И.А. Штефан Противоподменные аналоговые фильтры баттерворта

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»

Кафедра информационных и автоматизированных производственных систем

ПРОТИВОПОДМЕННЫЕ АНАЛОГОВЫЕ ФИЛЬТРЫ БАТТЕРВОРТА

Методические указания к лабораторной работе по курсу "Компьютерное управление" для студентов специальности 210200 "Автоматизация технологических процессов и производств

(в машиностроении)"

Составители И.А.ШТЕФАН В.И.ШТЕФАН

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 14.03.03

Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 210200 Протокол № 95 от 3.04.03

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2003

1

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

Цель работы – изучить противоподменные аналоговые фильтры низкой частоты Баттерворта и приобрести практические навыки по выбору их порядка и моделированию на натурных и модельных временных рядах.

2. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Амплитудная частотная характеристика A (ω) фильтров Баттер-

ворта отличается от прямоугольной частотной характеристики идеального фильтра низкой частоты и приведена на рисунке.

Амплитудная частотная характеристика фильтров Баттерворта

ωa , ωn − граничные частоты, которые выделяют: полосу пропускания (0; ωa ); переходную полосу (ωa , ωn ); полосу задерживания (ωn , + ∞). Частоты ωa и ωn связаны с параметрами δ и ε , которые соответствен-

но определяют максимальное ослабление в полосе пропускания и минимальное ослабление в полосе задерживания, т.е.

	2
1	−δ ≤ A(ω)≤1, ω ≤ωa	(2.1)
	.
	A(ω)≤ε, ω ≥ωn

При этом ωn = k ωa ,

где k (k >1) − коэффициент запаса.

Амплитудная частотная характеристика фильтров Баттерворта задается соотношением

	A (ω)=	1	.	(2.2)
		1 +ω2n

Прямоугольность A (ω) зависит от порядка n фильтра Баттервор-

та. Чем выше n , тем амплитудная частотная характеристика ближе к прямоугольной. Однако при этом усложняется схемная реализация фильтров Баттерворта. На практике показано, что при n > 4 обеспечивается приемлемая прямоугольность характеристики A (ω).

На основе выражений (2.1) получены соотношения по выбору порядка фильтров Баттерворта, обеспечивающих требуемые значения параметров δ и ε . В этом случае

	n =	lnη	,	(2.3)
		2 ln k
где η =	(1 −ε2 )(1−δ )2
	ε2δ (2 −δ ) ,			(2.4)

где ε, δ <<1.

Передаточные функции фильтров Баттерворта:

Wф (p)=		1		(2.5)
	1 + a p + a p2		+K+ a pn
	1	2	n

определяются через полюсы характеристического уравнения по выражению

3

W (p)=

1

.

(2.6)

(p − p )(p − p

)K(p − p

)

1

2

n

Полюсы

передаточной

функции

фильтра

Баттерворта

p1 , p2 , K, pn определяются по выражению

p

= −sin

2i −1

π

+

j cos

2i −1

π

,

(2.7)

i

2n

2n

где i =

.

1, n

Модули

всех

полюсов

равны

1,

а

их

аргументы

ϕ

i

=π

n +(2i −1) 2n .

WФ (p)

При нечетном n

имеет

один вещественный

корень и

(n −1)

− комплексно-сопряженных корней,

а при четном n все корни

комплексно-сопряженные.

3.ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Ознакомиться с теорией построения амплитудных частотных характеристик фильтров низкой частоты Баттерворта, выбора их порядка, нахождения полюсов и получения на их основе передаточных функций.

2.Определить требуемый порядок фильтра Баттерворта n в соответствии с заданным вариантом по данным из табл. 3.1.

3.Построить амплитудные частотные характеристики A (ω) (2.2)

для фильтров Баттерворта порядков n −1, n , n +1 в одних осях координат и провести сравнительный анализ о степени влияния порядка фильтра на прямоугольность A (ω).

4. Получить передаточные функции фильтров Баттерворта порядков n −1, n , n +1 по формуле нахождения полюсов (2.7) и формуле определения передаточных функций (2.6) и их алгоритмы фильтрации, используя правила непосредственного получения разностных уравнений по дифференциальным уравнениям или методы z - преобразования, используя общую подстановку вида

	4
p =	1 − z		−1
				.	(3.1)
		∆t

Выбор шага дискретизации осуществить по наименьшей постоянной времени:

Tmin = − p 1 , (3.2)

max

где pmax − максимальный по модулю комплексно-сопряженный корень. При этом шаг дискретизации:

		∆t = (0,1 0, 5) Tmin .		(3.3)
				Таблица 3.1
		Значения параметров фильтров Баттерворта
	Вариант		Параметры
		ε	δ	k
	1	0,02	0,04	5
	2	0,03	0,06	6
	3	0,04	0,08	7
	4	0,05	0,07	5
	5	0,04	0,08	6
	6	0,04	0,06	7
	7	0,02	0,05	5
	8	0,03	0,06	6
	9	0,03	0,08	7
	10	0,04	0,09	5
	11	0,03	0,04	5
	12	0,04	0,06	5
	13	0,05	0,06	6
	14	0,03	0,08	6
	15	0,03	0,07	6
	16	0,04	0,06	7
	17	0,05	0,06	6
	18	0,02	0,04	7
	19	0,02	0,07	6
	20	0,03	0,08	5

5

5. Отфильтровать значения натурных сигналов, приведенные в табл. 3.2, фильтром Баттерворта порядка n и построить в одних координатах исходный и отфильтрованный сигналы и проанализировать результаты фильтрации.

6. Оформить и защитить отчет по лабораторной работе.

Таблица 3.2

Натурные сигналы

Номер							Сигналы
варианта
	84
	83
	82
	81
1	80
	79
	78
	77
	1	9	17	25		33	41	49	57	65	73	81	89	97
	75
	70
	65
2	60
	55
	50
	1	8	15	22	29	36	43	50	57	64	71	78	85	92	99

						6
									Продолжение табл. 3.2
Номер						Сигналы
варианта
	70
	65
	60
3	55
	50
	45
	40
	1		10	19	28	37	46	55	64	73	82	91	100
	70
	65
	60
4	55
	50
	45
	40
	1	9	17	25	33	41	49	57	65	73	81	89	97

					7
									Продолжение табл. 3.2
Номер					Сигналы
варианта
	80.5
	79.5
	78.5
5	77.5
	76.5
	75.5
	74.5
	1	9	17	25	33	41	49	57	65	73	81	89	97

85.5
84.5
83.5
82.5
6
81.5
80.5
79.5
78.5
1	9	17	25	33	41	49	57	65	73	81	89	97

					8
								Продолжение табл. 3.2
Номер					Сигналы
варианта
	58
	57.5
	57
	56.5
	56
7	55.5
	55
	54.5
	54
	53.5
	53
	1	9	17	25	33	41	49	57	65	73	81	89	97

	61
	60.5
	60
	59.5
	59
8	58.5
	58
	57.5
	57
	56.5
	56
	1	9	17	25	33	41	49	57	65	73	81	89	97

9

Продолжение табл. 3.2

	Номер	Сигналы
	варианта

85

84

83

82

981

80

79

78

1

9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97

61

60

59

58

10

57

56

55

1

9

17

25

33

41

49

57

65

73

81

89

97