
М.А. Ильина, Н.Т. Копылова, М.Л. Поддубная, Е.Г. Свердлова
ПРАКТИКУМ по математическому анализу
Учебно-методическое пособие
Барнаул – 2012
1
УДК 51 ББК 22.143+22.161
Ильина М.А., Копылова Н.Т., Поддубная М.Л., Е.Г. Свердлова. Практикум по математическому анализу: Учебно-методическое пособие.-Барнаул: Изд-во АлтГТУ, 2012. – 153 с.
Учебно-методическое пособие подготовлено для студентов I курса, обучающихся по направлениям «Экономика», «Менеджмент» и «Бизнес-информатика», квалификация бакалавр.
В пособие разобраны типовые задачи, приведен основной теоретический материал и формулы, задачи для самостоятельного решения.
Методические указания могут быть использованы при выполнении контрольной работы и при подготовке к экзамену по дисциплине.
Рецензент: Половникова Е.С., к.ф.-м.н., доцент Алтайской академии экономики и права.
Печатается по решению кафедры математики и информатики (протокол № 7 от
07.02.2012)
2
Предел и непрерывность
Число A называется пределом функции |
y f x |
при x , если для любого, |
сколь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
угодно |
малого |
положительного |
числа |
0 , |
найдется |
такое положительное число |
S 0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
(зависящее от ), что для всех x |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
S , верно неравенство |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
таких что |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Обозначают: lim f x A или f x A при x . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Число A называется пределом функции |
y f x |
в точке x0 , если для любого, |
сколь |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
угодно |
малого |
положительного |
числа |
0 , |
найдется |
такое положительное число |
0 |
|||||||||||||||||||||||||||||
(зависящее от ), что для всех |
x , |
не равных |
|
x0 и удовлетворяющих условию |
|
x x0 |
|
, |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
выполняется неравенство |
|
f x A |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Обозначают: lim f x A или f x A при x x0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Функция x называется бесконечно малой величиной при x x0 или при x , если |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ее предел равен нулю: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
0 . |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
Функция y f x |
называется бесконечно большой при x x0 x , если ее предел |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
равен бесконечности: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f x . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Теорема о связи между бесконечно малыми и бесконечно большими величинами. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Если функция |
x есть бесконечно малая |
величина при x x0 ( x ), то функция |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
f x |
|
|
1 |
|
является бесконечно большой при x x0 ( x ). И, наоборот. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Вторым замечательным пределом называется предел числовой последовательности |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
an 1 |
|
|
|
: |
|
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
e , |
где n 1,2,3, |
|
|
|
||||||||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
1 x |
, то при x функция имеет также предел, |
|||||||||||||||||||
Если рассмотреть функцию |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x |
e . |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
равный числу e : |
|
|
|
|
|
|
lim 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Если существуют |
lim |
f x A |
и |
lim |
x B , то имеют место теоремы о пределах: |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1)lim f x x A B .
x0x
3
2) |
lim |
f x x A B . |
|
|
|
|
|||
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3) |
lim |
f x x |
A |
, B 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x x0 |
|
B |
|
|
|
|
||
4) |
Если lim f u A , lim x u0 , то предел сложной функции |
||||||||
|
|
u u0 |
x x0 |
|
|
|
|
||
|
lim f x A . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
, [ ], |
|
При вычислении пределов часто возникают выражения вида |
|
|
, |
|
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
Такая ситуация называется неопределённостью, а поиск предела в этой ситуации
неопределённостей.
[ 0] , [1 ] .
– раскрытие
Правило Лопиталя. Предел отношения двух бесконечно малых или бесконечно больших функций равен пределу отношения их производных (конечному или бесконечному)
Итак, если имеется неопределенность вида |
0 |
|
или |
|
|
, то |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
|
lim |
lim |
f (x) |
||
(x) |
(x) |
|||
( x ) |
( x ) |
|||
x x0 |
|
x x0 |
|
|
Функция f x называется непрерывной |
в точке |
|||
следующим условиям: |
|
x0 ; |
|
|
1) определена в точке x0 , т.е. существует f |
|
.
x0 , если она удовлетворяет
2)имеет конечные односторонние пределы функции при x x0 слева и справа;
3)эти пределы равны значению функции в точке x0 , т.е.
lim |
f x lim |
f x f x0 . |
x x0 0 |
x x0 0 |
|
Точкой разрыва функции y f x называется точка x0 , в которой не выполняется по крайней мере одно из условий непрерывности.
Причем: точка x0 - точка разрыва I рода, если существуют конечные односторонние пределы функции, неравные друг другу:
|
lim |
f x |
lim |
f x ; |
|
x x0 0 |
|
x x0 0 |
|
точка x0 - точка разрыва II рода, если хотя бы один из односторонних |
||||
пределов функции lim f x |
или |
lim f x равен бесконечности |
||
|
x xo |
0 |
|
x xo 0 |
или не существует. |
|
|
|
|
Пример 1. Вычислить предел lim |
2x 1 2 |
x 1 2 . |
|
|
x |
x2 x 1 |
|
|
Решение.
4
lim |
2x 1 2 x 1 2 |
= |
x |
x2 x 1 |
|
Функция, предел которой необходимо найти, представляет собой рациональную дробь. Знаменатель этой дроби – многочлен 2-ой степени. Для выяснения степени числителя выполним действия (возведение в квадрат и вычитание)
2x 1 2 x 1 2 4x2 4x 1 x2 2x 1 3x2 2x
Таким образом, числитель дроби – тоже многочлен 2-ой степени.
lim |
3x2 |
2x |
|
|
|
|
||
|
x |
|
|
|
|
|||
x x2 |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
Установим |
тип неопределенности: |
при x оба многочлена являются |
|||
|
|
|
бесконечно |
большими функциями. |
Следовательно, имеем неопределенность |
|||
|
|
|
« |
|
». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= « » =
Для раскрытия неопределенности выделим за скобки старшие степени переменной х как в числителе, так и в знаменателе дроби.
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
x |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
Сократим множители |
x2 . Слагаемые |
2 |
, |
1 |
, |
1 |
при x являются |
|||||||||
|
|
|
|
|
x |
x |
x2 |
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
бесконечно малыми функциями. Таким образом, получим:
|
|
3 0 |
3. |
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 2. |
Вычислить предел |
lim |
2x2 9x4 x 1 |
. |
||||||||||
5x2 3x 1 |
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
lim |
|
2x2 9x4 x 1 |
= |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
5x2 3x 1 |
|
|
|
|
|
|
|||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
Установим тип неопределенности: при |
x числитель и знаменатель дроби |
||||||||
|
|
|
|
|
являются бесконечно |
большими |
функциями. Следовательно, имеем |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность « |
». |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= « |
» = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для раскрытия неопределенности выделим за скобки старшие степени переменной х как в числителе, так и в знаменателе дроби.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
4 |
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
2x |
|
|
|
x |
|
9 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
2x |
|
x |
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 9 |
|
x |
3 |
|
|
|
x |
4 |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x4 |
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|||
x |
|
|
5x2 3x 1 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
5x2 3x 1 |
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
5
|
|
Сократим множители x2 . |
Слагаемые |
|
1 |
|
, |
1 |
, |
3 |
, |
1 |
|
при x являются |
||||
|
|
|
x4 |
|
x2 |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x3 |
|
x |
|
|
|||||
|
|
бесконечно малыми функциями. Таким образом, получим: |
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 9 0 0 |
1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 0 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 3. Вычислить предел lim x |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x4 3 x4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение.
lim x x4 3 x4 2 =
x
Установим тип неопределенности: множитель х при условии x является бесконечно большой функцией; второй множитель представляет собой разность бесконечно больших функций. Таким образом, имеем нестандартную неопределенность « »
= « » =
|
|
|
|
|
|
|
|
Для |
|
раскрытия |
неопределенности « » |
|
и приведения всего выражения к |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
стандартному виду (виду дроби) выполним преобразования (при работе с |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
иррациональными функциями эффективен прием домножения на сопряженное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x |
выражение). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x x4 3 x4 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
x4 3 |
|
|
|
|
x4 2 |
|
|
x4 3 |
x4 2 |
= lim |
= |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
3 x |
4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
x |
4 |
3 |
x |
4 |
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
= = lim |
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
x4 3 x4 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Полученная дробь представляет собой стандартную неопределенность « |
|
», для |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
раскрытия которой выделим старшие степени переменной х за скобки. |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= « |
|
» = lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
5x |
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
После сокращения получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
= lim |
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= « |
5 |
|
|
» = 0. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x 4 |
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример 4. |
|
|
Вычислить предел |
|
|
|
lim |
2x 1 |
3x 1 |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2x |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
2x 1 |
3x 1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
2x |
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Неопределенность « » образована показательными функциями. Для ее
раскрытия выделим за скобки наибольшие слагаемые в числителе и знаменателе дроби.
6
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
= lim |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
2 x 1 |
|
2 x |
x являются |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Сократим множители |
3 |
|
. |
Слагаемые |
|
, |
|
|
при |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
3 |
|
||
|
3 0 1 |
|
бесконечно малыми функциями. Таким образом, получим: |
|
||||||||||||||||||||||||
= |
|
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
0 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 5. |
Вычислить предел lim |
|
x3 |
3x 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
lim |
|
x3 |
3x 2 |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
x x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x -1 числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функциями, имеем стандартную неопределенность « 00 ».
= « 00 » =
Для раскрытия неопределенности « 00 » эффективно применение правила Лопиталя.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x2 |
3 |
|
0 |
|
|
|
|
|||
= lim |
x3 3x 2 |
= |
lim |
= |
|
= 0. |
|
||||||||||||
x x2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
2x |
|
|
1 |
||||||||||||||||
x 1 |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 6. Вычислить предел |
lim |
ln 2x 5 |
. |
||||||||||||||||
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 3 |
3 5 x 2 |
||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
lim |
ln 2x 5 |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3 5 x 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При x 3 числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми функциями, имеем стандартную неопределенность « 00 ».
= « 00 » =
Для раскрытия неопределенности используем правило Лопиталя.
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
|
|
|
|
1 |
2 |
||||||
|
|
|
|
|
|
2x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||
= lim |
ln 2x 5 |
= lim |
|
|
|
|
|
= |
|
1 |
|
|
= 24. |
||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|||||||||
x 3 |
|
|
x 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
3 |
5 x 2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|||||||
|
|
|
3 3 |
|
|
|
3 4 |
||||||||||||
|
|
|
5 x 2 |
Пример 7. Вычислить предел lim
x 3
ex e3 ln .
x 3
7
Решение. |
|
|
|
|
|||
|
|
e |
x |
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
= |
||
|
|
|
|
|
|||
lim ln |
x 3 |
|
|||||
x 3 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
x 3 числитель и знаменатель дроби являются бесконечно малыми |
функциями, имеем стандартную неопределенность « 00 ».
Для раскрытия неопределенности используем правило Лопиталя.
|
|
e |
x |
e |
3 |
|
0 |
|
e |
x |
3 |
|
|
e |
x |
|
lim |
ln |
|
|
= « |
» = lim |
|
e |
|
= lim |
|
= e3 . |
|||||
x 3 |
0 |
x 3 |
|
1 |
||||||||||||
x 3 |
|
|
x 3 |
|
x 3 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Применяя теорему о пределе сложной функции, получим:
|
|
|
|
|
|
ex |
e3 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= ln e |
|
= 3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
= ln lim |
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Пример 8. |
Вычислить предел |
lim |
|
e5 x |
e x 6x |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
e5 x |
e x 6x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
x 0 |
|
числитель |
|
и |
знаменатель дроби являются бесконечно малыми |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
функциями, имеем стандартную неопределенность « |
0 |
». |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
= « |
0 |
|
» = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используем правило Лопиталя: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
e5 x e x |
|
|
|
|
|
|
|
5e5 x e x 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= lim |
|
6x |
= lim |
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
При x 0 вновь получаем стандартную неопределенность « |
0 |
», значит, правило |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Лопиталя следует применить во второй раз: |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
25e5 x e x |
|
|
25 1 |
|
|
|
|
|
||||||||
= « |
|
» = lim |
5e5 x e x 6 |
|
= |
lim |
= |
|
= 12. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
0 |
|
|
|
|
|
|
2x |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пример 9. |
Вычислить предел |
lim |
|
x2 |
2 e5 3x . |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
lim |
|
x2 |
2 e5 3x |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x множитель x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
При |
|
является бесконечно большой функцией, а |
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
множитель e5 3x - бесконечно малой. |
Таким образом, имеем нестандартную |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
неопределенность « 0 ». |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
= « 0 » = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Преобразуем эту нестандартную неопределенность к стандартному виду (виду |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
дроби): |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= lim |
|
|
x2 2 |
= « |
|
» = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
e3x-5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
= lim
x
= lim
x
Для раскрытия полученной стандартной неопределенности « » используем правило Лопиталя.
|
|
|
2x |
|
|
|
|
x2 2 |
= |
lim |
= « |
» = |
|||
e3x-5 |
3e |
3x-5 |
|
||||
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
Используем правило Лопиталя во второй раз:
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2x |
= |
lim |
= « |
» = 0. |
|||
3e3x-5 |
9e |
3x-5 |
|
||||
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
1 |
|
|
||||
Пример 10. |
Вычислить предел lim |
|
|
|
|
. |
|
||||||||
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x 1 0 |
ln x |
|
|
x 1 |
|
|||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
1 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 1 0 |
ln x |
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
При |
x 1 0 функции |
|
1 |
|
|
и |
1 |
|
являются бесконечно большими, |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
ln x |
|
x 1 |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
следовательно, имеем нестандартную неопределенность « ». = « » =
Преобразуем нестандартную неопределенность « » к стандартному виду (виду дроби):
|
x 1 ln x |
|
0 |
|
||
= lim |
|
|
|
= « |
|
» = |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
0 |
|
x 1 |
0 |
x 1 ln x |
|
|
Для раскрытия полученной стандартной неопределенности используем правило Лопиталя.
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
||||||
|
x -1- lnx |
|
lim |
|
|
|
x |
|
|||||
= lim |
|
= |
|
|
|
|
= « |
|
» = |
||||
x 1 ln x |
|
|
1 |
|
|
||||||||
x 1 0 |
|
x 1 0 |
|
|
0 |
|
|||||||
|
|
1 |
ln x x 1 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
= lim
x 1 0
Используем правило Лопиталя во второй раз:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
x |
|
|
= |
lim |
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
= |
|
= |
. |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
1 1 |
2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x 1 0 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
ln x |
|
|
|
|
|
x |
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
x |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
x 2 |
|
|||
Пример 11. |
Вычислить предел lim |
|
|
. |
|||||
|
|||||||||
|
|
|
|
x 0 |
6x |
|
|
||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln 1 x |
x |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|||
x 2 |
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
x 0 6x |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
Рассмотрим структуру |
выражения. Основание степени представляет собой |
неопределенность « 00 », раскрыть которую можно по правилу Лопиталя:
9
|
ln 1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
lim |
= « |
0 |
» = |
lim |
ln 1 x |
= lim |
1 |
x |
= |
1 |
. |
|||
x 0 |
6x |
|
0 |
|
x 0 |
6x |
|
x 0 |
|
|
6 |
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Показатель |
степени |
при |
x 0 |
является |
бесконечно малой функцией. Таким |
образом, исходное выражение не представляет собой неопределенности. По теореме о пределе сложной функции получим:
1 0
== 1.
6
6x 5 2 x
Пример 12. Вычислить предел lim . x 6x 4
Решение.
6x 5 2 x lim = x 6x 4
Рассмотрим структуру выражения. Основание степени представляет собой неопределенность « », раскрыть которую можно по правилу Лопиталя:
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
lim |
6x 5 |
= « |
|
» = |
lim |
6x - 5 |
= lim |
6 |
= 1. |
|
6x 4 |
|
6x 4 |
6 |
|||||||
x |
|
|
x |
x |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
Показатель степени при x является бесконечно большой функцией. Таким
образом, имеем неопределенность вида «1 ».
= «1 » =
Для раскрытия этой неопределенности следует применить формулу 2-го
= lim
x
= lim
x
|
|
|
|
1 u |
e . |
|
замечательного предела: |
lim 1 |
|
|
|||
|
||||||
|
u |
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
а) Выделим в основании степени слагаемое, равное 1:
|
|
|
6x 5 |
1 |
6x - 5 |
1 1 |
6x - 5 - 6x - 4 |
|
1 |
- 9 |
. |
||
|
|
|
|
|
6x 4 |
6x 4 |
|
||||||
|
|
|
6x 4 |
|
|
6x 4 |
|||||||
|
|
Отметим, что при x |
дробь |
9 |
является бесконечно малой функцией. |
||||||||
|
|
|
|
||||||||||
|
|
6x 4 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
- 9 2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
6x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) Для применения к полученному выражению формулы 2-го замечательного предела необходимо, чтобы показателем степени была бесконечно большая
функция 6x 4 . С этой целью выполним преобразования:
9
|
|
|
|
|
|
9 |
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x 4 |
|
6 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 9 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 |
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
6x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
- 9 |
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e . |
|
|
в) Согласно формуле 2-го замечательного предела lim |
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
6x 4 |
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10