3. Подобие объектов управления

0,9	σy,усл.ед.
0,8
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
										T, с
0
0	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500

Рисунок 3.6 – Влияние изменения постоянной времени инерции T

на СКО выходного воздействия σy объекта

(α=0,05; k=1; σпр=1)

Зависимость изменения σy объекта от изменения параметра T носит спадающий экспоненциальный характер.

Выводы. 1. Разработанный модуль для исследования совместного подобия объектов управления и внешних воздействий обладает достаточной точностью для проведения дальнейших исследований по подобию объектов управления. 2. Для исследованных характеристик каналов преобразования объекта управления и действующих на него приведенных возмущений, описываемых выражениями (3.3) и (3.4) необходимым и достаточным условием совместного подобия действующих на объект входных воздействий и каналов их преобразования является выполнение условия (3.13).

3.2 Постановка задачи исследования подобия объектов, представленных

моделью инерционного звена второго порядка с запаздыванием

Дано:

1.Структура объекта управления приведена на рисунке 3.1.

2.Математическая модель объекта управления, представленная в операторной форме с помощью последовательно соединенных инерционного звена второго порядка и звена запаздывания:

( ) =				∙ −,	(3.17)
	2 2+ +1
2		1

где 1 и 2 – постоянные времени, k – коэффициент передачи объекта, τ – время запаздывания.

3.Приведенные к управляющему входу объекта управления воздействия представляют собой стационарный временной ряд с экспоненциально спадающей нормированной автокорреляционной функцией (АКФ), описанной в уравнении (3.4).

4.Условием подобия является неравенство вида (3.5).

Среднеквадратическое отклонение (СКО) выходной переменной объекта как

оценка эффектов влияния входных воздействий на выходные для численных

исследований описывается выражением (3.6)

5.Начальные условия (3.7).

6.Ограничение по времени спада θs нормированной АКФ приведенного возмущения определяется соотношением (3.8).

Требуется

1.Сформировать условия или возможный показатель (критерий) для оценки подобия.

2.Проверить полученный показатель на модельных данных.

3.Исследовать влияние изменений характеристик Т1, Т2 (постоянные времени),

α(коэффициент спада АКФ), σпр (СКО приведенного возмущения), τ (запаздывание),

k (коэффициент передачи объекта) на изменения СКО выходного воздействия.

Решение поставленной задачи

Аналогично задаче из раздела 3.1 была предпринята попытка вывести аналитическое выражение для расчета дисперсии выходного воздействия y2 на основе выражений (3.9) – (3.10).

Т.к. модуль частотной характеристики модели объекта (3.17) в итоге не содержит запаздывания:

|( )| =		(3.18)

√(1−22 2)2+ 12 2

то в дальнейших исследованиях величину запаздывания не учитывали.

Получить аналитическое выражение для расчета дисперсии выходного воздействия не удалось. На основании промежуточного выражения

		1	∙ ∫∞	2∙		2∙2	∙
2	=					пр				(3.19)
				2
		2	−∞ ((1−22 2)		+ 12 2)∙(2+ 2)

были вычислены значения дисперсии посредством системы компьютерной

алгебры MathCAD. Вычисления проводили при выполнении следующих условий:

1) значения характеристик динамического ряда приведенных ко входу возмущений находились в пределах: 1 пр 30 ; 0,01 0,1. Значение параметра σпр

меняли с шагом Δσпр = 1; α – с шагом Δα = 0,01;
2) диапазон исследования характеристик объекта:
1 T1 500 , с шагом дискретизации T1 = 1;
1 T 2	500 , с шагом дискретизации	T2 = 1; T1=T2,;
1 k 10 , с шагом дискретизации					1
		k = 1;		=			.
					10
Для реализации	численных исследований использовали					моделирующий

комплекс [11] и алгоритм формирования случайных сигналов с коррекцией по обратной связи [14]. При этом кроме условий 1) и 2) выполняли дополнительно следующие условия:

3)интервал моделирования I = 25000 c. Шаг дискретизации по времени ∆t=1c;

4)заданная точность отклонения результатов аналитических уа и численных

уч решений должна быть не более 5% (3.12).

Анализ результатов

В процессе исследовании были проведены серии аналитических расчетов и численных экспериментов при зафиксированных условиях (1)−(4). Результаты аналитических расчетов уа сравнивались с результатами численных исследований

уч по выражению (3.12). Обобщенные результаты исследования отражены в таблице

3.3, где приведены лишь минимальные ум ин , срединные усред и максимальные

ум акс значения отклонений (3.12) для условий, приведенных в каждой строке левого столбца этой таблицы.

Таблица 3.3 – Отклонения между аналитическими и численными значениями для модели объекта в виде инерционного звена второго порядка

Диапазон изменения параметров		мин	сред	макс
		y ,%	y , %	y , %
1 пр 30	, Δσпр = 1	0,57	0,88	1,57
0,01 0,1, Δα = 0,01		0,73	1,22	2,30
1 T 500 ,	T = 1	0,41	0,97	1,84
1 k 10 ,	k = 1	0,83	1,23	1,97

Как видно из таблицы 3.3, значения среднеквадратических отклонений,

полученных аналитически по выражению (3.19) и численного моделирования,

различаются не более, чем на 2,3% для всего диапазона исследования, что соответствует заданной инженерную точности, равной 5%. Полученные результаты подтверждают работоспособность программного модуля для исследования совместного подобия объектов управления и действующих на них возмущений для имитационного моделирующего комплекса по исследованию подобия систем управления [11].

Численные исследования

Для модели объекта (3.17) совместно со сгенерированными в программном комплексе [11] с помощью алгоритма формирования случайных сигналов с коррекцией по обратной связи [14] внешними воздействиями с заданной АКФ (3.4)

были проведены численные исследования и определены параметры, при которых выполняется условие подобия (3.5). В таблице 3.4 показаны некоторые значения параметров модели объекта управления (k1, k2 – коэффициент передачи, T11, T12 –

постоянная времени) и характеристик приведенного возмущения (α1, α2 –

коэффициент спада АКФ, σпр1, σпр2 – СКО приведенного возмущения) и

соответствующие значения СКО выходного воздействия (σy1, σy2) для случаев, когда |

(σy1)2– (σy2)2|<0,05. Надстрочные индексы 1 и 2 соответствуют принадлежности первому и второму объектам.

Таблица 3.4 – Результаты численных исследований подобия объектов

k1	T11	σпр1	α1	k2	T12	σпр2	α2	σy1	σy2	Δσy, %
7	200	3	0,02	3	100	7	0,04	10,25	10,19	0,60
4	50	5	0,02	5	10	4	0,10	16,18	15,78	2,44
3	180	2	0,02	2	90	3	0,04	3,06	3,05	0,44
1	90	8	0,04	2	60	4	0,06	4,07	4,05	0,37
2	200	2	0,09	1	180	4	0,10	0,96	0,96	0,12
3	180	5	0,05	5	100	3	0,09	4,94	5,19	4,85
2	450	9	0,04	3	300	6	0,06	4,14	4,33	4,32
4	100	4	0,02	8	40	2	0,05	10,42	10,35	0,68
3	240	4	0,05	6	120	2	0,10	3,48	3,42	1,51
2	300	5	0,02	5	150	2	0,04	4,07	4,01	1,51

По результатам численных исследований были выявлены эмпирические зависимости, обеспечивающие выполнение условия подобия (3.5):

1 пр1 = 2 пр2				;
{		=			(3.18)
11	1	12	2

При совместном выполнении условий (3.18) объекты управления, заданные моделью (3.17), совместно с внешними воздействиями с заданной АКФ (3.4) будут

подобны по условию (3.5). Таким образом, выражение (3.18) можно считать условиями подобия объектов управления для указанных условий.

Проверка полученных экспериментальных данных для выведенных закономерностей показала максимальное отклонение Δσy=4,85%.

Исследование влияния изменений параметров модели объекта управления

и свойств приведенных возмущений на изменения среднеквадратического

отклонения выходного воздействия

Были проведены исследования влияния изменений свойств модели объекта управления (постоянные времени T1, T2, коэффициент передачи k) и статистических характеристик приведенного возмущения (коэффициент спада АКФ α, дисперсия σ2пр)

на изменения СКО выходного воздействия σy, результаты которых представлены на рисунках 3.7 – 3.11 в виде зависимостей изменения СКО выходного воздействия от изменения указанных параметров.

8
7	σy,усл.ед.
6
5
4
3
2
1				φ					k, усл. ед.
0
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10

Рисунок 3.7 – Влияние изменения коэффициента передачи k на изменение СКО объекта σy (α=0,05; T1=150, T2= T1, σпр=1)

Изменение величины σy пропорционально изменению коэффициента передачи объекта. Угол φ зависит от параметров α, T1 и σпр, т.е. φ=f(T1, α,σпр).

14	σy, усл.ед.
12
10
8
6
4
2		γ
0						σпр, усл. ед.
0	5	10	15	20	25	30
Рисунок 3.8 – Влияние изменения СКО приведенного возмущения σпр на
	изменение СКО объекта σy (α=0,05; T1=100; T2= T1; k=1)

Изменение		величины σy		пропорционально		изменению СКО		приведенного
возмущения. Угол γ зависит от параметров α, T1 и k т.е. φ=f(α,T1, k).
0,6	σy, усл.ед.
0,5			T1=150
					Т1=200
0,4					Т1=300
							Т1=450
0,3
0,2
0,1
0								α, c-1
	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09	0,1

Рисунок 3.9 – Влияние изменения коэффициента спада АКФ α на изменение

СКО объекта σy (σпр=1, k=1, T2=T1)

Зависимость изменения σy объекта от изменения параметра спада АКФ возмущения носит спадающий экспоненциальный характер.

1,4	σy, усл.ед.
1,2
1
0,8
0,6
0,4
0,2
0										T1, с
0	50	100	150	200	250	300	350	400	450	500
Рисунок 3.10 – Влияние изменения параметра T1								на СКО объекта σy
			(α=0,05; T2 = Т1; k=1; σпр=1 )
Зависимость изменения σy объекта от изменения параметра T1									носит спадающий
экспоненциальный характер.

1,2
1
0,8
0,6
			α=0,02
0,4		α=0,04
		α=0,05
0,2
0						T2, c
0	100	200	300	400	500	600
Рисунок 3.11 – Влияние изменения параметра T2				на изменение СКО объекта σy
		(α=0,05; T1 = Т2; k=1; σпр=1 )

Вывод. Для исследованных характеристик каналов преобразования объекта управления и действующих на него приведенных возмущений, описываемых выражениями (3.17) и (3.4) необходимым и достаточным условием совместного

подобия действующих на объект входных воздействий и каналов их преобразования

является выполнение условий (3.18).

3.3 Численные исследования систем автоматического регулирования с

ПИД-регулятором

На сегодняшний день методика построения регуляторов профессора Ротача В.

Я. [26] для систем регулирования по отклонению доказала свою эффективность и простоту применения. Данная методика позволяет сразу определить и структуру, и

параметры закона регулирования.

Разнообразие промышленных объектов автоматизации в большинстве случаев структурно можно представить в виде моделей инерционного звена первого и второго порядков с запаздыванием. Для таких объектов методика выбора типовых регуляторов однозначно рекомендует использовать ПИ- и ПИД-регулятор соотвественно. На практике выбранный регулятор можно настраивать либо по инженерной методике В. Я. Ротача [26], либо осуществляя поисковую оптимизацию параметров регулятора. Например, возможно оптимизировать настройки регулятора в плане минимума СКО системы. Также возможно использовать и другие методики настройки регулятора, которые на текущем этапе исследования не рассматриваются.

На основании выше сказанного и было принято решение проводить исследования САР по отклонению с ПИД-регулятором, настроенным по инженерной методике [26] и с оптимальными в плане минимума ошибки регулирования параметрами.

Постановка задачи:

Дано:

1 Эквивалентная структура системы регулирования по отклонению при наличии действующих на объект неконтролируемых возмущений приведена на рисунке 3.12

				yпр(i)
			+
	Объект		+	y(i)
	регулирования
u(i)				–
			ε(i)	y*(i)
	Регулятор
				+

u(i) – управляющее воздействие, y(i) – выходная величина,

y*(i) – заданный уровень выходной величины, ε(i) – ошибка регулирования, yпр(i) – приведенные к выходу неконтролируемые возмущения

Рисунок 3.12 – Эквивалентная структура системы регулирования

2 Объект регулирования – последовательно соединенные звено чистого запаздывания и инерционное звено второго порядка.

3 Математическая модель канала преобразования регулирующих воздействий,

представленная в операторной форме с помощью последовательно соединенных инерционного звена второго порядка и звена запаздывания (3.17).

4 Приведенные к выходу объекта возмущения − стационарный динамический сигнал с заданной АКФ (3.4).

5 Закон регулирования: ПИД-регулятор с передаточной функцией

1				(3.19)
ПИД( ) = (1 +			+ д )
	и

Для расчета использовали рекуррентно-разностные выражения, полученные из

(3.17, 3.19) методом Z-преобразования.

5.1Настройки регулятора kp, Tu, Tд выбирались по методике [26] и оптимальные

вплане минимума СКО по методу деформируемого многогранника [39].

6Начальные условия (3.7).

7Среднеквадратичный критерий точности регулирования

		1
	=		∑[ ( ) − ( )]2,	(3.20)
		− 1

=1