Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Статистическая физика

Файл:

Статминимум

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.08.2013

Размер:

170.96 Кб

Скачать

☆

СТАТМИНИМУМ (версия 0.3). °c Katarios, katarios@nightmail.ru

Фазовое пространство:

Пространство размерности 2s, где s - количество степеней свойбоды системы; координатные оси: q1:::qs; p1:::ps.

Статистический ансамбль:

Набор систем в одинаковом макроскопческом состоянии, но с разными микроскопическими (с разными координатами и импульсами).

Классическая функция распределение:

½(p; q), где: d!(p; q) = ½(p; q)dpdq, R ½(p; q)dpdq = 1, d! - вероятность того, что частица попадет в заданный элементарный фазовый объем.

Физический смысл классической функции распределения:

Плотность вероятности обнаружения частицы в элементарном объеме фазового пространства.

Свойства классической функции распределения:(не точно...)

1.Нормирована.

2.Позволяет вычислять средние значения величин.

3.Вдоль любой фазовой траектории постоянна.

Микроканоническое распределение:

~ Для замкнутой системы:

½(p; q) = C±(E(p; q)¡E0)±(P (p; q)¡P0)±(M(p; q)¡

M0); C = Const.

Правила соответствия между классическими и квантовыми стати-

стическими описаниями:(не точно...)

Классика:

Кванты:

@½@t

= ¡f½; Hg

@!^

[^!; H]

ln½a = ®a + ¯Ea(p; q)

ln!n(a)

= ®a + ¯En(a)

< f(p; q) >=

½(p; q)f(p; q)dpdq

< f(p; q) >=

k !nfnn

½(p; q)

функция распределения.

! - матрица плотности.

Связь энтропии со статистическим весом:

S = ln¢¡ = ¡

n !nln!n.

Связь энтропии с функцией распределения:

¢p¢q

S = ¡ln

dpdq½(p; q)ln(½(p; q)(2¼~) ).

(2¼~)s

Каноническое распределение Гиббса и свободная энергия:

= Exp(F ¡En )

! = Aexp(

En )

A =

F =

kT ln

exp(

En )

) ,

¡kT

n exp(

¡kT

в квантовом случае.

½(p; q) = Aexp(

E(p;q)

)

A =

F =

kT ln(

dpdq

Exp(

E(p;q)

))

¡ kT

exp(

E(p;q)

)dpdq ,

(2¼~)

в классическом случае.

Большое каноническое распределение Гиббса:

!nN = CExp(

¹N¡EnN

); C = Const.

Условие нормировки большого канонического распределения Гибб-

са, потенциал -:

¹N )

= 1

Const = (

Exp(

EnN ))¡1

;

¹N )

¡ kT

- = kT ln(

exp(

Exp(

EnN

))

P P

P- квантовый случай;

¹N

E(p;q)

- =

d¡N Exp(

)) - классический случай.

Распределение Максвелла:

			px2	+py2 +pz2		q
d!p~ = Cexp(¡					)dpxdpydpz, C = (
				2mkT
	m	3		2
d!~v = (		)2 exp(¡mv2kT )dvxdvydvz.
	2¼kT

1 )3;

2¼mkT

Термодинамические потенциалы для любой пары естественных переменных при фиксированном числе частиц:

E(V; S); dE = dQ + dR = ¡P dV + T dS - энергия;

W = E + P V ; W (P; S); dW = T dS + V dP; Cp = (@W@T )p - тепловая функция, энтальпия;

F = E ¡ T S; F (V; T ); dF = ¡P dV ¡ SdT ; E = ¡T 2(@T@ FT )V - свободная энергия Геймгольца;

Зависимость термодинамических величин от числа частиц:

E = Nf(NS ; NV ); dE = T dS ¡ P dV + ¹dN F = Nf(T; NV ); dF = ¡SdT ¡ P dV + ¹dN W = Nf(NS ; P ); dW = T dS + V dP + ¹dN © = Nf(T; P ); d© = ¡SdT + V dP + ¹dN

-= F ¡¹N = F ¡© = ¡P V ; d- = ¡SdT ¡pdV ¡Nd¹ - достигает минимума

вравновесии, на него обобщается теорема о малых добавках;

¹dN - дифференциал числа частиц.

Химический потенциал:

¹= (@N@E )S;V = (@N@F )T;V = (@W@N )S;P = (@N@© )T;P ;

¹= N© - термодинамический потенциал на одну частицу;

d¹ = ¡sdT + vdP , где s = NS ; v = NV ;

¹ = Const - если система в равновесии во внешнем поле.

Теорема Нернста:(не точно...)

Cv > 0; (@E@T )V > 0; T (@T@S )V > 0.

Свободная энергия и уравнение состояния идеального Больцмановского газа:

Квантовый случай: < nk

>= Exp(

¹¡"k

); классический случай: dNp~ =

23 exp(

U(~r) );

N (2¼mkT )¡

)d~p; при наличии внешнего поля: n(~r) = n

Exp(

2mkT

¡ kT

F = ¡kT NlneVN

+ Nf(T ) = ¡kT ln(eVN (mkT2¼~2 )2

k0 Exp(¡

"k0

)).

Химический потенциал одноатомного идеального газа:

¹ = kT ln(NV (mkT2¼~2 )23 ).

Выражение для второго вириального коэффициента:

¯(T ) = 21

d~r(1 ¡ Exp(¡

©(r)

)).

Свободная Rэнергия системы гармонических осцилляторов:

F = NkT ln(1 ¡ Exp(¡kT~! )).

Распределение Ферми (вывод):

< nk >=

;

k < nk >= N

Exp(

"k¡¹

)+1

-+¹N

¹N

Вывод: !nN = Exp(

); - =

kT ln

Exp(

) d¡N Exp(

¡kT

пусть каждый уровень - отдельная подсистема, nk может принимать значения

0 и 1; -k = ¡kT ln

nk Exp(

(¹¡"k)nk

) = ¡kT ln(1 + Exp(

¹¡"k

)); d- = ¡SdT ¡

@-k

¹¡"k

Nd¹; < nk >=

(

@¹

)T;V

¹ "k

Exp(

)

1+Exp(

)

Exp(

)+1

Распределение Бозе (вывод):

< nk >=

;

k < nk >= N

Exp(

"k¡¹

)¡1

Вывод: !nN = Exp(

-+¹N

nN ); - =

kT ln

Exp(

¹N

)

d¡N Exp(

En ),

¡kT

пусть каждый уровень - отдельная подсистема, nk

может принимать значения

от 0 до бесконечности, получим геометрическую прогрессию:

-k = ¡kT ln

nk Exp(

(¹¡"k)nk

) = kT ln(1 ¡ Exp(¡

"k¡¹

)); Химический по-

тенциал должен быть меньше 0; < n

(

@-k )

T;V

Exp(¹¡"k )

@¹

Exp(

)

Exp(

"k¡¹

)¡1

Статистическая модель твердого тела:

N ячеек, º частиц в каждой ячейке, 3Nº ¡ 6 степеней свободы приходится

на колебания.

Интерполяционная формула Дебая (идея вывода):

Функция Дебая: D(z) =

z x3dx

ex¡1

£ ))

F = N"

+ NºkT (3ln(1

Exp(

£ ))

¡T

, где

- температура Дебая.

E = N"0 + 3NºkT D(£T )

Идея: взяли выражение для свободной энергии, подумали, что фононный

спектр ограничен некоторой частотой, нашли макимальную частоту, темпира-

тура, соответствующая ей - темпиратура Дебая. Взяли интеграл по частям,

ввели функцию, подставили.

Частичные функции распределения в жидкости:

Fs ¸ s-частичная функция распределения, если:

d!s(r~1; :::; r~N ) =

Fs(r~1; :::; r~N )dr~1:::dr~s - вероятность найти s

молекул в

V s

окрестности точек , ... ,

в объемах dr~1dr~2:::dr~s.

Условие нормировки:

Fsdr~1:::dr~s = 1

(r~ ; :::; r~ ; r ~

; :::; r~ )dr ~

Формула для понижениыя порядка:

:::dr~

Fp(r~1; :::; r~p)

p p+1

p+1

Связь частичных функций распределения для жидкостей с канони-

ческим распределением Гиббса:

Распределение Гиббса: ½ =

Exp(¡

)

- плотность вероятности; E =

R dpdqExp(¡

)

Ek + U;

Fs(r~1; :::; r~s) = V

Exp(¡

)drs~+1:::dr~N

Exp(¡

)dr~1:::dr~N

Вычисление

средних значений с помощью частичных функций рас-

пределения:

< Ms >=

N(N¡1)(N¡s+1)

fs(r~1; :::; r~s)Fs(r~1; :::; r~s)dr~1:::dr~s, где Ms

1·

2·

s·

N fs(r~i1 ; :::; r~is )

s!V s

:::

- физическая величина.

Внутренняя энергия жидкости:

< E >=

N(N¡1)

d~r©(~r)g(~r),

2 NkT +

2V 2

2 NkT + 2V

в предположении, что энергия имеет вид: U(r~ ; :::; r~

) =

©( r~

)

Флуктуации числа частиц в жидкости:

· ·

< (¢N )2

N G +

V 2 R RG

R (g(~r ¡1)d~r),

~r = r~1 ¡ r~2G

2(r~1; r~2) ¡1)dr~1dr~2

(1 +

Теорема сжимаемости:

¯T = ¡

¡ изотермическаясжимаемость;

¯T =

¡(1 +¢

d~r(g(~r) ¡ 1))

kT N

Физическая

идея рассеяния рентгеновских лучей в жидкости:

Поле рассеянного излучения - сумма полей от рассеяния на каждой из частиц.

Физические основы теории Дебая - Хюккеля для системы заряженных частиц:

Флуктуаpции: распределение Гаусса для нескольких величин:

		bm		1
½ =			Exp(¡	2 bikxixk) - суммирование по повторяющимся значкам.
	(2¼) 2

Функция распределения флуктуаций основных термодинамических величин:

! = AExp(¢P ¢V ¡¢T ¢S ), отсюда:
						2kT
	2					kT
< (¢P ) >= ¡
					(@V@P )S
2				kT
< (¢S) >=							= kCp
			(@T@S )P
< (¢V )	2	>= ¡				kT
						(@V@P )T		kT 2
< (¢T )	2	>=		kT			=
				(@T@S )V				CV

Физическая картина фазовых переходов второго рода: Параметр порядка:

º = !Zn¡!Cu

!Zn+Cu

Корреляции флуктуаций во времени (случай одной переменной): Обобщенная восприимчивость:

Соотношения Крамерса - Кронига, что связывают, на чем основаны: Кинетическое уравнения Больцмана:

Смысл интеграла столкновений: Н-теорема Больцмана:

Уравнения Фокера -Планка, случаи применения:

Соседние файлы в предмете Статистическая физика

#
22.08.201330.72 Кб8Коллоквиум - Аджемян.doc
#
22.08.201324.06 Кб3Коллоквиум - Романов.doc
#
22.08.2013170.96 Кб10Статминимум.pdf
#
22.08.20139.71 Mб4Статфизика - Романов (2007).djvu
#
22.08.2013356.86 Кб12Шпоры.doc