П.А. Скрылев Определение реакций опор составной конструкции (система двух тел)

10

нибудь неизвестной силе, а составляя уравнение моментов, брать центр моментов в точке, где пересекается больше неизвестных сил.

При решении задачи можно ограничиться составлением одного уравнения проекций, например на ось Х, но при этом составить два уравнения моментов относительно двух произвольных точек:

n	Fкx = 0,	n	!	n	!
∑		∑	mA (Fк ) = 0,	∑	mB(Fк) = 0.	(2)
к=	1	к=	1	к=	1

При этом следует иметь в виду, что ось, относительно которой составляется уравнение проекций, не должна быть расположена перпендикулярно к прямой, проходящей через две точки, относительно которых составляются уравнения моментов. Если это условие не будет выполнено, то уравнение проекций окажется следствием уравнений моментов и решение подобной системы уравнений равновесия даст возможность определить только две неизвестные величины вместо трех.

Можно, минуя составление уравнений проекций сил, составить три уравнения моментов относительно трех произвольно выбранных точек:

n	!	n	!	n	!
∑	mA (Fк ) = 0,	∑	mB(Fк) = 0 ,	∑	mС( Fк) = 0.	(3)
к=	1	к=	1	к=	1

При этом следует иметь в виду, что эти три точки не должны лежать на одной прямой, так как иначе одно из уравнений равновесия окажется следствием двух других.

При вычислении моментов иногда бывает удобно разлагать данную силу на две составляющие и, пользуясь теоремой Вариньона, находить момент силы относительно точки как сумму моментов этих составляющих.

Выполнение задания сводится к определению реакций опор и давления в промежуточном шарнире составной конструкции.

В технике обычно встречаются три типа опорных закреплений:

1. Подвижная шарнирная опора (рис.6, опора А).

!

Реакция RA такой опоры направлена по нормали к поверхности, на которую опираются катки подвижной опоры.

у

11

!

!

YB

R

B

!

RA

В

!

А

х

X B

Рис.6

2. Неподвижная шарнирная опора (рис.6, опора В).

!

Реакция RВ такой опоры проходит через ось шарнира и может

иметь любое направление в плоскости чертежа. При решении задачи

!

реакцию RВ неподвижной шарнирной опоры представляют двумя со-

! !

ставляющими X В , YВ , направленными вдоль координатных осей Х, У в любом направлении, поскольку истинное направление силы реакции

!	=	X B2 + Y B2 .
RВ не известно. По модулю R В

3. Неподвижная защемляющая опора или жесткая заделка (рис.7).

у

!

! RA

YA

А	!		х
	mA X A

Рис. 7

В этом случае на заделанный конец балки со стороны опорных плоскостей действует система распределенных сил реакций. Считая эти силы приведенными к центру А, мы можем их заменить одной наперед

12

!

неизвестной силой RA , приложенной в этом центре и парой сил с наперед неизвестным моментом mA .

!

При решении задачи силу RA представляют ее составляющими

! !

X A , YA, направленными вдоль координатных осей Х, У в любом направлении, поскольку истинное направление действия этой силы не известно.

Действие пары сил с моментом mA на схеме изображают дуговой стрелкой, направленной по ходу часовой стрелки или против хода часовой стрелки, поскольку истинное направление действия этой пары сил также не известно.

Таким образом, реакция жесткой заделки представляется двумя

! ! !

составляющими X A , YA силы RA и парой сил с моментом mA . Решение задач на равновесие системы двух тел можно проводить

двумя вариантами.

При первом варианте решения рассматривается равновесие каждого тела, входящего в систему, в отдельности. При этом, рассматривая равновесие первого тела, давление в шарнире С, соединяющем тела, от

действия отброшенного второго тела представляется двумя составляю-

! !

щими X С , YС , направленными параллельно координатным осям Х, У в любом направлении.

При рассмотрении же равновесия второго тела давление в шарни-

ре С, соединяющем тела от действия отброшенного первого тела пред-

! !

ставляется также двумя составляющими X С′ и YС′ , направленными параллельно координатным осям Х, У, но обязательно в стороны, противоположные тем направлениям, которые были приняты для первого тела, так как при всяком действии одного материального тела на другое имеет место такое же по величине, но противоположное по направлению противодействие.

При решении задания на равновесие системы двух тел этим вариантом важно иметь в виду, что если давление какого-нибудь одного тела на другое в шарнире С, соединяющем тела, представлено состав-

13

! !

ляющими X С и YС , то на основании закона равенства действия и про-

тиводействия давление второго тела на первое в шарнире С должно
представляться составляющими						!	′		!′
						X	С		и YС , направленными противопо-
!	!′	( !	′	!	!′	!		)	.
ложно X С	и YС	X	С =- X		С ; YС =-YС
По модулю		X	′		′
			С =ХС; YС =УС.

При втором варианте решения задания рассматривается равновесие всей системы и равновесие какого-нибудь одного из тел, входящих в систему.

При рассмотрении равновесия всей системы давление в шарнире С, соединяющем тела, не показывается, так как силы взаимодействия между телами являются внутренними силами и действие одного тела на другое компенсируется действием другого тела на первое.

При рассмотрении равновесия одного из тел, входящих в систему, давление в шарнире С, соединяющем тела, от действия отброшенного

второго тела, как уже отмечалось выше, представляется двумя состав-

! !

ляющими X С и YС , направленными параллельно координатным осям

Х, У любом направлении.

Решение задачи на равновесие системы двух тел одним из описанных выше вариантов, производится в следующем порядке:

1. Выделяется тело или система тел, равновесие которых необходимо рассмотреть для отыскания неизвестных величин.

2.Освобождаются тела от связей и изображаются на схеме действующие на них активные силы и силы реакций от брошенных связей.

3.Рассматривается равновесие несвободных твердых тел как свободных, находящихся под действием произвольной плоской системы сил.

4.Выбираются наиболее удобные системы координат. При этом для каждого тела и всей системы может быть выбрана своя система координат.

5.Составляются уравнения равновесия для каждого тела или системы тел, равновесие которых исследуется.

14

6. Решается система всех уравнений равновесия относительно неизвестных величин, проверяется правильность решения и исследуются полученные результаты.

При решении систем уравнений значение каждой из величин должно подставляться в следующее уравнение с тем знаком, с которым эта величина получена при решении предыдущего уравнения.

Важное значение в процессе решения имеет аккуратный чертеж и последовательное проведение всех выкладок.

Все расчеты при выполнении задания рекомендуется проводить в общем виде.

ПРИМЕР ВЫПОЛНЕНИЯ ЗАДАНИЯ

Дано: схема конструкции (рис.8), Р1=2 кН, Р2=4 кН, М=12 кН м, q=2 кН/м.

Определить реакции связей А и В и давление в промежуточном шарнире С составной конструкции.

Р1	3,0		2,0					2,0	Р2
	q		М			В			60о
30о		С

4,0

А

Рис. 8

15

Первый вариант решения задания

Рассмотрим равновесие каждого тела, входящего в систему в отдельности.

Сначала рассмотрим равновесие тела ВС, так как при рассмотрении равновесия этого тела число неизвестных не превышает трех, что соответствует числу уравнений равновесия произвольной плоской системы сил, действующих на тело ВС (рис.9).

y
YC							RB	Р2
	М
С							В	60	о
	XC								x
	2,0							2,0

Рис. 9

При этом давление в шарнире С, соединяющем тела, от действия

! !

отброшенного тела АС представляем двумя составляющими X С и YС ,

направленными параллельно координатным осям Х, У в положительном их направлении.

Уравнения равновесия для тела ВС имеют вид:

∑n

F

=

0;

X

C

−

P cos60o

=

0,

(1)

к=

кx

2

1

∑n

F

= 0;

Y +

R

B

− P sin60o =

0,

(2)

к=

1

кy

C

2

n

m

!

) =

0;

−

M +

R

2

− P sin60o

4 =

0.

(3)

∑

C

(F

B

к=

1

к

2

Из уравнения (1)

XC = P2 cos60o = 4 0,5 = 2 кН.

								16
Из уравнения (3)
			M	+ P sin60o	4				12 + 4 0,86 4
RB	=			2			=			= 12,88 кН.
				2				2
Из уравнения (2)
Y		= P		sin60o − R	B	=	4 0,86 − 12,88 =			− 9,44 кН.
C		2

Теперь рассмотрим равновесие тела АС (рис.10). При этом давле-

ние в шарнире С, соединяющем тела, от действия отброшенного тела

! !

ВС представляем двумя составляющими X С′ и YС′ , направленными па-

раллельно координатным осям Х, У, но в стороны, противоположные

тем		направлениям, которые были приняты для тела ВС.
!	′	!	!′	!
( X	С	= - X	С ;YС	= -YС ).

Р1

30о

4,0

y

YA

3,0

	′	С
	XC	′
Q		YC

А

XA

x

mA

Рис. 10

Значения же XС′ = X С =2 кН, YС′ =YС =-9.44 кН, Q=q 3=2 3=6 кН.

Уравнения равновесия для тела АС имеют вид:

n

o

′

∑

Fкx =

0;

X A + P1 cos 30

−

0,

(4)

X C =

к=

1

n

o

′

∑

Fкy =

0;

YA − P1 sin 30

= 0,

(5)

− Q − YC

к= 1

n

( !

)

=

0; −

mA −

P1 cos 30

o

4

−

Q

1,5 −

′

3

+

′

4

= 0.

(6)

∑

mA Fк

YC

X C

к=

1

Из уравнения (4)

17

′

−

P1 cos 30

o

=

2 −

2

0,86

=

0,28 кН.

X A = X C

Из уравнения (5)

YA = P1 sin 30

o

+

Q +

′

=

2

0,5

+

6 −

9,44 = −

2,44 кН.

YC

Из уравнения (6)

mA = − P1 cos 30

o

4

−

Q

1,5

−

′

3

+

′

4 =

YC

X C

= − 2 0,86 4 −

6 1,5 +

9,44

3 +

2 4 =

20,44 кН м.

Второй вариант решения задания

Рассмотрим равновесие всей системы (рис.11)

Р1

30о

4,0

y	q		RB	P2
		М		60о
	С		B
	Q	2,0		2,0
	3,0

YA

A

ХА

x

mA

Рис.11

Уравнения равновесия всей системы имеют вид:

∑n

F

= 0;

X

A

+

P cos 30o −

P cos60o =

0,

(1)

к=

1

кx

1

2

∑n

F

=

0;

Y

A

−

P sin 30o −

Q +

R

B

− P sin60o

=

0,

(2)

к=

1

кy

1

2

n

m

!

) =

0;

− m

−

P cos 30o 4

− Q 1,5 −

M +

R

5 +

∑

A

(F

A

B

к=

1

к

1

+

P

cos60o 4 −

P sin60o 7 =

0.

(3)

2

2

Из уравнения (1)

X

A

=

P cos60o −

P cos 30o =

4 0,5 −

2 0,86 =

0,28 кН.

2

1

18

Уравнения (2, 3) использовать для определения неизвестных RB, YA и mA пока не представляется возможным, так как число неизвестных в этих уравнениях превышает число уравнений.

Для решения задачи этим вариантом необходимо рассмотреть равновесие одного из тел, входящих в систему.

Рассмотрим равновесие тела ВС (рис.12).

y

2,0

2,0

УС

P2

М

B

60о

C

ХС

Рис. 12

x

Уравнения равновесия для тела ВС имеют вид:

∑n

F

=

0;

X

C

−

P cos60o = 0,

(4)

к=

1

кx

2

∑n

F

= 0;

Y

+

R

B

−

P sin60o

=

0,

(5)

к=

1

кy

C

2

n

m

!

)

=

0;

−

Y

2 −

M − P sin60o

2 = 0.

(6)

∑

В

(F

к=

1

к

C

2

Из уравнения (4)

X

C

=

P cos60o =

4 0,5 = 2 кН.

2

Из уравнения (6)

−

M −

P

sin60o

2

−

12 −

4 0,86 2

YC =

2

=

=

− 9,44 кН.

2

2

Из уравнения (5)

R

B

= P sin60o −

Y

=

4 0,86 + 9,44 = 12,88 кН.

2

C

Зная значение RB , используем уравнения (2,3) для определения из них значений YA и mA .

Из уравнения (2)

19

Y

A

= P sin 30o +

Q −

R

B

+ P

sin60o = 2

0,5 +

1

2

+ 6 − 12,88 + 4 0,86 =

− 2,44 кН м.

Из уравнения (3)

m

A

=

− P cos 30o 4 −

Q 1,5 −

M +

R

B

5

+ P cos60o

4 −

P sin60o 7 =

1

2

2

=

− 2 0,86 4 −

6 1,5 −

12 + 12,88 5 +

4 0,5 4 − 4 0,86 7 =

20,44 кН м.

Значения реакций связей А и В и давления в промежуточном шарнире С составной конструкции, полученные в результате выполнения задания первым и вторым вариантом, одинаковы.

Для проверки правильности проведенных расчетов при выполнении задания убедимся в том, что соблюдается уравнение равновесия для сил, приложенных ко всей конструкции (см. рис.11), например:

n

!

0;

− m +

X

4 − Y 5 +

P sin30o 5

+ Q 3,5 − M − P sin60o 2 =

∑

m

(F ) =

A

=к=

−1

В

к

A

A

1

2

20,44+ 0,28 4 + 2,44 5 +

2 0,5 5 +

6 3,5 − 12−

4 0,86 2 =

− 39,32+ 39,32 = 0.

Результаты расчетов приведены в табл. 2.

Таблица 2

Силы, кН

Момент, mA ,

XA

YA

RB

XC

YC

кН м

0,28

-2,44

12,88

2,0

-9,44

20,44