Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения

20

2.5. Системы дифференциальных уравнений

Совокупность уравнений, связывающих между собой несколько неизвестных функций и их производных, называется системой дифференциальных уравнений.

Мы ограничимся рассмотрением только системы дифференциальных уравнений первого порядка с двумя неизвестными функциями

	′	′
F (t, x, y, x , y ) = 0			(2.9)
1	′	′
F2 (t, x, y, x , y ) = 0.

Общим решением (или интегралом) системы (2.9) называются функции x и y от независимой переменной t и двух произвольных постоянных c1 и c2: x = x(t, c1, c2); y = y(t, c1, c2), которые удовлетворяют обоим уравнениям (2.9).

Иногда данную систему (2.9) удаётся свести к одному уравнению второго порядка, содержащему одну неизвестную функцию. Сведение системы (2.9) к одному уравнению может быть достигнуто дифференцированием одного из уравнений системы и исключением из полученного уравнения одной из неизвестных функций. Этот метод решения систем дифференциальных уравнений называется методом исключения.

Пример 1. Найти общее решение системы дифференциальных

			′	+ y −3x = 3t
			x
				2
уравнений с постоянными коэффициентами: y′+2 y −4x = 0.
Решение.	Дифференцируем	по	t	второе	уравнение:
y′′+ 2 y′−4x′ = 0 .

Исключаем из полученного уравнения x′ и x, используя два исходных уравнения. В результате получаем одно дифференциальное уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией y: y′′− y′−2 y =12t 2 .

Решая его как неоднородное линейное уравнение с постоянными коэффициентами, найдём y = c1e−t +c2e2t −6t 2 +6t −9 .

Вторую неизвестную функцию x находим из второго уравнения системы, подставляя в него найденное выражение функции y и её про-

	изводной y′ = −c1e−t +2e2t −12t +6;	x =	1	(y′+2y)=	1	c1e−t +c2t 2t −3t 2	−3 .
			4		4

Совокупность двух найденных функций является искомым общим решением данной системы.

удовлетворяющее начальным условиям:

21

Пример 2. Найти частное решение системы дифференциальных

x′+2x + y = sin t

уравнений y′−4x −2 y = cost, x(π) =1, y(π)= 2 .

Решение. Сначала находим общее решение данной системы. Дифференцируем по t первое уравнение: x′′+2x′+ y′ = cost и заменяем в этом уравнении производную y ′ на её выражение через t и x′, полученное из исходной системы. При этом получаем уравнение второго порядка с одной неизвестной функцией x: x′′+2sin t = 0 . Решая его путём дву-

кратного интегрирования, найдём:	x = c1t +c2 +2sin t .
Подставляя функцию x и её производную x′ = c1 +2cost в первое
уравнение данной системы, получим	y = −2c2 −c1 (2t +1) −2cost −3sint .

Совокупность функций x и y есть общее решение данной системы. Далее, исходя из заданных начальных условий, определяем значения постоянных c1 и c2. Из первого условия: x = 1 при t =π , поэтому

1 = с1π + с2, а из второго условия: y = 2 при t =π , значит

2 = -2с2 – с1(1 + 2π ) + 2.

Решая эти уравнения как систему, найдём: с1 = -2, с2 = 1 + 2π . Подставляя эти значения с1 и c2 в общее решение, получим иско-

мое частное решение данной системы, удовлетворяющее данным на-

чальным условиям: x =1−2(t −π)+ 2sin t; y = 4(t −π)−2cost −3sin t .

Содержание индивидуальных заданий

1.Найти общее решение дифференциального уравнения и частное решение, если заданы начальные условия (п. 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10).

2.Записать вид общего решения дифференциального уравнения высшего порядка (п. 8).

3.Составить однородное линейное дифференциальное уравнение по данным его частным решениям (п. 9).

4.Решить систему дифференциальных уравнений (п. 11).

xydx +(x =1)dy =0;

№1

y′′+4y = 4(sin 2x +cos2x);

1.

7.

y

2

2y

IV

x

2.

3

+

dx =

dy;

8.

y

+ y′′= x +2 +e

;

x

3

x

3.

y′+ 2xy = 2xy3 , y(0)= 2;

9.

y1 = ex , y2 = e2 x , y3 = e3x ;

22

4.

y′′ = x3 + cos2 x;

10.

y′′

+ 4 y =

2

;

sin3

x

5.

′′

′

11.

x′ = x − 2 y,

y + y tqx = sin 2x;

y′ = x + 3y.

6.

4 y′′− y′= x3 −24x;

№2

3y2 y′+16x = 2xy3 ;

y′′′− 4 y′′+5y′− 2 y = 2x +3

1.

y(1)=1;

8.

2.

x2 y′ = y2 + 4xy + 2x2 ,

9.

y1 = ex ,

y2 = cos ax, y3 = sin ax;

3.

y′+3y = xe−3x ;

10.

y′′+ 4 y =

4

;

sin 2x

4.

y′′=sin 4 x;

y′

5.

y′′+ y′2 +1 = 0;

+2y +4x =1+4t,

− x =1,5t 2 .

11. x′+ y

6.

y′′+2 y′+ y = ex sin x;

7.

y′′−2 y′−8y = e4 x (18x2 +30x +34);

y(0) = −1, y′(0) = 7;

№3

y′′−8y′+20 y = e2 x (24x2 −40x −18);

1.

xydx +(x +1)dy =0;

7.

′

(x2 − xy + y2 )dx = x2 dy,

y(0)= 2, y (0)=12;

2.

y(0) = 0;

8.

y′′′+ y′′ = 6x + e−x ;

3.

xy′− y = −

x4

,

y(1)

=1;

9.

y = e−4 x

cos3x,

y

= e−4 x sin 3x;

2

y

1

4.

y′′ =

cos 2x

;

10.

y′′−4 y′+5y =

e2 x

;

cos

2

x

cos x

5.

yy′′ = y2 y′+ y′2 ;

y′′+12 y′+ 36 y = (192x + 92)cos 2x +

x′ = 2x −9 y,

6.

+ (56x − 244)sin 2x;

11.

y′ = x +8y.

№4

y′′+ y′−6 y = e−3x (−30x2 −18x + 21),

1.

(x2 −1)y′+ 2xy2 = 0, y(0)=1;

7.

′

y(0)= 0, y (0)= 2;

y′ =

x2 + xy − y2

y(1)= 0;

2.

,

8.

y′′′+ y′′− 2 y′ = x −ex ;

x2 − 2xy

3.

xy′− 2 y = 2x4 ;

9.

y1 = e2 x ,

y2 = xe2 x ,

y3 = x2 e2 x ;

y′′ =

ln x

+sin(2x −3);

y′′− 2 y′+ y =

e

x

4.

10.

;

x

x

2

23

5.

y′′+ y′2 +1 = 0;

11.

y′+3y + 4x = 2t,

cos 4x

x′− y − x = t.

6.

y′′+ 6 y′+13y =

;

e

3x

№5

y′′−10 y′+ 25y = e6 x (x2 + 2x + 2),

1.

x′sin t − x ln x cos t = 0,

π

= e;

7.

x

y(0)= 0, y′(0)= 4;

( xy − x)dy + ydx = 0,

6

2.

y(4)=1;

8.

x′′′+ x′ = 3t 2 ;

3.

(1+ 2xy)y′ = y(y −1);

9.

y1 = e−x cos 20x, y2

= e−x sin 20x;

4.

y′′ = xe−x + x2 ;

10.

y′′− 4 y′+ 4 y =

e

2 x

;

x 1 − x2

5.

xy′′ = y′+ x sin

y

′

;

11.

y′ = x + y,

x

x′ = t + x + y.

6.

y′′−5y′+6y = e2 x (−21cos3x +57sin 3x);

1.	′	−x	= x	−1, y(1)= −e;
	y e
2.	y 2 y′ = y 2 + xy − x2 , y(0)=1;

3.y + x2 = xy′;

4.y′′ = ( −sin x )2 ;

1cos x

5.y′′x ln x = y′;

6.y′′+ 2 y′ = 4ex (sin x + cos x);

№6

7. y′′−6 y′+8y = e2 x (− 24x2 +36x −10),

′

y(0)=1, y

(0)= 2;

8.

y IV

+ 2a2 y′′+ a4 y = cos ax;

9.

y1

= cos ax,

y2

= sin ax,

y3 = 5;

10.

y

′′+ y =

2

;

3

x

cos

′

− 2 y

′

+ 4x − y = e

−t

,

11.

5x

′

−t

+8x

−

3y = 5e

.

x

№7

1.

sin xdy −

y 2

− 4 cos xdx = 0;

7.

y′′−5y′+ 6y = e2 x (57sin 3x − 21cos3x);

2.

xy 2 dy = (x3 + y3 )dx, y(1)= 3

3;

8.

y′′′+9 y′ = ex cos 3x;

(sin 2

xctqy)y

′ = 1,

1

π

3.

y +

y

=

;

9.

y1

= e−2 x cos 3x, y2 = e−2 x sin 3x, y3 =1;

2

4

4.

y′′ =

1

;

10.

y′′+ 4y′+ 4y = e−2 x ln x;

4x −3 − x2

y′+3y + x = 0,

5.

′′′

′′

′′2

2

11. x′− y + x = 0.

2xy y = y

−a

;

24

6.

y′′+ 2 y′ = 4ex ;

№8

y′′+ 2 y′−8y = e−4 x (−18x2 −54x − 2),

1.

(ex−y −e−y )dx + (ex+y +ex )dy = 0;

7.

′

y(0)= −1, y

(0)=18;

xy′ =

2x2 y +3y3

y(1)=1;

2.

,

8.

y IV

+ 2 y′′′+ y′′ = x +3;

x2 +3y 2

dy

2

π

3.

x

− y = x

sin x,

y

=π;

9.

y1

= e−x ,

y2 = xe−x ,

y3

= x2e−x ;

dx

2

y′′ =

1

;

10. y′′+ 4 y

′+

4 y =

2e

−2 x

4.

;

1 −cos x

x

3

5.

′′ 3

=1;

y y

y′+ 2y −4x = 0,

6.

y′′− y = 4sin x;

11.

x′+ y −3x = 3t 2 .

x 9 − y 2 dx − y(4 + x2 )dy = 0;

№9

y′′−2y′ = 2ex , y(1)= −1, y′(1)= 0;

1.

7.

2.

(2x −3y)dx + xdy = 0,

y(1)= −1;

8.

y′′′+9 y′ = x2 ;

3.

y′+ 2xy = e−x2 arcsin x,

y(0)= 0;

9.

y1

= ex ,

y2 = e−x ,

y3 = e−5 x ;

4.

y′′ = ctq2 2x;

10. y′′+ y = 2tq2 x;

x(0)= −2,

5.

(1 + x2 )y′′+ 2xy′ = x3 ;

11.

′

+ y

′

= e

−t

− y,

x

y′′+8y′+ 20y = e3x (80cos3x + 260sin 3x);

2x′+ y′=sin t −2y,

y(0)=1.

6.

					№10
1.	ydx −(4 + x2 )ln ydy = 0, y(2)=1;
			y		y(1)= e;
2.	xy′ = y 1 + ln			,
			x
3.	(xy′−1)ln x = 2y;
4.	y′′ = cos4 x;
5.	2 yy′′ =1 + y′2 ;
6.	y′′−5y′+ 6 y =13sin 3x;

	7.	y′′+8y′+16 y = e−3x (x2 + 7x +12),
		′
		y(0)= 0, y (o)= 8;
	8.	y IV −81y = 27e−3x ;
	9.	y1 = e−2 x , y2 = xe−2 x ,		y3 = x2 e−2 x ;
	10.	y′′− 2 y′+ y =	ex	;
			4 − x2

y′+ 2 y + x = sin t,

11.x′− 4 y −2x = cost.

25

№11

1.

y′ =

y ln y

;

7.

y′′−12y′+36y = e3x (49cos 2x +50sin 2x);

1 − x2 arcsin x

2.

xy′ = y(3 + ln y −ln x),

y(1)= e−1 ;

8.

y IV

− y = xex + cos x;

3.

y′+ xy = (1 + x)e−x y 2 ,

y(0)= −1;

9.

y1 = e−2 x cos x,

y2 = e−2 x sin x;

y′′ =

x

;

y′′−6 y′+9 y =

2e3x

4.

10.

;

x + 4

1 − x

2

5.

′′

′

+1;

y tqx = y

x′ = 4x −5y, x(0)= 0,

6.

y′′+ y′−2 y = 6x2 ;

11.

y′ = x,

y(0)=1.

	№12
1.	(xy2 − y 2 )dx = (x2 y + x2 )dy;
2.	(y2 − 2x2 )dy + 2xydx = 0, y(1)=1;

3.xy′ln x = y + ln x;

4.y′′ = sin 2x sin 5x;

	7.	y′′+ y′− 2 y = 6x2 e−2 x ;
	8.	y IV −2 y′′′+ y′′ = xex			+cos x;
	9.	y1 = e−x ,	y2 = xe−x ,		y3 = x2e−x ;
	10. y′′−10 y′		+ 25y =	e5x			;
				x	−1

x(0)

= −

7

,

5.

xy′′ = y′ln

y

′

;

11.

x′

= x + y

+t,

9

5

x

y′ = x − 2 y + 2t,

y(0)

= −

9 .

6.

y′′− y′ = 7 sin x;

№13

1.

sin2 xcos2

ydx −cos2 xdy = 0,

y(0)=

π

;

7.

y′′+ 6y′

+13y = e−3x

cos 4x;

2.

(x + 2y)dx − xdy = 9;

4

8.

y′′′+8y = e−2 x ;

3.

y′sin x − y cos x = y3 ,

π

=1;

9. y1 = e−7 x

,

y2

= xe−7 x ,

y3

= e2 x ;

y

2

4.

y′′ = e4 x +

1

;

10.

y′′−6 y

′+8y =

4e2 x

;

x

2 x

1

e

+

5.

(1 + x2 )y′′+ y′2 +1 = 0;

119

′

= e

t

− y −5x,

x(0)=

,

900

6.

y′′− 2 y′+ 2y = xex ;

11.

x

′

2t

211

= e

+ x

−3y,

y

y(0)=

.

900

26

№14

1.

( xy −2

x )y′− y = 0;

7.

y′′−8y′+16y = e3x (31sin 4x −22cos 4x);

3y

2

dx

=

(x

2

+3xy

+ y

2

)dy,

1

IV −

′′′

+

′′

=

+

x

2.

y

−1;

8.

y

2 y

y

x

e

;

3

dy = (ytqx −1)dx,

y(0)= 3;

3.

9.

y1

= e−x cos x,

y2

= e−x sin x;

4.

y′′ = cos x cos 2x cos 3x;

5.

y′′+

2

y′2 = 0;

10.

y′′− 2 y′+ y =

ex

;

1

− y

x

6.

y′′− 4 y = 8x3 ;

11.

x′ = 3x

+8y,

x(0)= 6,

y(0)= −2.

№15

y′ = −3y − x,

1.

cos x cos ydx −sin x sin ydy = 0,

π

= 0;

7.

y′′−4y = 8x2 e2 x ;

y

(x2

+ y 2 )dy −2xydx = 0,

y(2)=1;

2

2.

8.

yV − y′′′ = x;

3.

(y2

+ 2

xy )− xyy′ = 0;

9.

y1

= cos

3x,

y2

= sin

3x, y3 =1;

4.

y′′

=

1 + x − x2

;

10. y′′+ 4 y = 8ctq2x;

(1 − x2 )3

5.

xy′′− y′+ x = 0;

11.

x +2 y′=17x +8y,

x(0)= 2, y(0)= −1.

13x′=53x +2 y.

6.

y′′− 2 y′+ 2 y = ex cos 2x;

№16

7.

y′′+ 4 y′+5y = 5x2

1.

sin 2 yctqxdx + cos2 xtqydy = 0;

−32x +5;

xy′− y = x cos

2

y

y(4)

=π;

− y′′′ = (x −3)ex +e−x ;

2.

,

8.

yV

x

3.

2xy′+3y = (5x2 +3)y 2 ,

y(1)=1;

9.

y1

= ex ,

y2

= e0,5 x ,

y3 = e−0,5 x ;

4.

y′′ = ln 2x;

10.

y′′+12y′+36y =

12e−6 x

;

x5

xy′′′+ y′′ =1 + x;

5.

x′ = x +5y,

x(0)= −2,

6.

y′′− 2 y′+ 2 y = 2sin x;

y(0)=1.

11. y′ = −x −3y,

№17

1.

ln x sin3

ydx + x cos ydy = 0;

7. y′′+ y′−12 y = 54 cos 3x;

xdx = (

− y)dy, y(1)= 0;

27

2.

x2

+ y 2

8.

y IV

−2 y′′′+ y′′ = x2

+ 2 +sin x;

3.

(1 + x2 )y′−2xy = (1+ x2 )2 , y(3)= 40;

9.

y1 =1,

y2 = x,

y3

= e−5 x ;

4.

y′′ =

x2

−1

;

10.

y′′−12 y′+36 y =

2xe6 x

;

x

2

+1

x

2

+ 2

5.

y′′+ 2 yy′3

= 0;

x′+3x + y = 0,

x(0)=1,

6.

y′′− y′ = ex x;

11.

y(0)=1.

y′− x + y = 0,

(x + 2)(y2 +1)dx + (y 2

№18

1.

− x2 y2 )dy = 0;

7.

y′′+3y′+ 2 y = sin 2x + 2 cos 2x;

2.

xy′ = y + x

x

e

y

,

1

8.

y′′′+9 y′ = ex cos 3x;

y

= 0;

e

3.

3xy′+5y = (4x −5)y4 , y(1)=1;

9.

y1 =1, y2 = e7 x , y3 = e−3x ;

4.

yy′′ = y 2 y′+ y′2 ;

10.

y′′−

8y′+16 y

=

e4 x

;

x2

+1

y′′′ = sin x + cos 2x;

5.

′

2

x = 3x −0,5y −

3t

−0,5t +1,5,

6.

y′′+ 2y′+ y = ex ;

11.

y′ = 2 y −2t −1,

x(0)= 0, y(0)= 3.

1.	6ex cos2	ydx + (1 − 2ex )ctqydy = 0;
2.	(x2 + 2xy)dy −2 y2 dx = 0, y(2)=1;
3.	y 1 − y 2 dx + (x 1 − y 2 + y)dy = 0,
4.	y′′ =	1	;
	1− x2

5.y′′ = ae y ;

6.y′′+5y′+ 6y = e−x + e−2 x ;

№19

7.y′′+ y′+ 2,5 y = 25 cos 2x;

8.y′′′+9 y′ = 3x cos 3x;

y(1)=1;

9. y1 = у−x ,		y2 = ex ,	y3 = e−5 x , y4 = e5x ;
	y′′+10 y′+ 25y =			6e−5x
10.							;
					x	4
	x′ = 3	− 2 y,	x(0)
11.					=1,
			y(0)= 0.
	y′ = 2x − 2t,

1.

y′ = cos(y − x);

№20

y′′−5y′+ 6 y =13sin 3x;

7.

y

2

2 y

y(1)=1; 8.

IV

+ 2 y′′′+ y′′ = (x −7)e

−x

2.

4

−

dx +

dy = 0,

y

;

x

2

x

28

y′(1 − x

2

)= xy +1,

3

2π

3.

;

9.

y1 =1,

y2

= sin x,

y3 = cos x;

y

2

=

3

4.

y′′ = x sin x;

10.

y′′+ 2 y′+ 2 y = 2e−xtqx;

5.

y′′ =

a

;

11.

x′+ 7x − y = 0,

x(0)= 0,

y(0)=1.

y3

y′+5y + 2x = 0,

6.

y′′− 2 y = xe−x ;

№21

dy = x(2y + y 2 )dx;

y′′−3y′+ 2 y = x cos x;

1.

y(1)= 25;

7.

2.

(5 xy − y)dx + xdy = 0,

8.

y IV + y′′ = sin x;

3.

xy′− y = x3 sin x,

π

= 0;

9.

y1 =1,

y2

= sin 2x,

y3 = cos 2x;

y

2

3

4.

y′′ = tq 2 2x;

10.

y′′+ y =

;

(1− x2 )y′′− xy′ = 2;

sin5 x cos x

5.

x′ = −4(x + y),

x(0)=1,

6.

y′′+ 4 y′+5y = 5x2 −32x +5;

11.

y(0)= 0.

4 y′+ x′+ 4 y = 0,

	1.	x2 y′−cos 2 y =1, y(∞)=	9π	;
			4
	2.	xy′ = x2 − y 2 + y;
	3.	4xy′+ 2 y = 49x3 ln x, y(1)= 0;

4.y′′ = x cos x;

5.xy′′− y′+ x3 sin x = 0;

6.y′′+ 4 y′+ 4y = e2 x (148cos3x −

№22

7.	y′′− y′−6 y = e3x (45x2 − 2x +11),
				′
	y(0)= 0, y (0)= −2;
8.	y′′′−3y′+ 2 y = e−x (4x2							+ 4x −10);
9. y1	=1,	y2	= e−3x sin 2x,					y3 = e−3x cos 2x;
10.	y′′+	y′ =			1		;
			e	x	+1
61sin 3x);			x′+ y = 0,
		11. x′				− y′ = 3x + y.

№23

	1.	y′3x2	+ x9−y	= 0, y(0)=1;			7.	y′′−4 y′+ 20y = e3x (36cos3x − 2sin 3x);
	2.	( xy − y)dx + xdy = 0, y(1)=			1	;	8.	yV	− y′′′ = x2 −1;
					4
	3.	y′−6y = 2xe6 x ;					9.	y1	=1, y2 = x, y3 = e−2,5 x ;
	4.	y′′ =	x cos x	;			10.	y′′+ 2 y′′+ 2y = 2e−x tqx;
			sin 3 x

29

′

2

2x = 6x − y −

6t

−t +3,

5.

xy′′ =1 + x2 ;

11.

y′ = 2y −2t −1,

x(0)= 2, y(0)= 3.

6.

y′′−3y′+ 2y = ex ;

№24

(1 + x2 )y′ = xy − y 1+ x2 ;

y′′−6 y′+13y = e2 x (15x2 −2x −18);

1.

7.

2.

x(y′+ e y x )= y, y(1)= 0;

8.

y IV + y′′ = x;

3.

y′sin x − y cos x = x sin

3

x,

π

y

= 0;

1 −cos x

2

4.

y′′ =

;

9.

y1

= у−x ,

y2 = ex ,

y3 = e−5 x , y4 = e5x ;

1 + cos x

2ex

5.

x3 y′′+ x2 y′ =1;

10.

y′′

− y =

;

ex

−1

′

+ x − y

t

,

6.

y′′+3y′+ 2 y = sin 2x + 2 cos 2x;

11.

x

= e

′

t

− x + y

.

№25

y

= e

y′(x +

x )=

1.

1− y, y(0)=1;

7.

y′′−6 y′+ 25y = e4 x (17x2

+38x + 40),

(x

2

2

)dx + 2xydy = 0,

y(1)=1;

′

2.

−2y

y(0)=3,

y (0)=9;

3.

dy

=

y2

;

8.

y IV

+8y′′+16 y = cos x;

dx

x + ye− 1 y

4.

y′′ = 23x

+sin3 x;

9.

y1

=1,

y2

= e−2 x sin 3x,

y3

= e−2 x cos 3x;

5.

′′

=

2 y

′

2

;

10.

y

′′

− y =

ex −e−x

;

ex + e−x

y tqy

x(π)= −1,

6.

y′′−12y′+36y = e3x (49cos 2x +

50sin 2x);

11.

x′

= y,

y(π)= 0.

№26

x′− y′ = x + y,

ydx + (1 − x2 )dy = 0,

y(0)= 0;

1.

3x3

7.

y′′− 4 y′+ 4 y = xe2 x ;

2.

xy′′ = y cos ln

y

;

8.

y IV

+ y′′ = x2

+ cos x;

x

0,6 x

3.

2xy′−3y = −(20x2 +12)y3 ,

y(1)=

2

;

9.

y1 = e 0,6 x cos0,8x,

4

y2

= e

sin 0,8x;

4.

y′′ =

sin

4

x

;

10.

y′′+ y =

1

;

cos

2

x

cos 2x

cos 2x