[ Дмитриева, Суханов ] Дополнительные главы матфизики

Теперь учтем две вещи: (i) собственные функции являются ортонормированными:
Тогда перепишем (81):		λ					λ
(ϕ, ϕj) =			(ϕ, ϕj) −					(ϕ, ϕj) = 0
		λk					λk
(ϕ, ϕj) = Za				b
						ϕ(s)ds = 0
					ϕk(s)
Подставим это в (80)	b
ϕ(t) = λ Za
	K(t, s)ϕ(s)ds						ϕ = λKϕ

(ϕk, ϕj) = δkj; (ii) Kϕj = 1 ϕj.

λj

Таким образом, ϕ является также собственной функцией оператора					K, у которого есть собственные функции
ϕ1, ϕ2, . . . , ϕn	, отвечающие характеристическим числам	λ1	, λ2	. . . , λn	, тогда мы можем написать линейную ком-
бинацию

m

X

ϕ(t) = Ckϕk(t)

k=1

Домножим это выражение на b

R

ϕj(t)dt:

a

mm

XX

(ϕ, ϕj) =	Ck(ϕk, ϕj)				Ckδkj = Cj
k=1				k=1
С другой стороны, (ϕ, ϕj) = 0, тогда Cj =	0 j	= 1, 2, . . . , m = ϕ(t) ≡ 0. Тем самым, мы пришли к
противоречию, выходом из которого является K(t, s) = 0 формулировка утверждения.
Доказательство закончено.
Следствие. Если у самосопряженного оператора имеется конечное число характеристических чисел, то этот
оператор с вырожденным ядром. Верно и обратное утверждение.
Утверждение 3. Пусть существует бесконечное число собственных чисел и собственных функций. Тогда само-
сопряженное ядро может быть представлено в виде:
	∞	1
	X
K(t, s) =			ϕk(t)		ϕk(s)		(82)
	k=1	λk

Доказательство.

Сначала рассмотрим вопрос о сходимости ряда (82). K(t, s) L2[Q] сходимость в среднем.

K(t, s) − ∞

1

ϕk(t)

=

b

b K(t, s) −

∞

1

ϕk(t)

2 dtds < ε

ϕk(s)

ϕk(s)

λk

λk

k=1

L2

Z Z

k=1

X

a

a

X

Если ядро непрерывное, то сходимость можно улучшить.

Теорема Мерсера. Пусть существует λk > 0 и отрицательных собственных чисел конечное число; пусть

ядро K(t, s) непрерывное. Тогда ряд (82) сходится равномерно. Без доказательства.

Приступим теперь непосредственно к доказательству утверждения 3.
	Пусть существует ортонормированная система произвольных функций: {ϕk}k∞=1. Пусть существует K(t, s)
L2	[Q] функция двух переменных. Функция от каждой из двух переменных также принадлежит L2[Q]. Ýòî
следует из теоремы Фубини:		b	b		b
	b
	Za	Za	|K(t, s)|2dtds = Za	dt Za	|K(t, s)|2ds

Рассмотрим K(t, s) как функцию от s и составим ряд Фурье по ортонормированной системе {ϕk}∞k=1:

∞

X

K(t, s) 7→ Ck(t)ϕk(s)

k=1

Коэффициетны Фурье:

b

Z

Ck(t) = K(t, s)ϕk(s)ds

a

40

Тогда	∞
	X
K(t, s) 7→ Kϕk(t)				ϕk(s)
	k=1
ϕk(t) собственные функции оператора K: Kϕk =	1	ϕk. Тогда
	λk
	∞		1
	X

K(t, s) 7→ λk ϕk(t)ϕk(s)

k=1

Далее надо доказать, что этот ряд сходится к функции K(t, s). Это доказательство аналогично доказательству утверждения 2.

Доказательство закончено.

Следствия.

1. Уравнение замкнутости:

∞Zb Zb

X

a

a

|Ck(t)|2

=

|K(t, s)|2dtds

k=1

2. Из предыдущего пункта вытекает, что

b

Ck(t) = Za

K(t, s)ϕk(s)ds = Ck(t) =

1

ϕk

λk

∞ 1

b

b

Z Z

|

|

k=1 λk

X

a

a

K(t, s) 2dtds = B2

2

=

3. След оператора:

Sp K = Za

b

K(t, t)dt

∞

1

kP

Упражнение. Доказать, что для самосопряженного оператора Sp K =

λk .

=1

6.2.1 Ряды для итерированных ядер.

Итерированные ядра:

b

Z

(Kϕ)(x) = K(x, t)ϕ(t)dt

	a
b	b		b
(K2ϕ)(x) = Za	K2(x, s)ϕ(s)ds = Za	ϕ(s)ds Za	K(x, s)K(s, t)dt
	b
	Z

K2(x, t) = K(x, s)K(s, t)dt

a

bb

ZZ

(K3ϕ)(x) = ϕ(s)ds K(x, t)K2(t, s)dt

ab

	x
K3(x, t) = Zs		K(x, s)K2(s, t)dt
	· · · · · · · · ·
Kn(x, t) = Za	b
	K(x, s)Kn−1(s, t)dt		(83)

Рассмотрим интегральные уравнения:

1

Kϕk = λk ϕk

41

Этот ряд сходится при

				K2ϕk =	1		Kϕk
					λk
				· · · · · · · · ·
				Knϕk =	1		Kϕk
					λn
					k
Åñëè	ϕk	собственная функция оператора	K	, отвечающая характеристическому числу				λk	, тогда	ϕk
ííàÿ											собстве-
	функция оператора

Kn, отвечающая арактеристическому числу λn
Т.к. итерированное ядро также является самосопряженным, то простымk . обобщением мы можем получить
билинейное разложение для итерированных ядер:
∞	1
			ϕk(x)ϕk(t)
Kn(x, t) =						(84)
	λn

X

k=1 k

6.3Билинейная формула для резольвенты самосопряженного ядра. Формулы Шмидта для решений. Теорема Гильберта-Шмидта.

Вспомним ряд Неймана из параграфа 3.2

∞
X
R(t, s, λ) = λn−1Kn(t, s)	(85)

n=1

|λ| ≤ kK1 k, kKk ≤ B. Если ядро непрерывное, то ряд (85) сходится равномерно. Мы можем

это же сказать и для ядра, принадлежащего L2[Q], понимая при этом сходимость как сходимость в среднем. Учт¼м то, что оператор K = K самосопряженный и применим для ядра формулу (84):

∞

∞ 1

∞ ∞ 1

λ

n

n=1

k=1 λk

n=1 k=1 λ

λk

X

X

X X

R(t, s, λ) = λn−1

ϕk(t)ϕk(s) =

ϕk(t)ϕk(s)

(86)

n

Ó êàæäого самосопряженного оператора существует хотябы одно характеристическое число, а наименьшее будет

1

λ = kKk.

|λ| < |λ1| ≤ |λ2| ≤ . . .

Тогда

λ

< 1, и мы можем проссумировать такой ряд:

λk

∞

λ

n

=

λ

1

=

λ

n=1

·

λk

λk

1

−

λ/λk

λk

−

λ

X

Подставим это в (86) и получим билинейную формулу для резольвенты.

∞

ϕk(t)

ϕk(s)

R(t, s, λ) =

λk λ

(87)

k=1

X

−

Формально эта формула верна только в круге. Аналитически продолжим на всю комплексную плоскость. В результате получаем мераморфную функцию, у которой полюса суть характеристические числа.

Замечание. Полюса резольвенты самосопряженного оператора являются простыми.

Формулы Шмидта для решений.

Рассматривается интегральное уравнение Фредгольма 2-го рода с компактным самосопряженным оператором.

ϕ = f + λKϕ

Если λ не является характеристическим числом, то решение этого уравнения можно написать, используя резольвенту

b

Z

ϕ(t) = f(t) + λ R(t, s, λ)f(s)ds

a

Подставим сюда выражение (87), используя обозначание

b

Z

f = f(s)ϕk(s)

a

42

Элементами пространства

и сопряженное

∞

ϕ(t) = f(t) + λ

X fkϕk(t)

λk − λ (88)

k=1

Формула (88) называется формулой Шмидта в том случае, если λ не является характеристическим числом.

Теперь рассмотрим случай, когда λ является характеристическим числом.

λ= λk = λk+1 = . . . = λk+m−1

Âэтом случае согласно 4-ой теореме Фредгольма уравнение ϕ = f +λKϕ разрешимо тогда и только тогда, когда

(f, ψk) = 0, ãäå ψk собственные функции оператора K : ψk = λK ψk. В нашем случае K = K

уравнение не отличается от основного ϕk = ψk. Поэтому условие разрешимости станет таким: (f, ϕk) = 0 fk = 0 и соответствующие слагаемое из формулы (88) выпадает. Тогда

∞	fjϕj(t)					k+m−1
X					+	Xj
	λj	−	λ
ϕ(t) = f(t) + λ						Cjϕj, j 6= k, k + 1, . . . k + m − 1	(89)
j=1						=k

Формула (89) называется формулой Шмидта в том случае, если λ является характеристическим числом. В этой формуле третье слагаемое это общее решение однородного уравнения.

Теорема. Гильберта-Шмидта. Бер¼тся порождающая функция h L2[a, b] и строятся истоковые функции:

b

Z

f = Kh = K(t, s)h(s)ds, f = f)t)

a

Пусть ядро K будет компактным и самосопряженным, тогда

∞	hkϕk(t)
X
f(t) =		,	(90)
k=1	λk

b

R

ãäå hk = (h, ϕk) = h(s)ϕk(s)ds, à ϕk собственные функции оператора K: ϕk = λkKϕk.

a

Идея доказательства состоит в том, что вместо ядра надо подставить его билинейное разложение (82)

Zb ∞ X 1

f(t) = a k=1 λk ϕk(t)ϕk(s)h(s)ds =

∞

X hkϕk(t)

λk

k=1

7 Приложение. Пространство L2.

L2 являются классы эквивалентных функций.

Определение. Две измеримые функции f(x) и g(x) называются эквивалентными, если мера множества x, в которых они различны равна нулю.

Функция f(x) эквивалентна нулю на [a, b], åñëè

b

Z

|f(x)|dx = 0

a

Функции f(x) è g(x) эквивалентны на [a, b], åñëè

b

Z

|f(x) − g(x)|dx = 0

a

В параграфе 5.3 мы говорили, что ϕ(t) L2[a, b], это значит, что

b

Z

|ϕ(t)|2dx < ∞,

a

где интеграл понимается в смысле Лебега.

43

Определение. Скалярное произведение в пространстве L2 вводится следующим образом:

b

Z

(f, g) = f(x)g(x)dx

a

Дле него верны все те свойства, что написаны в параграфе 5.2. Определение. Норма элемента f(x) определяется равенством:

f		= v	b		f(x)	2dx
k	k	u		|	|
		uZa
		u
		t

Опять же вспоминаем про норму, читая параграф 3.3.
Пространство	, если каждая его фундаментальная последовательность сход-
Определение. Пространствоявляетсяполнымназывается.
L2
	полным
ится к некоторому пределу, принадлежащему этому пространству.

Определение. Последовательность {fn(x)} функций называется фундаментальной (сходящейся в себе), если

	Za	b
ε > 0 N(ε) n, m > N(ε) :		|fn(x) − fm(x)|2dx < ε

 L

Определение2 сходимость. Последовательностьбудет называться сходимостью в среднем.

{fn(x)} функций сходится в среднем ê f(x), åñëè

b

Z

lim |fn(x) − f(x)|2dx = 0

n→∞

a

Теорема. Множество всех непрерывных функций плотно в L2 в случае ограниченной области. Пусть f(x)

L2[a, b], тогда для ε > 0 ϕ(x) C[a, b]:

b

Z

kf − ϕk2 = |f(x) − ϕ(x)|2dx < ε

a

Напоследок можно сказать, что L2 полное евклидово пространство, а значит оно гильбертово пространство.

Список литературы

[1]Краснов М.Л., Интегральные уравнения. (Введение в теорию), М: Наука, 1975

[2]Смирнов В.И., Курс высшей математики, том IV, часть первая, М: Наука, 1974

[3]Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И., Интегральные уравнения (задачи и упражнения), М: Наука, 1976

[4]Владимиров В.С., Уравнения математической физики: Учебник, М: Наука, 1988

[5]Меркурьев С.П., В.Л. Олейник, Методы математической физики, Методические указания и задания для студентов IV курса, 1988

44