И.А. Штефан Дискретизация сигналов по критерию наибольшего отклонения

					10
Исходный и аппроксимированный сигнал приведены на рис. 3.4.
1,2	x(t)
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0										10 11 12 13 t
	1	2	3	4	5	6	7	8	9
Рис. 3.4. Исходный и аппроксимированный сигналы
	при линейной аппроксимации

Точность восстановления при линейной аппроксимации осуществляется по оценкам (2.11), (2.13).

Максимальное отклонение при линейной аппроксимации достигается при z=0,5 на первом шаге дискретизации. В итоге

								∆x										+		∆t				− P					+	∆t									(3.11)
													= x t									1				t						1	.
											max						0				2				1		0			2
	Отсюда																∆t
																					= x(0,8)= 0,578316 .
												x t0 +						1
																	2
	Значение					P				+		∆t
							t						1	определим по формуле (2.2):
						1			0			2
				∆t				0,5(−0,5) (xt										0	)			x(t		0	+∆t)					1		x(0)				x(∆t	)
P	t	o	+	1		= −														−									=						+	1			= 0,539 .
1				2								1				0,5							−0,5								4		0,5			0,5

Отсюда имеем, что ∆xmax=0,78316-0,539=0,0394, т.е. ∆xmax=0,0394.

11

Для оценки точности по интегральному показателю используем выражение (3.4), где

4,8

IT = ∫x(t)dt = 4,106,

0

где IП – площадь трапеций, определяемая по выражению:

	x(0)+ x(4,8)			2
I П = ∆t1				+ ∑x(i∆t)		= 4,029.
		2
				i =1

Таким образом, при линейной аппроксимации

I =4,106-4,029=0,077, т.е. I=0,077.

3.4. Параболическая аппроксимация

Шаг дискретизации при параболической аппроксимации выбирают по выражению (2.10). Для определения максимального по модулю значения третьей производной М3 продифференцируем функцию (3.10):

′′′	−0,5t	.	(3.12)
x (t)= −0,0054cos0,3t +0,0875e

Отсюда

M 3 = max{x′′′(t)}= 0,0821,

где t [0,5]. М3=0,0821.

Шаг дискретизации при параболической аппроксимации

∆t2 = 3 20,8 0,057 = 2,228, т.е. ∆t2=2,228. 0,0821

Число шагов дискретизации

k = 2,2285 = 2,244. Примем k=2.

12

Точность восстановления при параболической аппроксимации оценим только по показателю наибольшего отклонения (2.11). Так как наибольшее отклонение в этом случае будет при z=0,42, то значение аргумента

t = 0,42 2,228 = 0,93576 .

∆xmax = x(t0 +0,42∆t2 )− P2 (t0 +0,42∆t2 ).

(3.13)

Тогда

x(t0 + 0,42∆t2 )= x(0,9358)= 0,616981.

P2 (t0 +0,42∆t0 ) определяется по выражению (2.2) при n=2. Отсю-

	да имеем		0,42 0,58 1,58 x(0)				2x(∆t2 )		x(2∆t2 )
	P	(0,9358) =				+		−			= 0,594525 .
	2		2		0,42	0,58		1,58

В итоге

∆xmax =0,616981-0,594515=0,022456, т.е. ∆xmax=0,022456.

4.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Ознакомиться с методикой выбора шага дискретизации ∆t по критерию наибольшего отклонения.

2.Выбрать шаг дискретизации по критерию наибольшего отклонения при ступенчатой, линейной и параболической аппроксимациях для модельных сигналов, приведенных в табл. 4.1 в соответствии с заданным вариантом, и оценить погрешность аппроксимации по показателю наибольшего отклонения (2.11), а для ступенчатой и линейной аппроксимации еще и по интегральному показателю (2.13). Во всех вариантах принять интервал задания сигнала [0; 5], а допустимую погрешность определить из условия, что

εдоп = 0,05		xmax		.	(4.1)

	13
	Таблица 4
	Модельные сигналы
Варианты	Модельные сигналы x(t)
1	x(t)=0,2t2+sin0,5t-cos0,2t
2	x(t)=0,5t-0,1t3+cos0,4t
3	x(t)=1-e-0,5t+0,1t+sin0,5t
4	x(t)=1+(0,2t+1) e-0,3t-0,1t2
5	x(t)=0,2+0,7 e-0,2t+t+0,3t2
6	x(t)=0,4(1-0,5t) e-0,6t+0,5sin0,6t
7	x(t)=0,5(1-0,1t+0,6t2-0,7t3)
8	x(t)=0,2 e-0,7t+0,1 e0,2t-0,5t
9	x(t)=sin0,4t+cos0,8t+0,5e -0,1t
10	x(t)=0,5t2-sin0,9t+0,3t3
11	x(t)=1-2 e -0,8t+0,2 cos1,1t
12	x(t)=0,3t-2sin0,9t+0,4e-0,8t
13	x(t)=0,1t2-2 cos0,8t +0,1e 0,3t
14	x(t)=0,4(1-0,5 t+0,1 t3-e-0,2t)
15	x(t)=0,6-0,7(1+0,5t2-0,8t)e-0,5t+cos0,8t
16	x(t)=0,2t3-0,4t2+ cos1,1t-0,4e-0,1t
17	x(t)=sin0,8t+0,4cos1,3t-(1-0,5t2)e+0,1t
18	x(t)=0,3e-0,8t+0,4e0,3t-0,4(1-0,8t2)

Построить графики исходного сигнала и сигналов при ступенчатой и линейной аппроксимациях. Написать выводы о влиянии типа аппроксимации на величину шага дискретизации.

3. Исследовать влияние шага дискретизации на точность восстановления в интервале от 0,5∆t0 до 1,5∆t0 с интервалом 0,1∆t0, где ∆t0 – оптимальный шаг дискретизации, выбранный по критерию наибольшего отклонения при ступенчатой аппроксимации. Построить графики

изменения ∆хmaxi, σi и Ii при ступенчатой аппроксимации (i =1,11). 4. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе.

14

5.КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Что влияет на величину шага дискретизации при его выборе по критерию максимального отклонения?

2.На что влияет степень интерполяционного полинома Лагранжа?

3.В чем состоит особенность показателя наибольшего отклонения от других показателей оценки ошибки восстановления?

4.Что характеризует показатель качества приближения?

5.Достоинства и недостатки ступенчатой аппроксимации.

6.Достоинства и недостатки линейной аппроксимации.

СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1.Дядюков А.Н. Адаптивные системы сбора и передачи аналоговой информации. Основы теории / А.Н. Дядюков, Ю.А. Онищенко, А.И. Сенин. – М.: Машиностроение, 1988. – 288 с.

2.Дмитриев В. И. Прикладная теория информации. Учеб. для ву-

зов. – М.: Высш. шк., 1989. – 320 с.

3.Новоселов О.Н. Основы теории и расчета информационноизмерительных систем / О.Н. Новоселов, А.Ф. Фомин. – М.: Машино-

строение, 1991. – 336 с.

15

	СОДЕРЖАНИЕ
1.	ЦЕЛЬ РАБОТЫ.........................................................................................	1
2.	ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ ................................	1
3.	ПРИМЕТЫ ВЫБОРА ШАГА ДИСКРЕТИЗАЦИИ И ОЦЕНКИ
ТОЧНОСТИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ...........................................................		4
	3.1. Ступенчатая аппроксимация .............................................................	5
	3.2. Исследование влияния шага дискретизации на точность
	восстановления ..........................................................................................	8
	3.3. Линейная аппроксимация ..................................................................	9
	3.4. Параболическая аппроксимация .....................................................	11
4.	ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ.................................................	12
5.	КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ................................................................	14
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ.....................................		14

16

Составители Иван Адольфович Штефан

Валентина Викторовна Штефан

ДИСКРЕТИЗАЦИЯ СИГНАЛОВ ПО КРИТЕРИЮ НАИБОЛЬШЕГО ОТКЛОНЕНИЯ

Методические указания к лабораторной работе по курсу «Компьютерное управление» для студентов специальности 210200 «Автоматизация технологических процессов и производств

(в машиностроении)»

Редактор Е.Л.Наркевич

ИД № 06536 от 16.01.02. Подписано в печать Формат 60×84/16. Бумага офсетная. Уч.-изд. л. 1,0. Отпечатано на ризографе.

Тираж 150 экз. Заказ ГУ Кузбасский государственный технический университет.

650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография ГУ Кузбасский государственный технический университет. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.