М08а

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

ТОМСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

УТВЕРЖДАЮ Декан ЕНМФ

	Ю.И. Тюрин
« »		2007 г.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Методические указания к выполнению лабораторных работ М–08а по курсу общей физики для студентов всех специальностей

Томск 2007

ЛАБОРАТОРНАЯ РАБОТА М-08а ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА ИНЕРЦИИ ИЗ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ

И ПРОВЕРКА ТЕОРЕМЫ ШТЕЙНЕРА

Цель работы: определение момента инерции твердого тела из крутильных колебаний и проверка теоремы Штейнера.

Приборы и принадлежности: лабораторная установка (крутильный маятник), дополнительные грузы (2 шара), секундомер, технические весы, штангенциркуль.

ТЕОРЕТИЧЕСКОЕ СОДЕРЖАНИЕ

В механике твердое тело можно рассматривать как совокупность материальных точек с наложенными на них жесткими связями. Произвольное движение твердого тела можно представить как сложное, состоящее из поступательного и вращательного движений. При изучении движения твердого тела разделим его мысленно на отдельные элементарные массы Дmi, к которым приложены как внутренние, так и внешние силы. Внутренние силы представляют собой силы взаимодействия отдельных элементарных масс Дmi твердого тела друг с другом. Таким образом, движение твердого тела можно рассматривать как движение механической системы с наложенными жесткими связями.

При поступательном движении твердого тела все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому уравнение поступательного движения твердого тела массы m (где m = ∑mi ) определяется вторым законом Ньютона, записанным для центра

i

масс тела:

dP	r	, P =mυrc =mυr, где υc	– скорость центра масс, равная скорости
	= F
dt			r
поступательного движения тела υ ,			P – импульс тела, F – результирующая

внешняя сила, действующая на тело (сумма всех внутренних сил, действующих между элементарными массами Дmi тела равна нулю). Если

		масса	тела	постоянна (m = const), то		m	dυ	r
							dt	= F .
O	r	Масса	m –
				мера инертности твердого		тела,		она
	M	проявляется при попытке изменить скорость тела и
	r
rr	υi	характеризует способность тела изменять скорость
	∆mi	при поступательном движении под действием силы
		r
		F .
O		При		вращательном	движении			тела
		относительно какой-либо оси, каждая элементарная
Рис. 1		масса	Дmi тела описывает		окружность.	Радиус ri

2

окружности, описываемый элементарной массой Дmi, это кратчайшее расстояние до оси вращения (рис. 1). Запишем второй закон Ньютона для материальной точки Дmi и всего твердого тела (суммы материальных точек

	Дmi):		d[ri ×∆miυi ]		=[rri Fri ],
	d (∆miυi )	= Fri , или
	dt		dt

где [rri Fi ]= Mi – момент внешних сил, действующий на элементарную массу

Дmi,

а [rr ×∆m υr ]= L

–

момент импульса этой элементарной массы Дmi

i

i i

i

относительно осиrвращения.

d ∑Li

r

dL

r

i

Тогда

= ∑Mi , или

= M , где L = ∑Li – момент импульса

dt

dt

i

i

твердого тела относительно оси вращения,

M –

результирующий момент

внешних сил, действующих на тело относительно оси вращения.

r

r

×∆miυri ]= ∑[rri

×∆mi [ωrrri ]]= ∑∆mi ri2ωv ,

Так

как

L

= ∑Li = ∑[rri

или

r

r

i

i

i

I =∑∆miri2

– момент инерции твердого тела относительно оси

L = Iω, где

i

вращения (осевой момент инерции).

Тогда

основной

закон

вращательного

движения твердого

тела

относительно оси вращения можно записать

d (Iω)

r

dt

= M .

dωr

r

При I = const

I

dt

= M .

I является

Момент

инерции

мерой

инертности твердого тела

при

вращательном движении и определяет способность тела изменятьr угловую

скорость под действием вращающего момента внешних сил M .

Моментом инерции материальной точки массой m, находящейся на расстоянии r от оси вращения, называется величина, численно равная произведению массы этой точки на квадрат расстояния от оси вращения, т.е.

Im = mr 2 .

Момент инерции твердого тела зависит не только от массы тела, но и от расположения частиц тела относительно оси вращения. Чтобы найти момент инерции тела надо просуммировать моменты инерции всех материальных точек, составляющих данное тело, т.е.

I =∑∆miri2 ,	(1)
i

где ri – радиус i-й точки до оси вращения.

В общем случае, если плотность тела с, а объем тела V, то момент инерции тела определяется интегралом

3

m
I = ∫r 2d m = ∫r2 ρdV .		(2)
0	V

Пределы интегрирования зависят от формы и размеров тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки относительно оси вращения с координатами x, y, z.

Интегрирование уравнения (2) легко осуществить для тех случаев, когда

	ось вращения проходит через центр тяжести
	осесимметричного тела.
О	Для	тел		правильной			геометрической
	формы,	масса			которых			равномерно
а	распределена		по	объему		моменты инерции
	относительно оси, проходящей через центр
	инерции определены.
	Момент			инерции			обруча		или
	тонкостенного цилиндра (относительно оси,
О	проходящей		вдоль		цилиндра)			массой	m и
	радиуса R равен:			Iоб =mR2 .
Рис. 2
	Момент инерции диска или сплошного
	цилиндра	(относительно				оси,		проходящей

вдоль цилиндра) массой m и радиуса R равен: Iц = 12 mR2 .

Момент инерции шара массой m и радиуса R равен: I Ш = 52 mR2 .

Момент инерции стержня длиной l и массой m (относительно оси, проходящей перпендикулярно стержню через центр тяжести) равен:

IСТ =121 ml 2 .

Момент инерции относительно любой оси вращения, не проходящей через центр инерции (рис. 2), определяется теоремой Штейнера: момент инерции относительно произвольной оси равен сумме момента инерции относительно оси, параллельной данной и проходящей через центр инерции (тяжести) тела Ic, и произведения массы тела на квадрат расстояния между осями ma2, т.е.

I = Ic +ma2 ,

(3)

где а – расстояние между осями.

Определение момента инерции тела может быть произведено разными способами:

1.Знание распределения массы и геометрических размеров тела дают возможность использовать соотношение (2) для вычисления момента инерции тела;

2.Определение момента инерции тела относительно какой-либо оси опытным путем в случае, когда аналитическое определение затруднено из-за сложности формы тела или неоднородности распределения массы.

4

Экспериментальное определение моментов инерции тел основывается на наблюдении того или иного вида вращения твердого тела вокруг неподвижной оси, так как момент инерции – это характеристика инертности тела при вращательном движении.

Можно назвать три способа определения момента инерции тел, применяемых в технике: способ качаний, способ крутильных колебаний и способ вращения при помощи падающего груза.

Рассмотрим способ крутильных колебаний. Существует две разновидности технической реализации данного способа.

а) на упругой нити закрепляется сначала эталонное тело, момент инерции которого известен. Тело, прикрепленное к нити, поворачивают на некоторый угол и отпускают. За счет сил упругости в нити возникают крутильные колебания, период которых зависит от момента инерции тела и

модуля кручения проволоки T = 2π	I	, где f – модуль кручения нити. Затем
	f

на эту же нить закрепляется тело, момент инерции которого неизвестен и определяется период крутильных колебаний. Сравнивая периоды колебаний эталонного и испытуемого тела, определяют момент инерции испытуемого тела.

б) другая разновидность этого метода состоит в том, что к испытуемому телу добавляется одно или несколько тел, моменты инерции которых относительно центра тяжести известны. Тела укрепляются на испытуемое тело на некотором расстоянии от оси вращения. Аналогично сравниваются периоды колебаний испытуемого тела и тела вместе с дополнительными телами. В данной лабораторной работе реализуется именно этот вариант определения момента инерции испытуемого тела.

Пусть тело, момент инерции которого I0 нужно определить, закреплено на упругой нити, являющейся осью вращения. Испытуемое тело имеет приспособление (например, стержни), при помощи которого на нем можно закрепить дополнительные грузы (например, шары).

Тело, совершающее крутильные колебания, колеблется с периодом

T	= 2π I0	f	.	(5)
0

При малых углах (порядка 8°– 10°) период колебания не зависит от амплитуды.

Если изменить момент инерции тела, т.е. прикрепить на стержнях шары на расстояниях а от оси вращения, то период колебаний изменится и станет

T	= 2π I1	f	,	(6)
1

где момент инерции тела с дополнительными грузами I1 будет равен сумме моментов инерции тела I0 и дополнительных грузов IPЧ′, т.е. I1 = I0 + I ′, а

модуль кручения нити останется неизменным

5

T = 2π					I0 + I′.			(7)
1					f
Уравнения (5) и (7) возведем в квадрат и, разделив одно на другое,
получим:
	T12	=	I′+ I0			.		(8)
	T 2
				I	0
0
Отсюда находим момент инерции тела
					T 2
	I0 = I ′				0		.	(9)
				T 2 −T 2
		1			0
Если в качестве дополнительного груза использовать два одинаковых

шара массой m и радиусом r, расположенных на расстоянии a симметрично относительно оси маятника, то момент инерции I′ найдем по теореме Штейнера.

I′ =	2	2		2
	5 m R		+ m a		.	(10)
Таким образом, момент инерции тела с закрепленной осью может быть
найден по формуле

T 2

2

I

0

=

0

m R2 + m a2 .

(11)

T 2

−T 2

5

1

0

Эта формула позволяет определить момент инерции тела из

крутильных колебаний при условии справедливости теоремы Штейнера.

Чтобы убедиться в правильности теоремы Штейнера, проведем

следующие рассуждения.

Если менять расстояние шаров от оси вращения, то и период колебаний

тоже будет меняться согласно уравнению (7), т.е.

I0

2

mR

2

ma2

T( a ) = 2π

+

5

+

.

(12)

f

f

f

Слагаемые

2mR2

и

I

0

для данной установки и шаров – постоянные

5 f

f

величины. Возведем в квадрат уравнение (12), получим

T 2 ( a ) =

4π2 I

0

+

8π2mR2

+

4π2ma2

или

f

5 f

f

m

4π2

T

2

( a ) = 4π

2

a

2

+

+

2

mR

2

f

f

I0

5

.

Видим, что

T 2 ( a ) =αa2 +const,

(13)

где

6

	2	m		4π2			2		2
α = 4π			, const =		I0	+		mR		.
		f					5
				f

T2

Полученное

уравнение

есть

уравнение

прямой.

Если теорема Штейнера справедлива, то

∆y

график зависимости Т2=f(a2) должен быть прямой.

tgц= ∆y

T′2

Тангенс угла наклона (рис. 3)

, с другой

а2 стороны, из уравнения (13)

∆x

O

∆x

tgϕ =

4π2

m,

(14)

Рис. 3

f

модуля кручения f.

что дает возможность определить значение

Если полученную прямую продолжить, то прямая пересекает ось

ординат в точке a2=0, тогда из формулы (13)

T ′

2

2

4π2

2

2

=(T

)

a=0

=

mR

+

I

0

.

(15)

5

f

Что позволяет рассчитать момент инерции I0 крутильного маятника.

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ УСТАНОВКА

В лабораторной работе используется крутильный маятник,

схематично

изображенный нарис. 4. Тело, момент инерции которогонеобходимоопределить

имеет форму двух

цилиндров

разного диаметра (1) с двумя, симметрично

расположенными стержнями (2). Для

изменения

момента

инерции

O

1

4

используются

дополнительные

грузы

2

2

(шары)

(3),

которые

могут

быть

закреплены на стержнях на различных

расстояниях

от

оси

вращения.

Ось

3

3

вращения

маятника жестко

связана

с

O

испытуемым

телом

и

закреплена

в

кронштейнах.

Если

тело

повернуть

Рис. 4

относительно оси вращения на некоторый

угол и отпустить, возникнут крутильные

колебания.

Для

удерживания

тела,

повернутого на некоторый угол относительно оси вращения, служит электромагнит (4). При выключении электромагнита автоматически включается секундомер, необходимый для определения периода колебаний. Установка снабженаэлектроннымсекундомером(нарисункенепоказан).

7

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Вывести маятник из состояния равновесия поворотом относительно оси вращения на небольшой угол и отпустить. Маятник будет совершать

крутильные колебания. Определить период Т0 маятника без дополнительных грузов. Для более точного определения периода необходимо 3–5 раз измерить время t не менее 10 полных колебаний, а затем определить период колебаний T = t / N.

2.Измерить диаметр шаров штангенциркулем и найти их радиус r.

3.Определить взвешиванием общую массу шаров m.

4.Измерить диаметр D цилиндра, к которому прикреплены два стержня. Это необходимо для того, чтобы определить расстояние центров шаров от закрепленной оси крутильного маятника a.

5.Установить дополнительные грузы (шары) на концах стержней и определить период колебаний Т1.

6.Последовательно передвигать шары на 2 см к центру и определить периоды Т2, Т3, Т4, Т5.

7.Построить на миллиметровой бумаге график зависимости Т2=f(a2). Точка пересечения осей должна быть нулем на обеих осях. Убедиться в справедливости теоремы Штейнера.

8.Определить из графика модуль кручения подвеса. Для этого нужно определить тангенс угла наклона и из формулы (14) определить f.

9.Определить из графика момент инерции I0. Для этого продолжить прямую, изображающую зависимость Т2=f(a2), до пересечения с осью ординат и определить T′2 . Затем из формулы (15) найти I0.

10.Рассчитать I0 по формуле (11) и сравнить полученные значения.

11.Сделать вывод, сравнив значения момента инерции I0 крутильного маятника, рассчитанного по формуле (11) и определенного с помощью

графика. В каком случае точность определения I0 больше и почему? Сделать вывод о справедливости теоремы Штейнера.

ТАБЛИЦА НАБЛЮДЕНИЙ

а1

а12

а2

а22

а3

а32

а4

а42

а5

а52

Примечания

N=

N=

t0

t1(c)

t2 (c)

t3(с)

t4(с)

t5(с)

m=

н/п

d=

1

r=

2

r2=

3

D=

…

средн

T0

T1

T2

T3

T4

T5

T′2 =

T02

T12

T22

T32

T42

T52

8

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Каков физический смысл момента инерции?

2.Что определяет теорема Штейнера?

3.Докажите теорему Штейнера.

4.Почему, если график зависимости Т2=f(a2) представляется отрезком прямой линии, это означает, что теорема Штейнера справедлива?

5.Можно ли при помощи предложенного метода определить момент инерции тела неправильной формы?

9