[ Дмитриева, Суханов ] Дополнительные главы матфизики

2 Уравнения Вольтерра.

2.1 Решение уравнения Вольтерра методом последовательных приближений.

Рассматривается неоднородное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

x
ϕ(x) = f(x) + λ Z	K(x, t)ϕ(t)dt	(17)

a

Также необходимо учитывать некоторые условия:

1. f(x) C[a, b]

2. Ядро непрерывно на треугольнике: K(x, t) C(Δ), x ≥ t

Рис. 3: Область определения ядра уравнения Вольтерра.

Будем искать решение уравнения (17) в виде степенного ряда, членами которого являются непрерывные функции:

	∞
	X
	ϕ(x) =	λkϕk(x)		(18)
	k=0
Подставим ряд (18) в уравнение (17).
∞	x		∞
	λkϕk(x) = f(x) + Z
k=0			K(x, t) k=0 λk+1ϕk(x)dt
X	a		X

Перепишем то же самое в операторном виде:

∞∞

XX

λkϕk(x) = f +	λk+1Kϕk
k=0	k=0

Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.

λ0	:	ϕ0	= f
λ1	:	ϕ1	= ϕ0 + λKϕ0 = f + λKf
λ2 :		ϕ2 = f + λ2K2f
·n· ·		· · · · · ·		n	K	n	f
λ	:	ϕn = f + λ

Для доказательства того, что ряд (18) есть решение уравнения Вольтерра, надо доказать, что этот ряд сходится. Для этого нам необходимо рассмотреть некоторые оценки и вспомнить теорему 1-го курса.

Теорема Вейерштрасса. Для каждой функции, непрерывной на I = [a, b], существуют верхняя и нижняя

грань: m = min f(x),	M = max f(x).
x I	x I
Тогда, вспоминая про условия, сформулированные в начале данного параграфа, мы можем написать
	|f(x)| < m,	x [a, b]
	|ϕ0(x)| < m,	x [a, b]
	|K(x, t)| < M,	(x, t) [Δ]

10

Будем последовательно оценивать функции ϕk(x), k = 1 . . . n. Модуль оценивается, как произведение максимума подынтегральной функции на длину интегрируемого промежутка.

|ϕ2	(x)|	=	x	|K(x, t)ϕ1	(x)|dt	< M			x(t − a)Mmdt = M2	21 (x − a)m
			Rx
|ϕ1	(x)|	=	a	|K(x, t)ϕ0	(x)|dt	< (x			− a)Mm
			R						R
			a						a
	· · ·	· · ·	·x· ·
|ϕn(x)|		=	R	|K(x, t)ϕn−1(x)|dt < n1! Mnm(x − a)n

a

Последнее выражение есть угаданная нами реккурентная формула. Ее надо доказать методом математической индукции. Здесь я напишу полную схему этого метода, а в дальнейшем буду писать только последний шаг.

1. База индукции. Наше предположение выполняется для первого номера:

|ϕ1(x)| < (x − a)Mm

2. Пусть наше предположение верно для некоторого номера n:

|ϕn(x)| < n1! Mnm(x − a)n

3. Шаг индукции. Докажем, что наше предположение справедливо также для n+ 1, тогда оно верно для всех

n N

x

x

1

(x − a)n+1

(x − a)n+1

ϕ

(x)

=

K(x, t)ϕ

(x) dt <

M

Mn(t

a)nmdt < Mn+1m

= Mn+1m

|

n+1

|

Za

|

n

|

Za

n!

−

n!(n + 1)

(n + 1)!

Доказательство закончено.

Для доказательства сходимости ряда (18) осталось совсем чуть-чуть. Вспоманаем еще кое-что из 1-го курса.

Признак Вейерштрасса равномерной сходимости рядов. Ряд ∞

P

fk(x) сходится на промежутке I

k=1

равномерно, если существует сходящийся числовой ряд ∞

P

ak с положительными членами такой, что для всех

k=1

k ≥ N è âñåõ x I выполняется неравенство

|fk(x)| ≤ ak.

Ðÿä ∞				∞
ak называется мажорантой функционального ряда				fk(x).
=1				k=1
kP				P
Итак, мажорантой ряда (18) будет следующий числовой ряд
∞	1		Mk(b − a)kλk,	x [a, b]
	m
k=1		k!
X
Эта мажоранта сходится как всякий ряд	Ck
	k! , ãäå C константа. Теперь делаем вывод: (i) ряд (18) сходится

абсолютно и равномерно на [a, b]; (ii) суммируемые функции непрерывны. Тогда ϕ(x) непрерывна и ряд можно

интегрировать почленно. Для решения уравнения нам надо последовательно искать					ϕ0	, ϕ1, . . . ϕn, которые
равномерно сходятся к решению уравнения
	Íî è ýòî åùå íå âñå!		λ.
	Упражнение.	Доказать единственность решения.		ψ = ϕ1 −ϕ2 и доказать, что ψ = 0
	Я это не доказазывал, но вам советую. Подсказка: рассмотреть оценку для

Замечание. Уравнение Вольтерра не имеет характеристических чисел, т.к. ряд (18) сходится при любых λ è

x

R

уравнение ψ(x) = λ K(x, t)ψ(t)dt имеет только тривиальное решение.

a

11

2.2 Итерированные ядра и резольвента уравнения Вольтерра.

Рассматривается неоднородное интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода.

	x
	ϕ(x) = f(x) + λ Z	K(x, t)ϕ(t)dt	(19)
	a
Также необходимо учитывать некоторые условия:
1.	f(x) C[a, b]
2.	Ядро непрерывно на треугольнике: K(x, t) C(Δ), x ≥ t

Рис. 4: Область определения ядра уравнения Вольтерра. Будем рассматривать операторы ( Kn) и соответствующие им ядра ( Kn(x, s))2.

	x
	(Kϕ)(x) = Za	K(x, t)ϕ(t)dt
x		x	x
(K2ϕ)(x) = Za	K2(x, s)ϕ(s)ds = Za		ϕ(s)ds Zs	K(x, t)K(t, s)dt

x

Z

K2(x, s) = K(x, t)K(t, s)dt

s

xx

ZZ

(K3ϕ)(x) = ϕ(s)ds K(x, t)K2(t, s)dt

as

x

Z

K3(x, s) = K(x, t)K2(t, s)dt

s

xx

ZZ

(K4ϕ)(x) = ϕ(s)ds K(x, t)K3(t, s)dt

as

x

Z

K4(x, s) = K(x, t)K3(t, s)dt

s

·· · · · · · · ·

x x

ZZ

(Knϕ)(x) =	ϕ(s)ds K(x, t)K	n−1	(t, s)dt	(20)
a	s

2Здесь также надо помнить о теореме Фубини.

12

Данная схема называется итерационной, а ядра Kn(x, s) называются итерированными. Выражение (20) есть угаданная нами реккурентная формула. Ее надо доказать по методу математической индукции. Как и обещал

сразу пишу доказательство для номера n + 1.

xx

ZZ

KKnϕ = ϕ(t)dt K(x, s)Kn(s, t)ds

a	t
	|			{z		}
			Kn+1(x,t)
Доказательство закончено.
Резольвентой (или разрешающим ядром) интегрального уравнения называется такое ядро:
	∞
R(x, t, λ) = X λn−1Kn(x, t)						(21)

n=1

При этом соответствующий интегральный оператор будет выглядеть так 3:

x

Z

(Rλϕ)(x) = R(x, t, λ)ϕ(t)dt

Вспомним решение уравнения Вольтерра:

В терминах резольвенты:

a

∞

X

ϕ = λnKnf

n=0

∞!

ϕ = f + λ	X
	λn−1Kn f
	n=1
ϕ = f + λRλf		(22)

Далее будем рассматривать аналитические свойства резольвенты. Используя условия для формулировки уравнения Вольтерра и теорему Вейерштрасса, имеем

|K(x, t)| ≤ M, (x, t) [Δ]

Будем последовательно оценивать итерированные ядра.

		x
|K2(x, t)|	=	Rtx |K(x, s)K(s, t)|ds
|K3(x, t)|	=	Rt	|K(x, s)K2(s, t)|ds
· · ·	· · ·	·x· ·
|Kn(x, t)|	=	Rt |K(x, s)Kn−1(s, t)|ds

< (x − a)M2

x

< M3 R (s − t)ds = M3 12 (x − t)2

t

< Mn (x−t)n−1

(n−1)!

Последнее выражение есть угаданная нами реккурентная формула. Ее надо доказать методом математической индукции. Докажем, что это предположение справедливо для n + 1 номера.

x

x

x

K

(x, t)

=

K(x, s)K

(s, t)

ds

Zt

MMn

(s − t)n−1

ds =

Mn+1

Zt

(s

t)n−1ds =

Mn+1

(x

t)n

(n − 1)!

|

n+1

|

Zt

|

n

|

≤

(n − 1)!

−

n!

−

Доказательство закончено.

Замечание. Тут, наверное, уместно напомнить, что все эти операции с итерированными ядрами для уравнения Вольтерра мы делаем в области, где они не равны нулю, т.е. при x ≥ t.

Теперь выясним вопрос о сходимости ряда (21) для резольвенты. Для этого, как и в предыдущем параграфе нам надо найти суммируемую мажоранту:

	∞	n		≤	∞		(n 1)!
n=1		λn−1K	(x, t)			Mn	(x − t)n−1	λn−1	= MeλM(x−t)
					n=1		−
	X				X

Т.о., ряд (21) для любого λ из компакта (замкнутое и ограниченное множество) сходится абсолютно и равном- ерно. Резольвента регулярная функция для всего компакта.

3Суханов в 2004г. резольвентой называл сам оператор.

13

Далее скажем пару слов о связи резольвенты с обратным оператором. Пишем интегральное уравнение Вольтерра 2-го рода в операторном виде

ϕ = f + λKϕ

Его решение можно находить обращением:

(ϕ − λKϕ) = f

(I − λK)ϕ = f

ϕ = (I − λK)−1f = f + λRλf = (I + λRλ)f

Ò.ê. f любая функция, то

(I − λK)−1 = (I + λRλ)

(23)

Упражнения.

Построить резольвенту и по формуле (22) найти решения следующих интегральных уравнений Вольтерра.

t

1. ϕ(t) = et + R et−sϕ(s)ds

0

t

2. ϕ(t) = 1 − 2t − R et2−s2 ϕ(s)ds

0

t

3. ϕ(t) = et sin t + R 2+cos2+cos st ϕ(s)ds 0

t

4. ϕ(t) = 1 + t2 + R 1+t2 ϕ(s)ds

1+s2

0

3 Уравнения Фредгольма.

3.1Метод последовательных приближений для уравнения Фредгольма с малым ядром.

Рассматривается неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода.

	ϕ(x) = f(x) + Za	b
		K(x, t)ϕ(t)dt	(24)
Также необходимо учитывать следующие условия:
1.	f(x) C[a, b]
2.	Ядро непрерывно на квадрате K(x, t) C[Q], Q = [a, b] × [a, b]

Будем искать решение уравнения (24) в виде степенного ряда, членами которого являются непрерывные функции:

		∞
	X
	ϕ(x) =	λnϕn(x)			(25)
	n=0
Подставим ряд (25) в уравнение (24), предполагая, что он сходится.
∞		b	∞
n=0 λnϕn(x) = f(x) + Z			K(x, t) n=0 λn+1ϕn(x)dt
X		a	X
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях.
λ0 :	ϕ0 = f
		b
λ1 :	ϕ1	= K(x, t)f(t)dt
		Rb
λ2 :	ϕ2	a
		= K(x, t)ϕ1(t)dt
		R
· · ·	· · · · · ·	a
		b			(t)dt
λn :	ϕ = K(x, t)ϕ
	n	R		n−1
		a

14

Замечание. Мы смогли поменять местами суммирование и интегрирование в силу сходимости. Теперь будем доказывать сходимость. Для этого введем в рассмотрение следующие фунции:

b

Z

Q2(x) ≡ |K(x, t)|2dt

a

b

Z

R2(t) ≡ |K(x, t)|2dx

a

bb

ZZ

B2 ≡ dx |K(x, t)|2dt

aa

Рассмотрим итерированные ядра для уравнения Фредгольма (24)

	(Kϕ)(x) = Za	b
		K(x, t)ϕ(t)dt
b		b	b
(K2ϕ)(x) = Za	K2(x, s)ϕ(s)ds = Za		ϕ(s)ds Za	K(x, s)K(s, t)dt

b

Z

K2(x, t) = K(x, s)K(s, t)dt

a

bb

ZZ

(K3ϕ)(x) = ϕ(s)ds K(x, t)K2(t, s)dt

ab

	x
K3(x, t) = Zs		K(x, s)K2(s, t)dt
	· · · · · · · · ·
Kn(x, t) = Za	b
	K(x, s)Kn−1(s, t)dt		(26)

Далее надо доказать эту реккурентную формулу по методу математической индукции. Я думаю, это можно уже сделать и без меня. Напишем оценки для этих ядер, используя условия, сформулированные в начале этого параграфа.

	|K(x, t)| ≤ M, (x, t) [Q]
Для оценки последующих ядер нам потребуется
Неравенство Коши-Буняковского.	b	1/2 b	1/2
b

Z	f(x)g(x)dx	≤	Z	|f(x)|2dx		·		Z	|g(x)|2dx

a

a

a

Тогда оценка для ядра K2(x, t) будет такой:

K2

(x, t)

b

K(x, s)

2ds 1/2 b

K(s, t)

2ds 1/2

Q(x)R(t)

|

| ≤

Z

|

|

·

Z |

|

≤

a

b

a

|K3(x, t)| =

R |K(x, s)K2(s, t)|ds

a b

R

≤|K(x, s)Q(s)R(t)|ds

≤	a	ab	|K(x, s)|2ds!1/2	·	ab	|Q(s)|2ds!1/2
	R(t)
		R			R
=	R(t)Q(x)B

15

Продолжая в том же духе, мы получим реккурентную формулу:

	|Kn(x, t)| ≤ R(t)Q(x)Bn−2								(27)
Как всегда, доказываем е¼ методом математической индукции.
	b
|Kn+1(x, t)| =	Rb
	|K(x, s)Kn(s, t)|ds
	a
	R	K(x, s) R(t)Q(s)Bn−2ds			1/2				1/2
≤				|
	|
	a			ab |K(x, s)|2ds!				|Q(s)|2ds!
≤ R(t)Bn−2					·		ab
		n	2	R	n	−	1R
= R(t)B			−	Q(x)B = R(t)Q(x)B

	Доказательство закончено.
	Нам надо доказать сходимость ряда (25). Для этого перепишем его в следующей форме:
	∞	∞	∞	b
				λn Z Kn(x, t)f(t)dt
	ϕ(x) = n=0	λnϕn(x) = n=0	λnKnf(x) = n=0
	X	X	X	a

Оценим каждый такой интеграл двумя способами (в 2003г. и 2004г. были разные оценки). В обоих случаях будем использовать то обстоятельство, что

|f(t)| ≤ m, t [a, b]

1.Докажем, что ряд (25) сходится в круге |λ| ≤ B1 .

∞b

|ϕ(x)| ≤	|λ|nm R(t)Q(x)Bn−2dt
P	b	R	∞
n=0		a
= Q(x)m R(t)dt |λ|nBn−2
	R		P
	a		n=0

Мажоранта для этого ряда будет такая:

∞

X

λ2 |λ|n−2Bn−2

n=2

Она представляет собой геометрическую прогрессию, которая сходится при |λ|B ≤ 1 и расходится при

|λ|B ≥ 1.

2. Докажем, что ряд (25) сходится в круге |λ| ≤				1
			M(b−a)
Здесь мы используем другие оценки для итерированных ядер.
|K(x, t)|	≤	M
		b
|K2(x, t)| ≤		a |K(x, s)K(s, t)|ds ≤ M2(b − a)
|K3(x, t)| ≤		R		−	a)2
· · ·	· · ·	M3(b
		· · ·
|Kn(x, t)| ≤		Mn(b − a)n−1

Реккурентная формула доказывается по индукции самостоятельно. Теперь пишем оценку для ряда (25):

|ϕ(x)| ≤ |λ|nm · Mn (b − a)n ≤ |λ|nMn(b − a)n m

Данный ряд сходится если |λ|M(b − a) ≤ 1.

Утверждение.

Êðóã |λ|M(b − a) ≤ 1 меньше, чем круг |λ|B ≤ 1, ò.å.

					1			1
					B ≥ M(b				−	a)
	Доказательство.
		b		b				b
		B2 = Za	dx Za	|K(x, t)|2dt ≤ Za				M2(b − a)dx = M2(b − a)2

16

Доказательство закончено.

	Замечания. Малое ядро означает, что λ находится внутри некоторого круга.
	Теперь делаем вывод: (i) ряд (25) сходится абсолютно и равномерно при				|λ| ≤	1
						B ; (ii) суммируемые функции
	непрерывны. Тогда
	Утверждåíèå. ϕ(x) непрерывна и ряд можно интегрировать почленно.
	Ïðè	|	λ	1
				| ≤ B
	Доказательстворешение. урвнения (24) единственно.

Пусть

ϕ1,2 = f + λKϕ1,2

ψ= ϕ1 − ϕ2

ψ= λKψ

Тогда напишем оценку для ψ, используя неравенство Коши-Буняковского.

|ψ(t)| ≤
	λ	b	K(x, t)ψ(t)dt
		R

≤

λ a

b

K(x, t)

2dt

1/2

b

ψ(t)

2dt

!

1/2

| |

a |

|

!

a |

|

≤

R

ab

|ψ(t)|2dt!

1/2 R

|λ|Q(x)

R

Возводим в квадрат и интегрируем.

b	|ψ(x)|2dx ≤ |λ|2B2 Z					b	b
Za						|ψ(t)|2dt ≤ Z	|ψ(x)|2dx
					a	a
		≤1
	| {z }

Из этого следует, что тривиального решения ψ = 0 не существует. Доказательство закончено.

Следствие: уравнение Фредгольма 2-го рода (24) не имеет характеристических чисел при |λ| < B1

3.2 Резольвента уравнения Фредгольма. Условия сходимости ряда Неймана.

В этом параграфе я напишу только план ответа на подобный вопрос на экзамене. Для ответа надо фактически переписать параграф 3.1.

1.Рассматриваем неоднородное интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода (24) с малым ядром.

2.Вводим резольвенту для этого уравнения

∞
R(x, t, λ) = X λn−1Kn(x, t),	(28)

n=1

со всеми вытекающими из этого последствиями, а именно

ϕ= f + λRλf, (I − λK)−1 = (I + λRλ)

3.Рассматриваем вопрос о сходимости ряда (28),который, кстати говоря, называется рядом Неймана. Для этого надо рассказать о итерированных ядрах (26) и методе их оценки (27). После этого доказательство сходимости проводится аналогично доказательству сходимости для ряда (25).

4.Сделать закономерные выводы:

• Ряд (28) сходится равномерно по (x, t) ïðè |λ| ≤ B1 .

•Функция R(x, t, λ) является непрерывной функцией своих аргументов.

•Внутри круга |λ| ≤ B1 R(x, t, λ) является аналитической функцией λ.

Упражнения.

Решить при помощи резольвенты интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода

1

1. ϕ(t) = 56 t + 12 R tsϕ(s)ds

0

17

3.3 Полные нормированные пространства. Линейные ограниченные операторы.

Определение. Пространство F называется нормированным, åñëè äëÿ x F определена норма kxk. Определение. Норма это неотрицательное вещественное число, удовлетворяющие трем аксиомам:

1. kxk > 0, kxk = 0 x = 0;

2.Линейность: kαxk = |α| · kxk;

3.Неравенство треугольника: kx + yk ≤ kxk + kyk. Примеры.

1.	Пространство Rn: kxk = p	x12 + x22 + . . . + xn2			;
	Пространство C2[a, b]: kxk = s			;
2.			ab |x(t)|2dt
			R
3.	Пространство ln∞, состоящее из n-мерных последовательностей (векторов):

kxk = max |xi|.

1≤i≤n

Определение. Пространство называется полным, если каждая его фундаментальная последовательность сходится к некоторому пределу, принадлежащему этому пространству.

Определение. Последовательность называется фундаментальной (сходящейся в себе), если

ε > 0 N(ε) n, m > N(ε) : kxn − xmk < ε

Определение. Последовательность {xn}n∞=1 сходится по норме к x, åñëè kx − xnk −→ 0 ïðè n → ∞.
Замечание. Если не лень, то полезно будет посмотреть определение линейного пространства, например, здесь:
http://www.instkonspekts.narod.ru/konsp.htm.
Определение. Линейное нормированное полное пространство называется	банаховым пространством.
˜	˜

Определение. Пусть V è V банаховы пространства. Оператор B, действующий из V â V , называется линейным, если выполняются следующие условия:

1.Аддитивность: B(x + y) = Bx + By для любых x, y V ;

2.Однородность: B(λx) = λBx для любого x V и всех действительных λ.

Определение. Линейный оператор B называется ограниченным, если существует такая постоянная C > 0, ÷òî

kBxk˜ ≤ C kxk x V .

ОграниченныйV V , оператор переводит ограниченное множество в ограниченное же множество.

Определение. Линейный оператор B называется непрерывным, åñëè xn −→ 0 ïðè n → ∞ Bxn −→ 0 ïðè

n → ∞.

Теорема. Если оператор B ограничен, то он непрерывен. Доказательство.

Пусть xn −→ 0 ïðè n → ∞, ò.å. kxnk −→ 0. Тогда kBxnk ≤ C kxnk −→ 0 ïðè n → ∞ = B непрерывен. Доказательство закончено.

Определение. Нормой оператора B называется число, определяемое следующим равенством:

kBk = sup kBxk

kxk≤1

Для ограниченного оператора B норма всегда ограничена, причем kBk = inf C Далее рассмотрим примеры нахождения нормы операторов.

1.Пространство ϕ = C[a, b]

Рассматривается интегральный оператор Фредгольма

b

Z

(Bϕ)(x) = K(x, y)ϕ(y)dy

a

Ядро оператора непрерывно на квадрате

K(x, y) C(Q)

18

Рассмотрим вопрос об ограниченности оператора

|K(x, y)| ≤ M, (x, y) [Q]

b

Z

|(Bϕ)(x)| = K(x, y)ϕ(y)dy ≤ M · kϕk · (b − a)

a

kBk ≤ M(b − a)

Ò.î., B ограниченный оператор, и выше написана оценка для его нормы.

2. Пространство ϕ = C2[a, b]

Опять рассматривается интегральный оператор Фредгольма с непрерывным на квадрате K(x, y) C(Q) ядром. Требуется написать оценку для его нормы.

Bϕ

=

v

b

Bϕ

2dx = v

b

b K(x, y)ϕ(y)dy

2 dx

k

k

| |

u

u

uZ

Z

uZ

u

u

t

t

aa a

Сделаем оценку, используя неравенство Коши-Буняковского.

Bϕ

b dx

b

ϕ(y)

2dy

b

K(x, y)

2dy 1/2

=

ϕ

b dx

b

K(x, y)

2dy 1/2 =

ϕ

B0

k

k ≤

Z

Z |

|

·

Z

|

|

k

k

Z

Z |

|

k

k ·

a

a

a

b

b

a

a

kBk ≤ B0,

ãäå B02 ≡ Za

dx Za

|K(x, y)|2dy

Т.о., мы не выходим из класса начальных функций (интеграл ограничен он сходится). B ограниченный оператор, и выше написана оценка для его нормы.

3.4Ряд Неймана для абстрактного линейного уравнения, интегральные уравнения для резольвенты.

В 2004 году этот параграф назывался ½Решение уравнения Фредгольма в нормированном линейном векторном пространстве“. Рассматривается линейное уравнение

f = (I − λK)ϕ,

(29)

в котором K является ограниченным линейным оператором, отображающим банахово пространство в себя. Оператор можно обратить, если |λ| kKk = q ≤ 1, (I−λK)−1. При этом уравнение (29) имеет единственное

решение, определяемое равенством ϕ = (I					−	λK)−1f.
Нам предстоит доказать два утверждения:
1.	∞	λmKm = (I λK)−1		ряд Неймана.
	P
2.			−
	m=0
	(I − λK)−1 ≤ (1 − |λ| kKk)−1.

Доказательство 1.

Выражение, написанное под номером 1, означает, что ряд сходится по норме оператора K

	N	λmKm − (I − λK)−1				−→ 0, ïðè N → ∞
	m=0
	X
Теперь нам надо проверить				N		является фундаментальной последовательностью 4 â
	это. Покажем, что
смысле операторной нормы.Для этого введем				λmKm
				P
			обозначение
				m=0
				N
				X
				CN =	λmKm

m=0

4Определение фундаментальной последовательности смотри в параграфе 3.3

19