- •«Национальный исследовательский
- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 введение в анализ Предел функции
- •Второй замечательный предел
- •Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 1 Введение в анализ
- •Методические указания к выполнению контрольной работы № 2
- •Основные правила дифференцирования
- •Правило дифференцирования сложной функции
- •Дифференцирование функций, заданных параметрически
- •Производная неявной функции
- •Геометрический смысл производной
- •Правило отыскания наибольшего и наименьшего значения функции
- •Наклонные и горизонтальные асимптоты
- •Варианты контрольных заданий для контрольной работы № 2
- •Математический анализ 1
- •080200 «Mенеджмент»
- •Отпечатано в Издательстве тпу в полном соответствиис качеством предоставленного оригинал-макета
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования
«Национальный исследовательский
ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»
УТВЕРЖДАЮ
Директор ИПР
_______________ А.Ю. Дмитриев
«____»_____________2012 г.
МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 1
Методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлению080200 «Mенеджмент»
Составители
С.В. Рожкова
В.И. Рожкова
Г.А. Никольская
Г.М. Матвеенко
Семестр |
1 |
Кредиты |
4 |
Лекции, часов |
8 |
Практические занятия, часов |
8 |
Индивидуальные задания |
2 |
Самостоятельная работа, часов |
200 |
Формы контроля |
Экзамен |
Издательство
Томского политехнического университета
2012
УДК 517
ББК
Математический анализ 1: методические указания и индивидуальные задания для студентов ИПР, обучающихся по направлению 080200 «Mенеджмент» / сост. С.В. Рожкова, В.И. Рожкова, Г.М. Матвеенко, Г.А. Никольская; Томский политехнический университет.– Томск: Изд-во Томского политехнического университета, 2011.– 49с.
Методические указания и индивидуальные задания рассмотрены и рекомендованы к изданию методическим семинаром кафедры высшей математики ФТИ «____» ______2011 года, протокол № ___.
Зав. кафедрой ВМ,
профессор, доктор физ.-мат. наук _________________К.П. Арефьев
Рецензент
Кандидат физико-математических наук,
доцент кафедры ВМ ФТИ
Э.М. Кондакова
© Составление.ГОУ ВПО НИ ТПУ, 2011
© Рожкова С.В., Рожкова В.И., Матвеенко Г.М, Никольская Г.А., составление, 2011
© Оформление. Издательство Томского
политехнического университета, 2011
Методические указания к выполнению контрольной работы № 1 введение в анализ Предел функции
Пусть функция определена в некоторой окрестности точки. Числоназываетсяпределом функции при , стремящемся к, если для любогоможно указать такое число , что для всех , отличных от и удовлетворяющих неравенству, выполняется неравенство.
Если есть предел функции
при стремящемся к то пишут
или при.
Число называетсяпределом функции в точкеслева (пишут ), еслистремится к пределупри , стремящемся к числу так, что принимает только значения, меньшие . Еслипринимает только значения, большие, то пишути называютпределом функции в точке справа.
При вычислении пределов функций используются следующие теоремы:
Если каждая из функций иимеет конечный предел при, то сумма, разность и произведение этих функций также имеет конечный предел, причем
Если, кроме того, , то и частноеимеет конечный предел, причем.
Следствие:
1. Постоянный множитель можно выносить за знак предела
, где .
Если и− натуральное число, то
.
Кроме того, при вычислении пределов нужно обратить внимание на то, что элементарные функции непрерывны там, где они определены, т.е.
. (1)
Пример. Найти .
Решение.
Однако, бывают случаи, когда теоремы о пределах суммы, частного и произведения неприменимы, т.к. при вычислении пределов получаются неопределенности .
Для вычисления таких пределов функцию заменяют функцией, принимающей в окрестности точките же значения, что ии определенной в точке. Пределы таких функций равны, т.е.
.
Рассмотрим простейшие приемы раскрытия неопределенностей и нахождения пределов функций.
Неопределенность .
Рассмотрим предел дробно-рациональной функции, когда при и числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю.
Пример. Найти .
Решение.
Непосредственный переход к пределу по формуле (1), дает неопределенность , т.е. функция в точкенеопределена. Для решения задачи поступим следующим образом, разделим числитель и знаменатель дроби на, получим
.
Тогда .
Сформулируем правило.
Для того, чтобы найти предел дробно-рациональной функции в случае, когда при и числитель, и знаменатель дроби имеют пределы, равные нулю, надо числитель и знаменатель дроби разделить наи перейти к пределув полученном выражении. Если и после этого неопределенность сохраняется, то надо произвести повторное деление на.
Пусть − дробь, содержащая иррациональные выражения.
Пример. Найти. .
Решение.
Умножим числитель и знаменатель дроби на выражение . Тогда
Пример. Найти
Решение.
Правило. Чтобы найти предел дроби, содержащей иррациональные выражения, в случае, когда пределы числителя и знаменателя дроби равны нулю, надо освободиться от имеющихся иррациональностей, после этого сделать необходимые упрощения (приведение подобных членов, сокращение одинаковых множителей и т. п.) и перейти к пределу при в полученном выражении.
Замечание. В этом случае используются формулы сокращенного умножения
Неопределенность вида .
Рассмотрим предел при отношения двух многочленов
В данном случае теорема о пределе дроби неприменима, т.к. пределы числителя и знаменателя не существуют.
Преобразуем дробь следующим образом:
Очевидно, что
и
Тогда
Правило. Чтобы вычислить предел дробно-рациональной функции в случае, когда при числитель и знаменатель дроби имеют пределы, равные бесконечности, надо числитель и знаменатель дроби разделить навнаибольшей степени, встречающейся в членах дроби, а затем прейти к пределу.
Пример. Найти
Решение.
Пример. Найти
Решение.
Пример. Найти .
Решение.
Пусть − дробь, содержащая иррациональности. Приимеем неопределенность, которую раскрывают по правилу, указанному в предыдущем пункте, т.е. делят числитель и знаменатель дроби нав высшей степени, а затем переходят к пределу при
.
Пример. Найти .
Решение.
Первый замечательный предел
Для раскрытия неопределенности от функций, содержащих тригонометрические и обратные тригонометрические функции используют первый замечательный предел
и следствия из него
.
Примеры.
Замечание. В этом примере использована формула тригонометрии