В.Г. Каширских Исследование фазовых траекторий

1

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

ЦЕЛЬ РАБОТЫ: изучение методики получения фазовых траекторий объектов и систем для оценки особенности переходных процессов.

1. ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

Для исследований динамики систем в теории автоматического управления широко применяются методы фазовой плоскости, позволяющие получить наглядное представление о характере переходных процессов. Это, так называемые, методы изоклин, припасовывания и точечных преобразований. Фазовая плоскость является частным случаем фазового пространства, представляющего собой пространство в прямоугольной системе координат, которыми являются величины, определяющее состояние системы. В случае фазовой плоскости координатами являются выходная величина системы и ее первая производная.

Состояние системы в каждый момент времени определяется в фазовой плоскости некоторой точкой, называемой изображающей точкой. При изменении состояния системы изображающая точка будет перемещаться, описывая траекторию, которая называется фазовой траекторией. Фазовая траектория дает полное представление о характере процесса в системе. Совокупность фазовых траекторий, соответствующих различным режимам работы системы называется фазо-

вым портретом.

Рис. 1. Фазовые траектории

На рис. 1,а показан участок фазовой траектории, полученной при движении изображающей точки из начальной точки (t = t0) с координатами x(t0), y(t0) с последующим изменением положения в моменты

2

t1, t2, ... . Здесь координатами являются отклонение выходной величины системы от установившего значения - х и его производная y = dx/dt. В движении изображающей точки время присутствует в неявном виде. Фазовые траектории можно получить для любого объекта, в том числе нелинейного, если описать его дифференциальным уравнением второго порядка.

Анализ движения системы делается по виду фазовых траекторий и по направлению движения изображающей точки. Установившемуся режиму (положению равновесия) на фазовой плоскости соответствует начало координат. Если изображающая точка при движении системы стремится к началу координат, то система - устойчивая, если удаляется от начала координат, то неустойчивая, если же совершает периодические, повторяющиеся движения по замкнутой фазовой траектории, то в системе возникают незатухающие колебания (автоколебания). Начало координат в рассматриваемом методе принято называть особой точкой. В зависимости от вида фазовых траекторий, подходящих или отходящих от начала координат фазовой плоскости, различают шесть типов особых точек, приведенных в таблице. Фазовые траектории, соответствующие автоколебательным движениям системы, называют особыми линиями. Их два типа: устойчивый предельный цикл (рис. 1,б) и неустойчивый предельный цикл (рис. 1,в).

Направление движения системы по фазовым траекториям указывается стрелками. На основании свойств фазовых траекторий движения изображающей точки в верхней полуплоскости происходит слева направо (у > 0), в нижней - справа налево (у < 0).

2. ПОЛУЧЕНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ С ПОМОЩЬЮ АНАЛОГОВЫХ МОДЕЛЕЙ

Во многих случаях исследование систем управления или их отдельных элементов удобно проводить методом аналогового моделирования. При составлении схемы модели необходимо учитывать возможность получения производной от выходного сигнала. Это осуществляется включением на выходе модели интегрирующего звена.

3

Таблица

4

Чтобы получить на экране индикатора фазовую траекторию, выходной сигнал объекта или модели надо подать на вход Х индикатора, а его производную - на вход Y. На рис. 2,а показана элементарная схема модели для изучения метода фазовой плоскости. Чтобы иметь

возможность задавать производные начальные условия y! (0) = y! 0 или

y(0) = y0 , используют режим периодического интегрирования - нажата кнопка 2ГСС. Значение U(t) можно задавать в виде +Um , -Um прямоугольными импульсами ГСС с использованием управления яркостью луча. Можно также поочередно подавать на вход модели соответствующие сигналы от источников эталонных сигналов.

Рис. 2. Исследования объекта первого порядка

Для получения устойчивых изображений используют ускоренный временной масштаб (ku = 100). Для наблюдения за развертыванием фазовой траектории во времени варьируют частоту ГСС. Изменяя коэффициент а, можно наблюдать изменение фазовых траекторий. Траектории для U(t) = +Um при а < 0 показаны на рис. 2,б, а при а > 0

-на рис. 2,в.

Всхеме на рис. 3 объектом исследования является модель системы второго порядка в общем случае. Для задания начальных условий используется режим периодического интегрирования - нажата кнопка 2 ГСС. Установка начальных условий производится при нажатой кнопке 3. Здесь коммутатор использован для совмещения изо-

5

бражений фазовой траектории 1 с осциллограммой одной из фазовых координат 2 и осями координат 3 и 4, которые можно использовать в качестве вертикальной и горизонтальной измерительных линеек при подаче напряжений Ех и Еу на соответствующие входы. Для вывода на экран контрольной точки и измерительных линеек может быть задействован второй такт коммутатора.

Рис. 3. Исследование системы второго порядка

Варьируя коэффициенты а и в и начальные условия, можно получить фазовые траектории с особыми точками для свободного при U(t) =0 и вынужденного движений системы. При плавном изменении коэффициентов а и в можно наблюдать переходы фазовых траекторий из одного вида в другой.

Рис. 4. Исследование особой точки типа «устойчивый фокус»

На рис. 4,а показан вид фазовой траектории для особой точки типа «устойчивый фокус». Измерение координат точки А(хА, уА) этой фазовой траектории с помощью измерительных линеек Ех, Еу показано на рис. 4,б. Это же измерение можно произвести с помощью контрольной точки. Для измерения времени tА от начала движения изо-

6

бражающей точки до точки А, нужно, не меняя настроек Ех и Еу, уменьшить время решения (увеличить частоту ГСС) до тех пор, пока фазовая траектория не будет оканчиваться точно в точке 1 (рис. 4,в). В этом случае измеритель времени покажет время tА.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1. Ознакомиться с методическими указаниями к лабораторной работе.

2.Исследовать модели, приведенные на рис. 2 и 3. Изменения параметров задавать самостоятельно.

3.В отчете по лабораторной работе указать ее номер, название, привести схемы исследованных моделей и полученные при этом характеристики с указанием соответствующих им параметров.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Теория автоматического управления: Учебник для вузов; Ч. 2. Теория линейных систем/ Под ред. А.А. Воронова.-2-е изд., перераб.

идоп.-М.: Высш.школа, 1986.-504 с., ил.

2.Алексаков Г.Н. и др. Персональный аналоговый компьютер.- М.: Энергоатомиздат, 1992.-256 с., ил.

7

Составитель ВЕНИАМИН ГЕОРГИЕВИЧ

КАШИРСКИХ

ИССЛЕДОВАНИЕ ФАЗОВЫХ ТРАЕКТОРИЙ

Методические указания к лабораторной работе по курсу

«Теория автоматического управления» для студентов направления 550200 «Автоматизация и управление»

Редактор Е.Л. Наркевич

ЛР № 020313 от 23.12.96

Подписано в печать 26.11.99. Формат 60х84/16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд.л.0,4 . Тираж 25 экз. Заказ Кузбасский государственный технический университет.

650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета.

650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.