461 – 470 .

Разложить данную функцию в ряд Фурье в интервале

Рядом Фурье периодической функции с периодом, определённой на сегментеназывается ряд

где

В случае, когда чётная функция, её ряд Фурье содержит только свободный член и косинусы, т.е.

В случае, когда нечётная функция, её ряд Фурье содержит только синусы, т.е.

Если ряд (1) сходится то его сумма есть периодическая функция с периодом

Теорема Дирихле. Пусть функция на сегментеимеет конечное число экстремумов и является непрерывной за исключением конечного числа точек разрыварода. Тогда ряд Фурье этой функции сходится в каждой точке сегментаи суммаэтого ряда:

1) во всех точках непрерывности функции, лежащих внутри сегмента;

2) , где- точка разрываI рода функции ;

3) на концах промежутка , т.е. при

Разложить в ряд Фурье функцию , заданную в интервалеуравнением.

Графиком этой функции в интервале является отрезок, соединяющий точкиСумма ряда Фурье является периодической функцией с периодоми совпадает с функциейв интервале.

Определяем коэффициенты ряда Фурье . Сначала находим

Второй интеграл равен нулю как интеграл от нечётной функции, взятый по интервалу, симметричному относительно начала координат. Таким образом,

Далее, находим коэффициенты Имеем

Нетрудно видеть, что оба интеграла равны нулю (подъинтегральная функция второго интеграла является нечётной как произведение чётной функции на нечётную). Итак,

Найдём теперь коэффициенты

Первый интеграл равен нулю. Подъинтегральная функция второго интеграла является чётной как произведение двух нечётных функций. Таким образом,

Интегрируя по частям, получим

Следовательно, разложение функции в ряд Фурье имеет вид:

1. УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ И ИНФОРМАЦИОННОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ ДИСЦИПЛИНЫ

Основная литература

1. Демидович Б.П., Кудрявцев В.А. Краткий курс высшей математики [Текст] / Б.П. Демидович, В.А Кудрявцев - М.: ООО "Издательство Астрель". 2003. - 654 с.

2. Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / Н.С.Пискунов : в 2 т. - М.: Интеграл-Пресс 2005.

3. Шипачев В.С. Высшая математика [Текст] / В.С. Шипачев -М.: Высшая школа. 2005. - 479 с.

4. Шипачев В.С. Задачник по высшей математике [Текст] / В.С. Шипачев -. М.: Высшая школа, 2004.- 304 с.

Дополнительная литература

1. Бугров Я.С., Никольский С.М. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии [Текст] / Я.С.Бугров – М.: Наука, 1984.

2. Бугров Я.С., Никольский С.М. Дифференциальное и интегральное исчисление [Текст] / Я.С.Бугров – М.: Наука, 1988.

3. Линейная алгебра и основы математического анализа [Текст]: Сб. задач по математике для втузов / Под ред. А.В.Ефимова и Б.П.Демидовича. – М.: Наука, 1993.

4. Методические указания к введению в математический анализ [Текст]: Сост. Т.А.Серова; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1986.

5. Методические указания к выполнению типового расчета по теме "Дифференциальное исчисление функций одной переменной" [Текст]: В 2 ч. / Сост. Л.В. Демина; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1986.

6. Методические указания "Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных" [Текст]: Сост. Б.П. Танана; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1984.

7. Методические указания к выполнению типового расчета по теме "Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии" [Текст]: Сост. С.П. Клейнбок; Свердл. инж.-пед. ин-т. Свердловск, 1984.