ТОЭ УП ч. 1

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 1 ЭЛЕМЕНТЫ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

1.1. Основные величины, характеризующие электрическую цепь

Электрическая цепь – совокупность устройств, предназначенных для прохождения электрического тока, электромагнитные процессы в которых могут быть описаны с помощью понятий о токе, электродвижущей силе (ЭДС), напряжении и мощности.

	Величина,			Определение
	единица измерения
	q – электрический заряд,	электрический заряд – источник электрического поля
	[q] = [Кл]
	i – электрический ток,	электрический ток в проводнике – направленное движе-
	i(t) = Im sin(ωt + ψi),	ние электрических зарядов:
	синусоидальный			i =		dq			,
	i(t) – мгновенный ток,
						dt
	i(t) = I = const,
		на схеме направление тока указывается стрелкой:
	постоянный
	[i] = [А]
	е – ЭДС,	электродвижущая сила е – работа								сторонних сил, при-
	е(t) = Еm sin(ωt + ψе),	сущих источнику, затраченная на перемещение едини-
	синусоидальная	цы положительного заряда внутри источника от мень-
	е(t) = Е = const,	шего потенциала к большему
	постоянная
	[Е] = [В]
	ϕ – потенциал,	энергетическаяхарактеристикалюбойточкиполя
	[ϕ] = [B]
	u – напряжение,	напряжение – это разность потенциалов:
	[u] = [B]			u = ϕ1 – ϕ2
	W – энергия	энергия, затраченная	наперемещение								зарядаq научастке
	электрического поля,	цеписнапряжениемu кмоментувремениt:
	[W] = [Дж]			t					t
		W = ∫udq =							∫uidt
				−∞					−∞
	p – мощность,	мощность – скорость изменения энергии во времени:
	[р] = [Вт]			p =	dW		= ui
					dt

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

1.2. Источники электрической энергии

Основными элементами электрической цепи являются источники электрической энергии и приемники (потребители), соединенные проводами.

Под источниками понимают элементы, питающие цепь электромагнитной энергией, поэтому они называются активными элементами.

Любой реальный источник с внутренним сопротивлением Rвн может быть представлен двумя схемами:

1)источником ЭДС (напряжения);

2)источником тока.

1.2.1.Источники ЭДС (напряжения)

Источник ЭДС – такой источник, ЭДС которого не зависит от тока приемника, а Rвн равно нулю:

a) источник постоянной ЭДС, e(t) = E = const;

Схема

Характеристики

			1. U12(I) – ВАХ,
				Rвн ≠ 0; U12 = Е – I Rвн
			(реальный источник);		E
	Схема 1			IКЗ =
						.
					R
U12 – напряжение			2. U12(I) = Е = const, Rвн = 0		BH
на зажимах источника ЭДС;
			(идеальный источник);
			ВАХ – вольтамперная характеристика
б) источник гармонической ЭДС,			e(t) = Еm sin(ωt + ψе).
	Схема			Характеристики

	ψе – начальная фаза;
Схема 2	ψе > 0, ω – угловая частота;
		ω = 2πf = 2π T ;
	T – период; (ωt + ψе) – фаза ЭДС;
	Em – амплитуда ЭДС

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

1.2.2. Источники тока

Источник тока – такой источник, ток которого не зависит от напряжения на его зажимах, а Rвн бесконечно велико:

a) источник постоянного тока, i(t) = J = const;

Схема

Характеристики

	1.	U12(I) – ВАХ, Rвн < ∞
	(реальный источник).
	2.	I(U12) = J = const, Rвн = ∞
Схема 3
	(идеальный источник).

Схемы 1 и 3 взаимозаменяемы: E = JRвн , если 0 < Rвн < ∞;

б) источник гармонического тока, i(t) = Im sin(ωt + ψi).

Схема 4

ψi – начальная фаза;

ψi < 0, ω – угловая частота; Im – амплитуда тока;

(ωt + ψi) – фаза тока.

1.3. Пассивные элементы

Пассивный двухполюсник – схема любой сложности, имеющая два входных зажима, но не имеющая источников энергии.

Двухполюсник линеен, если линейна его вольтамперная характеристика (ВАХ) u(i).

В качестве приемников электрической энергии используются резистивные элементы, в которых происходят необратимые процессы

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

преобразования электрической энергии в другие виды энергии (механическую, тепловую, световую и т. п.), и реактивные элементы (индуктивные и емкостные), в которых происходит накопление, а затем расходование магнитной или электрической энергии.

Резистивный элемент:

ВАХ u(i) линейна, причем сопротивление R = mu tgα = const – mi

это коэффициент пропорциональности между напряжением и током, который характеризует способность этого элемента препятствовать проте-

канию тока, [R] = [Ом]; G = R1 ; G – проводимость, которая характеризу-

ет способность этого элемента проводить электрический ток, [G] = [См], где См – Сименс.

Связь между напряжением и током для резистивного элемента выражается законом Ома

i = Ru = G u .

Сопротивления R для постоянного и переменного токов несколько различаются по величине, но в практических расчетах будем полагать их одинаковыми и зависящими от геометрических размеров проводника и материала, из которого он изготовлен:

R = ρ Sl = γ l S ,

где ρ – удельное сопротивление материала, [ρ] = [Ом м]; γ – удельная проводимость материала, [ γ] = [1/Ом м]; l – длина проводни-

ка, [l] = [м];

S – площадь поперечного сечения проводника, [S] = [м2].

Мощность тепловых потерь в резистивном элементе находится по закону Джоуля – Ленца

P =i2 R =u2G =ui ,

размерность [Р] = [Вт], где Вт – ватт.

Индуктивный элемент (катушка):

Вебер-амперная характеристика (ВбАХ) ψ(i) линейна, причем

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

индуктивность L = mψ tgα = ψ = const – это коэффициент пропорцио- mi i

нальности между потокосцеплением ψ и током i, который характеризует способность катушки запасать энергию в магнитном поле, [L] = [Гн], где Гн – генри.

Индуктивный элемент при протекании электрического тока создает магнитное поле, характеризуемое магнитным потоком Ф и соответствующим ему потокосцеплением ψ = wФ [Вб] – причем w равно числу витков катушки, где Вб – вебер.

Связь между током и напряжением индуктивного элемента выражается законом электромагнитной индукции

uL = dψ	= L di .
dt	dt

Если ток постоянный, то di/dt = 0 и uL = 0, тогда для постоянного

тока индуктивный элемент L можно заменить закороткой (). Величина запасенной энергии в магнитном поле индуктивного

элемента равна

				WL =			L i2	=	ψ i		, [Дж].
							2		2
	Емкостный элемент (конденсатор):
	кулон-вольтная характеристика (КВХ) q(u) линейна, причем ем-
	кость (u=uC) C =	mq	tgα =	q		= const		– это коэффициент пропорцио-
		m		u	C
		u

нальности между зарядом q и напряжением uC на обкладках конденсатора, который характеризует способность конденсатора запасать энергию в электрическом поле, [С] = [Ф], где Ф – фарада, причем мкФ – микрофарада (1 мкФ = 10–6 Ф).

При изменении заряда на обкладках конденсатора через него про-

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

текает электрический ток

i = dqdt = C dudtC .

Если приложенное к конденсатору напряжение постоянное, то duC /dt = 0 и i = 0, тогда при постоянном напряжении емкостный элемент можно заменить обрывом ().

Величина запасенной энергии в электрическом поле емкостного элемента равна

WC = C 2uC 2 = q 2uC , [Дж].

Два соотношения, обладающие свойством взаимного перехода друг в друга при замене соответствующих величин, называются дуаль-

ными.

Дуальные величины: u ↔ i, R ↔ G, L ↔ C.

Связь между током и напряжением на зажимах этих элементов для переменного и постоянного токов представлена табл. 1.

Таблица 1

Элемент

Переменный ток

i(t) = I= const

вольтамперные

энергетические

схема

характеристики

характеристики

замещения

uR = Ri

i = G uR

P = Ri2 = Gu 2

R

резистивный

UR = RI

di

1

2

∫uLdt

Li

UL = 0

индуктивный

uL = L dt

i =

WL =

(закоротка)

L

2

1

∫idt

duC

Cu

2

uC =

i = C dt

WC =

C

C

2

емкостный

(разрыв)

1.4. Топологические (геометрические) понятия электрической цепи

Электрическая цепь – совокупность устройств, предназначенных для вырабатывания, распределения и преобразования электрической энергии.

Для упрощения расчета и анализа электрических цепей применяются топологические (геометрические) понятия.

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Схема – графическое изображение электрической цепи, содержащее условные обозначения ее элементов и показывающее их соединение.

Геометрическая конфигурация схемы характеризуется понятиями узел, ветвь, контур, граф, сечение, дерево.

	Определение топологических		Пример
	элементов схемы
	Узел – место соединения трех
	и более ветвей.
	Ветвь – участок цепи, по которо-
	му протекает один и тот же ток.
	Контур – любой замкнутый путь,
	образованный ветвями и узлами
		Узлы
			: a, b, c, d,
		узлы k и m – устранимые.
		Ветви: ab, bd, bc, ac, dc, ad.
		Контуры: akbda, dbcd, adca, akbcda и т. д.
	Граф – упрощенное изображение
	схемы в виде точек (узлов) и линий
	(ветвей). Стрелки – направления
	токов, источники ЭДС закорачива-
	ются, ветви с источниками тока не
	изображаются.
	Сечение S – любой замкнутый		Граф схемы
	путь, пересекающий ветви графа
			S – сечение
	Дерево – часть графа, соединяю-	Дерево образовано ветвями
	щая все узлы, но не образующая	3, 4, 5 (одно из деревьев).
	контуров.	Хорды: 1, 2, 6.
	Хорды – ветви, дополняющие де-	Главные контуры: abda, bcdb, adca
	рево до графа.
	Независимый (главный) контур –
	составленный из ветвей дерева
	и только одной хорды

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Тема 2 ЦЕПИ С ГАРМОНИЧЕСКИМИ

(СИНУСОИДАЛЬНЫМИ) ИСТОЧНИКАМИ

2.1. Сущность комплексного метода расчета

Для расчета цепей с гармоническими источниками применяются комплексные числа. Из математики известно, что комплексные числа (КЧ) располагаются на комплексной плоскости, образованной осью

действительных (+1) и осью мнимых чисел (+j), где j = −1 . Каждому

комплексному числу соответствует точка на комплексной плоскости. Положение точки (КЧ) на комплексной плос-

кости может быть представлено:

1. В показательной форме A = A e jα , где А – комплексное число (КЧ); А – модуль КЧ; α – аргумент (угол) КЧ, отсчитываемый от оси +1, причем при α >0

отсчет этого угла ведется против часовой стрелки, а при α < 0 – по часовой стрелке.

2. В алгебраической форме:

А= a+jb, где a = Re(A e jα ) – действительная часть КЧ; b = Jm(A e jα ) – мнимая часть КЧ.

Обе формы связаны прямоугольным треугольником: a = A cosα, b = A sin α;

A = a2 + b2 ,

α = arctg ba +(±180 ) , где 180 прибавляется только при a < 0 .

Таким образом, любое КЧ может быть представлено

A = A e jα = a + jb = A cosα + jA sin α.

При расчетах с комплексными числами возникает необходимость перевода КЧ из одной формы в другую форму.

1. Сложение и вычитание комплексных чисел производится только в алгебраической форме, например:

20 e j60 −14,1 e− j45 = (10 + j17,32) −(10 − j10) =

=0 + j27,32 = 27,32 e j90 .

2.Умножение комплексных чисел можно производить в алгебраической или показательной форме, например:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

(20 − j10) (5 + j4) = 20		5 + 20 j4 − j10 5 − j10 j4 =
=100 + j80 − j50 + 40 =140				+ j30 =143,18 e j12.1	;
(50 e− j40	) (0 + j2) = 50 e− j40	2 e j90 = 50 2 e j(−40			+90 ) =100 e j50
	;
причем	j2 = −1; ± j = e± j90 ;	1	j	= − j ; 1 = e j0 ; −1 = e j180 .

3. Деление комплексных чисел производится только в показательной форме, например:

	A e jα	=	A	e j(α−β)	или 100 e j30	= 20 e j100 .
	B e jβ		B
					5 e− j70

4.Возведение в степень комплексного числа производится только

впоказательной форме, например:

(A e jα )n = An e jα n или (5 e j30 )2 = 52 e j30 2 = 25 e j60 .

5. Извлечение из под корня комплексного числа производится только в показательной форме, например:

n A e jα = n A e j αn или 2 100 e− j120 = 2 100 e− j120

2 =10 e− j60 .

Примечание. Некоторые калькуляторы снабжены функциями перевода комплексных чисел из одной формы в другую, а также функциями деления и умножения комплексных чисел в алгебраической форме. Необходимо внимательно изучать инструкцию, прилагаемую к калькуляторам.

Уравнения электрического равновесия для цепей с гармоническими источниками могут быть записаны для мгновенных значений в дифферен- циально-интегральной форме (см. табл. 1). Решение таких уравнений затруднительно. Проще и наглядней можно рассчитать схему, заменив синусоиду комплексным числом. Замена мгновенных значений комплексными числами позволяет заменить дифференциальноинтегральные уравнения алгебраическими и действия над волновыми функциями заменить действиями над комплексными числами. В этом суть комплексного метода.

Заменим гармоническую функцию i(t) = Im sin(ωt + α) комплексным числом и представим его на комплексной плоскости:

СметанинаР.Н, НосовГ.В,,ИсаевЮ.Н. «Теоретическиеосновыэлектротехники» часть1, 2009г

Мгновенное комплексное значение тока

i = Im еj(ωt + α) = Im еjα еjωt = Im еjωt ,

где Im = Im еjα – комплексная амплитуда (показательная форма);

Im = Im cosα + jIm sinα = a + jb – ее тригонометрическая и алгебраическая формы.

Следовательно, синусоидальной функции времени соответствует комплексная амплитуда i(t) = Jm(i) = Im sin(ωt + α) ↔ Im = Im еjα.

Пример. ЭДС е(t) = 141 sin(ωt – 30°) соответствует комплексная амплитуда этой ЭДС Еm = 141 е–j30° В.

Действующие значения гармонических функций

Расчет цепи с гармоническими источниками ведут обычно не по максимальным, а по действующим значениям, т. е. среднеквадратичным значениям за период T = 2πω:

при f (t) = Fm sin(ωt + α) имеем

F =		1 T	f 2		(t)dt =	1 T		F	;
		∫				T	∫Fm2 sin 2 (ωt + α)dt =	m
		T 0					0	2
	F =	Fm			– действующее (или эффективное) значение;
		2

F = Fm2 e jα = Fe jα ;

F – комплекс действующего значения.

Внашем примере комплекс действующего значения ЭДС

Е= 1412 е–j30° = 100 е–j30° В.

Иногда применяется среднее значение гармонической функции за половину периода (Т/2):

	2 T 2			2F
F =		F	sin ωt dt =	m	= 0,637F .
cp	T	m		π	m
		∫0