Решение типовых примеров контрольная работа №1
1.Решить систему линейных уравнений методом Гаусса.
Решение. Первое уравнение умножается на (-2) и прибавляется ко второму уравнению, затем первое уравнение умножается на (-3) и прибавляется к третьему. Таким образом, неизвестноех исключается из двух последних уравнений. Эти преобразования лучше показать на расширенной матрице
.
Вычтя во второй матрице из третьей строки удвоенную вторую, мы исключаем неизвестное у из третьего уравнения. После таких преобразований получается система
Из третьего уравнение легко находится . Затем из второго уравнения получаем. Наконец, из третьего уравнения получаем.
Нетрудно проверить, что совокупность ,,является решением данной системы.
2. Определить тип кривой , найти ее параметры; определить угловой коэффициент прямой . Найти точки пересечения данных линий и сделать чертеж.
Решение.Приведем уравнение кривой к каноническому виду , разделив на 225. Получим уравнение эллипса .Его большая полуось, малая полуось. Центр совпадает с началом координат.
Уравнение прямой имеет вид «в отрезках», что удобно для построения. Для нахождения углового коэффициента прямой приведем ее к виду, выразимучерезх:.
Угловой коэффициент .
Для нахождения точек пересечения этих линий решим систему
Возведем второе уравнение в квадрат
и подставим в первое уравнение:
Нашли точки пересечения (0; 3) и (5; 0), что наглядно видно на чертеже.
у
3
–5 0 5 х
-3
3.Даны координаты вершин пирамидыАВСD:
Требуется:
1) записать векторы в системе орти найти модули этих векторов;
2) найти угол между векторами и;
3) найти проекцию вектора на вектор;
4) найти площадь грани АВС;
5) найти объем пирамиды АВСD;
6) составить уравнение ребра АС;
7) составить уравнение грани АВС.
Решение.
1) Произвольный вектор представляется в системе ортпо формуле
,
где – координаты вектора. Если заданы точки,, то для вектора
,
то есть
.
Воспользовавшись формулой и координатами заданных точек А, В, С, D, получим:
;
;
.
Если вектор , то его модуль вычисляется по формуле:
.
Модули найденных векторов
;
;
.
2) Известна формула
,
где – скалярное произведение векторови, которое можно вычислить следующим образом:
.
У нас
,
то есть .
3) Известно, что
,
то есть в нашем случае
.
4) Воспользуемся формулой нахождения площади треугольника, построенного на векторах и
,
где – векторное произведение векторов, которое можно вычислить по следующему правилу:
.
В нашем примере , причем
.
Таким образом, (кв. ед.).
5) Объем пирамиды, построенной на трех некомпланарных векторах можно найти по формуле
,
где – смешанное произведение векторов, которое вычисляется следующим образом:
.
У нас , где
,
то есть (куб. ед.).
6) Известно, что уравнение прямой, проходящей через две заданные точки иимеет вид:
.
Подставив координаты точек АиС, получим
,
то есть уравнение ребра АС окончательно запишется следующим образом:
или.
7) Уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки ,,можно записать в виде
.
Подставляя в него координаты точек А,В,С, получим
4. Провести полное исследование функции методами дифференциального исчисления и построить ее график.
Решение.
1) Область определения функции
.
2) Исследование на непрерывность и классификация точек разрыва.
Заданная функция непрерывна всюду, кроме точки х= 4. Вычислим ее односторонние пределы в этой точке:
Таким образом, точка х= 4 является для заданной функции точкой разрыва второго рода, а прямаях= 4 – вертикальной асимптотой графика.
3) Исследование на экстремум и промежутки монотонности.
х |
–2 |
(–2; 4) |
4 |
(4; 10) |
10 | ||
+ |
+ |
– |
не сущ. |
– |
0 |
+ | |
max |
|
min |
.
4) Исследование графика на выпуклость, вогнутость, точки перегиба.
Так как , то график заданной функции точек перегиба не имеет. Остается выяснить вопрос об интервалах его выпуклости и вогнутости:
х |
4 | ||
– |
не сущ. |
+ | |
|
5) Исследование графика на наличие наклонных асимптот.
Таким образом, прямая – наклонная асимптота графика.
6) График заданной функции пересекает ось Оув точке (0; –5).
По результатам исследования строим график.
у
20
4
-4 4х
5.Решить систему двух линейных уравнений в области комплексных чисел по формулам Крамера. Найденныеизобразить на комплексной плоскости; в виде векторов и записать в показательной и тригонометрической формах.
Решение. Найдем решение системы линейных уравнений по формулам Крамера. Для этого вычислим главный определитель системыи определители, учитывая, что– комплексное число, где.
Находим :
(т.к.);
Таким образом, решение данной системы уравнений в алгебраической форме записи:
в векторной форме записи
у
0,5
х
-2 0 3,5
-2
Найдем модуль и аргументкомплексных чисел(или;в 1 и 4 четвертях;во 2 и 3 четвертях, знак «+» или «–» выбираем так, чтобы аргумент был наименьшим по модулю).
Число принадлежит 3 четверти:
(аргумент);
(модуль).
Число принадлежит 1 четверти:
;
Запишем числа в показательнойи тригонометрическойформах:
6. а) Вычислить площадь фигуры, расположенной в первом квадранте и ограниченной параболой , прямой и осьюОх.
б)Найти объем тела, образованного вращением этой фигуры вокруг осиОх.
Решение.
а) Найдём точки пересечения параболы с прямой. Для этого приравняем правые части уравнений.
У нас , отсюда возникает квадратное уравнение. Решим его:
,
Первому квадранту соответствует корень .
Найдем теперь абсциссу точки пересечения прямой с осью Ох, решив уравнение, откуда.
у
14
х
0 1
, где
,
.
В результате .
б) Тело вращения ограничено приповерхностью, образованной вращением параболывокруг осиОх, а при– вращением прямой.
Объем ищем по формуле
.
.
А - это объём конуса, радиус которого равен. Высота конуса равна.
Воспользуемся формулой объема конуса: .
В целом.