И.А. Паначев Рабочая программа, контрольные работы и методические указания по их выполнению для студентов заочной формы обучения (сокращенные сроки обучения на базе среднего спец. образования)

80
или после преобразований:
AB = ∆cтн β,	(15.15)

где ∆стН = Н δ – статический прогиб системы по направлению силы Н от действия этой силы; β – коэффициент нарастания колебаний.

	β =		1			.			(15.16)
			ϕ		2
	1−( ω)
	Динамический коэффициент:
	kd =1+		∆нст	β =1+			Н	β	(15.17)
			∆р				Р
			ст

.

Для определения динамических напряжений в упругой системе, вызванных её вынужденными колебаниями, следует найти напряжения от статически действующей силы Н и умножить их на динамический коэффициент :

σ Д =σстнkd .	(15.18)
Полные напряжения в упругой системе :
σп =σ Д +σстр ,	(15.19)

где σстР – напряжения от статически действующей силы Р.

15.4. Пример На двух балках двутаврового сечения (рис.15.5,а) установлен дви-

гатель весом Q, делавший n оборотов в минуту. Центробежная сила инерции, возникающая вследствие неуравновешенности вращающихся частей двигателя, равна Н. Собственный вес балок и силы сопротивления можно не учитывать.

81

Требуется найти : 1) частоту собственных колебаний ω; 2) частоту изменения возмущающей силы φ; 3) коэффициент нарастания колебаний β; 4) динамический коэффициент kД; 5) наибольшее нормальное напряжение в балках, если дано: двутавр №20, l = 1,9 м, Q = 19 кН,

Н = 4 кН, n = 800 об/мин.

Решение 15.4.1. По способу Верещагина (приложение табл. 6) определяем

прогиб сечения балки в месте расположения двигателя от вертикальной силы, равной единице (рис.15.5,б):

δ	=	1		1,9 0,95 0,95		+	0,95 0,95 0,95			=	0,857	,
				3			3				EI
		EI

если учесть, что

Е = 2 105 МПа,

Ix = 2 Ix I = 2 1840 = 3680cм4 = 3,68 10−5 м4 ,

где IXI = 1840 см4 – по ГОСТ 8239-72 осевой момент инерции для двутавра №20.

	Тогда	δ =		0,857	= 1,16 10−7 м.
			2 10	5 106 3,68 10−6

По формуле (15.10) находим частоту собственных колебаний

				82
	ω =			9,81		= 66,7,	1	с	,
		19 10	3	1,16 10	−7

где g = 9,81 м/с2.

15.4.2. Вертикальная составляющая центробежной силы Н представляет собой периодическую силу (15.11):

H (t) = H cos(ϕt) ,

вызывающую поперечные колебания в вертикальной плоскости. Частота изменения возмущающей силы Н(t) будет равна

ϕ = 2πn = πn = 3,14 800 =83,7,1 c, 60 30 30

где n – число оборотов вала двигателя в минуту.

15.4.3. Определяем коэффициент нарастания колебаний по формуле

(15.16):

β =	1	=	1		= −1,79.
	1−(ϕ ω)2			1−(83,7 66,7)2

Так как коэффициент β оказался отрицательным, то в дальнейшем расчёте учитываем абсолютную величину.

15.4.4. По формуле (15.17) определяем динамический коэффициент

kД = 1 + HQ β = 1 + 194 1,79 = 1,38 .

15.4.5.По формуле (15.19) определяем полное наибольшее нормальное напряжение в балке. Сечение В (рис.15.5,а) :

				р	н	р		H 1 2		Q 1 2
	σп =σ Д +σст				=σст	k Д +σcт	=		k Д +		=
								Wx		Wx
	= −	1		(k Д H +Q) =		1,9	(1,38 4 103 +19 103 ) =
						2 368 10−6
		2Wx
	= 63,3		МПа,

где WX = 2WXI = 2·184 = 368 см3 = 368·10-6 м3 (рис.15.5,а и ГОСТ 823972).

83

16. РАСЧЁТЫ НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ЦИКЛИЧЕСКИХ НАГРУЗКАХ

Опыт эксплуатации и исследований конструкций машин и сооружений, воспринимающих переменную циклически меняющуюся нагрузку, показывает, что часто прочность таких конструкций оказывается существенно ниже, чем при статическом нагружении. Причиной такого поведения являются переменные напряжения. Они приводят к образованию внутри материала микротрещин между зернами материала. При определенной для каждой комбинации условий величине переменных напряжений эти трещины прогрессируют и объединяются в макротрещины. В вершинах таких макротрещин возникает большая концентрация напряжений, что ускоряет процессы и приводит к лавинообразному катастрофическому разрушению детали конструкции. Описанные процессы были названы усталостным разрушением материала. В настоящее время под усталостью понимают процесс постепенного накопления повреждений в материале при действии переменных напряжений, приводящих к образованию макротрещин и разрушению. Свойство материала сопротивляться усталости называется выносливостью.

Максимальное напряжение, при котором материал способен сопротивляться, не разрушаясь, при любом произвольно большом числе повторений переменных нагрузок, называется пределом выносливости или пределом усталости.

Изменение напряжений за один период называется циклом напряжений. Различным законам изменения напряжений соответствуют различные виды циклов. Симметричный цикл возникает, если σmax = σmin, т.е. наибольшее и наименьшее напряжения цикла равны по модулю. Асимметричный цикл можно представить как сумму напряжений симметричного цикла с амплитудным значением σа и среднего постоянного напряжения σm (рис.16.1). В случаях, когда σmax или σmin равны нулю, циклы называются пульсирующими или отнулевыми.

Для асимметричного цикла (рис. 16.1) будут справедливы следующие зависимости

	σm =	σmax +σmin	; σa =	σmax −σmin	(16.1)
		2		2
	σmax =σm +σa ;		σmin =σm −σa		(16.2)

84

Для характеристики цикла служит коэффициент асимметрии цикла, определяемый выражением

R =

σmin .

(16.3)

σmax

Коэффициенты запаса прочности при изгибе nσ и при кручении nτ

определяются соответственно из выражений

nσ =

σ−1

; nτ =

τ−1

(16.4)

Kσ

σ

+ψ

σ

Kτ

τ

+ψ

τ

a

σ

m

a

τ

m

ε β

ε β

где σ-1, τ-1 – соответственно пределы выносливости при симметричных циклах при изгибе и кручении; Кσ, Кτ – эффективные коэффициенты концентрации; ε – масштабный коэффициент; β – коэффициент, учитывающий качество обработки поверхности; Ψσ , Ψτ – коэффициенты, ха-

рактеризующие чувствительность материала к асимметрии цикла, соответственно, при изгибе и кручении.

Для определения коэффициентов запаса при изгибе и кручении необходимо найти максимальные напряжения соответствующих циклов по формулам изгиба и кручения, а затем остальные напряжения соответствующих циклов по их коэффициентам асимметрии и использовать их в формулах (16.4). По найденным значениям nσ и nτ вычисляется общий коэффициент запаса прочности и сравнивается с нормативным (заданным) значением (n > n0):

85	nσ nτ .
n =			(16.5)
	n2 + n2
Если условие прочности не выполняется (n <			n0), то производится
подбор нового диаметра вала из выражения
dн	≥ dпр3 п0	,	(16.6)
	п

где dnp – старый диаметр вала, для которого производится проектиро-

вочный расчёт; n – вычисленное значение коэффициента запаса прочности; n0 – нормативное (заданное) значение коэффициента запаса

прочности.

Далее все расчёты повторяются для нового диаметра вала до тех пор, пока не будет удовлетворено условие прочности.

16.1. Пример

Определить диаметр вала, если дано: Mu = 4,2 кН.м; Мк = 3,5 кН.м; n0 = 3; Ru = 0,4; Rкр = - 0,7; материал – сталь 40Г; III, b = 0,005 (полу-

круглая выточка).

				Решение
16.1.1. Определяем диаметр вала из условия статической прочно-
сти:						Mp
				d ≥ 3 0,1[σ],
где М р – расчётный момент по 3-й теории прочности;
M p = Mи	2 + Мкр			2 =	4,22 + 3,52 = 5,47кН м,
				[σ]=	σТ ,
					n
					0
для стали 40Г σт = 360 МПа, [σ]=						360	= 120 МПа, тогда
					3
	d ≥	3	5,47 103				= 0,0769 м.
			0,1 120 106

По ГОСТ 6636-69 принимаем стандартный диаметр d = 80 мм.

86

16.1.2. Определение коэффициента запаса прочности. Механические характеристики для данного материала (сталь 40Г):

σТ = 360МПа, σb = 700МПа,

σ−1 = 0,31σb + 70 = 0,31 700 + 70 = 287МПа,

τ−1 = 0,54σ−1 = 0,54 287 =155МПа,

Ψσ = 0,05, Ψτ = 0.

Концентратор – полукруглая выточка. Механическая обработка – грубая шлифовка (назначаем конструктивно).

Из таблиц и графиков приложения найдём коэффициенты, учитывающие факторы, которые влияют на предел выносливости:

а) при изгибе

Кσ =1+α(К0 −1)

=1+1(1,8 −1) =1,8

,

К

0

=1,8

при

r

d

= 0,05

и

σ

b

= 700МПа,

α =1;

β = 0,79;

ε = 0,8;

ψτ = 0,05.

б) при кручении

r

К

0

=1,51

при

d

= 0,05

и

σ

b

= 700МПа,

α =1; β = 0,79;

ε = 0,8;

ψτ

= 0.

16.1.3. Коэффициент запаса прочности по усталости

n =

nσ nτ

,

n

=

σ−1

,

nσ 2 +nτ 2

σ

Kσ

σa +ψσ σm

εβ

nτ =

τ−1

.

Kτ

τ

+ψ

τ

a

τ

m

εβ

	А. При изгибе																		87
											= σmax −σmin = σmax − Rиσmax =
								σ		a
																			2									2
								= σmax (1− Rи) = σmax (1−0,4) = 0,3σmax =
														2													2
						= 0,3							Mи							= 0,3	4,2 103								=30,47МПа.
												0,1d 3									0,1 0,083
					= σmax +σmin = σmax (1+ Rи) = σmax (1+0,4)																											=
												2												2				2
			= 0,7σmax = 0,7																4,2 103				=57,42МПа,
																	0,1 0,083
			nσ		=														287											=3,2.
										1,8
															30,47 +0,05 57,42
								0,8 0,79
	Б. При кручении												τmax (1 − Rкр)
	τa = τmax −τmin										=												= τmax (1 + 0,7) = 0,85τmax =
					2														2									2
	= 0,85		M кр							= 0,85									3,5 103						=14,53МПа,
			0,2d 3												2					0,2 0,083
	2
	τm = τmax +τmin												=			τmax (1 + Rкр)										= τmax (1 − 0,7) =					0,15τmax =
						2													2									2
	= 0,15				M кр						= 0,15									3,5 103							=	2,56МПа,
					0,2d 3													2 0,2 0,083
			2

nτ	=			155		= 4,46 .
			1,51
				14,53 +0 2,56
			0,8 0,79
Общий коэффициент запаса
	n = 3,2 4,46 = 2,6				< n = 3,
			3,22	+ 4,462	0

88

т.к. условие прочности не выполняется, то определяем новый диаметр

dн ≥ 80 3 23,6 = 83,9 мм.

по ГОСТ 6636-69 принимаем dн = 90 мм.

А. При изгибе

	σа		= 0,3σmax			=			0,3			4,2 103				=17,28МПа,
											0,1 0,093
	σm		= 0,7σmax				= 0,7					4,2		103			= 40,33МПа,
												0,1 0,093
	nσ	=							287										= 4,38,
					1,8
									17,28 +					0,05 40,33
					0,62 0,79
	где ε = 0,62 (при d = 90 мм).
	Б. При кручении
	τa =	0,85τmax =					0,85						3,5 103					=10,2МПа,
												2	0,2 0,093
	nτ =				155						= 4,93,
					1,51	10,2
			0,62 0,79
			n = 4,38 4,93											= 3,27 n = 3,
					4,382 + 4,932													0

условие прочности выполняется.

89

17.Список рекомендуемой литературы

1.Инженерные расчёты в машиностроении: Энциклопедический справочник. - М.: Наука, 1961. - Т.1.-Кн.2. - 456 с.

2.Писаренко Г.С. Справочник по сопротивлению материалов / Г.С. Писаренко, В.А. Агарев, А.В. Квитка. - Киев: Наукова думка, 1975. - 704 с.

3.Фесик С.П. Справочник по сопротивлению материалов. - Киев:

Высш. шк., 1962. - 280 с.

Приложение

1. Геометрические характеристики сечений