Метод. указание к лаб. работе №2

Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Томский политехнический университет»

Кафедра ЭАФУ

РАСЧЕТ ЛИНЕЙНОЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ ПОСТОЯННОГО ТОКА С ПОМОЩЬЮ ЗАКОНОВ КИРХГОФА. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ БАЛАНС

Методические указания по выполнению лабораторной работы №2 по курсу «Электротехника и электроника

Томск – 2009

	Содержание
1 Правила расчета линейной электрической цепи постоянного тока с
помощью законов Кирхгофа......................................................................................	3
2 Энергетический баланс .............................................................................	10

1 Правила расчета линейной электрической цепи постоянного тока с помощью законов Кирхгофа

Если известны параметры всех элементов цепи и ее конфигурация, а требуется определить токи, то при расчете цепи с помощью законов Кирхгофа рекомендуется придерживаться определенной последовательности.

			R	E	I1	b	R5
E1			5	1		I4
							I5
		R				R
	E2	4				4
R1		R2		R1 E2	I2	R2 c I6	d
				a
			R6				R6
J		R7		J		R7		R
			R
								8
			8
		R3		I3	R3	e I7 I8
		а)				б)
Рисунок 1.1 – К примеру расчета цепи с помощью законов Кирхгофа

Применим эту последовательность для расчета цепи, схема которой представлена на рисунке 1.1 а).

Известно, что

E1 =10 В, E2 = 20 В, J =1 А,

R1 =1 Ом, R2 = 2 Ом, R3 =3 Ом, R4 = 4 Ом, R5 =5 Ом, R6 = 6 Ом, R7 =7 Ом, R8 =8 Ом.

Необходимо рассчитать электрическую цепь, то есть определить токи во всех ветвях.

1 Определить количество ветвей и узлов схемы. Узлы схемы необходимо подписать.

В схеме на рисунке 1.1 а) имеется 5 узлов и 8 ветвей. Подпишем узлы так, как это указано на рисунке 1.1 б). Тогда ветви можно обозначить следующим образом: ab, ac, ae, bc, bd, cd, ce, ed.

2 Определить количество неизвестных токов.

В схеме на рисунке 1.1 а) 8 ветвей, однако одна из них содержит источник тока, следовательно, ток в этой ветви равен току источника тока. Поэтому количество неизвестных токов равно 7.

3 Произвольно задаться направлением неизвестных токов. Выбрать положительные направления токов относительно узлов.

Направим неизвестные токи так, как это указано на рисунке 1.1 б). Будем считать положительными те из них, которые втекают в узел, а отрицательными те, которые вытекают.

4 Составить (У −1) уравнений по первому закону Кирхгофа, где У –

количество узлов в цепи.

Составим уравнения по первому закону Кирхгофа для узлов a , b , c , d .

Имеем:
для узла a : −I1 − I2 − I3 =0 ,
для узла b : I1 + I4	− I5	=0 ,
для узла c : I2 − I4	− I6	− I7 =0 ,
для узла d : I5 + I6	+ I8	=0 .
Составление уравнения по первому закону Кирхгофа для узла e			даст
нам следующее выражение: I3 + I7 − I8 =0 . Нетрудно убедиться в том,			что

последнее выражение есть сумма уравнений для узлов a , b , c , d , взятая с обратным знаком. Иными словами, уравнение, составленное по первому закону Кирхгофа для узла e , является линейной комбинацией уравнений, записанных для остальных четырех узлов. Так как в систему должны входить лишь линейно независимые уравнения, то включать его в систему уравнений для расчета цепи нельзя. Однако составлять его все же рекомендуется для проверки правильности составления остальных уравнений.

5 Выбрать	(В−У +1−ВJ ) замкнутых контуров, где В – количество
ветвей в цепи, ВJ	– количество ветвей, содержащих источник тока; задаться

направлением обхода контура. Примечание: направление обхода должно быть

одинаковым для всех контуров схемы.

Выберем направлением обхода направление по ходу часовой стрелки так, как это показано на рисунке 1.1 б).

6 Для каждого из выбранных контуров составить уравнение по второму закону Кирхгофа. При этом если направления токов и ЭДС не совпадает с направлением обхода, то их значения необходимо считать отрицательными, в противном случае – положительными.

Для схемы на рисунке 1.1 б) имеем: для контура I: I1R1 − I2 R2 − I4 R4 = −E1 + E2 , для контура II: I4 R4 − I6 R6 + I5 R5 =0 , для контура III: I6 R6 − I8 R8 − I7 R7 =0 .

7 Объединить уравнения, составленные по первому и второму законам Кирхгофа в одну систему, составить матричное уравнение из коэффициентов при неизвестных токах и столбец свободных членов из известных величин.

Для схемы на рисунке 1.1 б) система уравнений выглядит так:

−I1 − I

2 − I

3 =0,

− I5

=0,

I1 + I4

I

2

− I4 − I6 − I7 =0,

+ I6

+ I8

=0,

I5

I

1

R − I

R

− I

R

= −E

+ E

,

1

2

2

4

4

1

2

I

R − I R

+ I

R

=0,

4

4

6

6

5

5

I6 R6 − I8 R8 − I7 R7 =0.

Тогда, записывая в первый столбец коэффициенты перед неизвестным I1 , во второй – перед I2 , в третий – перед I4 и т. д., имеем:

	I1	I2	I4	I5	I6	I7	I8
−1 −1			0	0	0	0	0		J
	1	0	1	−1 0		0	0		0
	0	1	−1 0		−1	−1	0		0
											.
	0	0	0	1	1	0	1		0
R		−R	−R	0	0	0	0	−E	+ E	2
	1	2	4					1
	0	0	R4	R5	−R6	0	0		0
	0	0	0	0	R	−R	−R		0
					6	7	8

Откуда, подставляя известные значения сопротивлений, ЭДС и тока источника тока, имеем

	−1 −1 0			0		0 0 0				1
	1	0	1		−1 0		0	0		0
	0	1	−1 0 −1 −1 0							0
	0	0	0		1	1	0	1		0
	1	−2	−4		0	0	0	0		10
	0	0	4		5	−6 0		0		0
	0	0	0		0	6	−7 −8			0

8 Любым из известных способов решить матричное уравнение. Решим систему методом Гаусса.

−110

0100

−100

~ 0

000

−100

~ 0

000

−100

~ 0

00

0

	−1	0	0
	0	1	−1
	1	−1	0
	0	0	1
	−2	−4	0
	0	4	5
	0	0	0
	−1	0	0
	−1	1	−1
	1	−1	0
	0	0	1
	−3	−4	0
	0	4	5
	0	0	0
	−1	0	0
	−3	−4	0
	0	4	5
	0	0	1
	0	0		−1
	0	−7	3
	0	0	0
	−1	0	0
	−3	−4	0
	0	4	5
	0	0	1
	0	0	0
	0	0	0
	0	0		47
			4

0	0	0		1							S1
0	0	0		0					S		+ S
										1					2
−1 −1 0				0							S3
1 0 1				0							S4						~
									~
0	0	0		10					S		+		S
−6	0	0		0						1					5
											S6
6 −7 −8				0							S7
0	0	0				1						S
0	0	0				1								1
												S5
−1 −1 0						0						S6
1	0	1				0						S4							~
									~
0	0	0					11			S		2	+ S			3
−6 0 0						0
										−3S2 + S5
6	−7 −8					0						S7
0	0	0					1					S
														1
0	0	0					11					S2
−6	0	0					0					S3
1	0	1					0		~			S		4				~
												S
−1	−1	0					1							7
0	0	0					8			S4 + S5
										7
6	−7 −8						0				S3			+ S6
										4

	0		0	0		1					S1
	0		0	0							S2
						11
−6			0	0		0					S3
	1		0	1		0					S4					~
								~
	6		−7 −8			0					S5
	0		−1	1		1					S6
	42									47	S		+ S
−			0	0		8			−			4		7
	4									4

−100

~ 0

00

0

−100

~ 0

00

0

−100

~ 0

00

0

−1 −3 0 0 0 0

0

−1 −3 0 0 0 0

0

−1 −3 0 0 0 0

0

0	0	0
−4	0	0
4	5	−6
0	1	1
0	0	6
0	0	0
0	0	−89
		4
0	0	0
−4	0	0
4	5	−6
0	1	1
0	0	6
0	0	0
0	0	0
0	0	0
−4	0	0
4	5	−6
0	1	1
0	0	6
0	0	0
0	0	0

0	0
0	0
0	0
0	1
−7	−8
−1	1
0	−47
	4
0	0
0	0
0	0
0	1
−7	−8
−1	1
−623	−	994
24
	24
0	0
0	0
0	0
0	1
−7	−8
−1	1

0 −161724

1				S
						1
11				S2
0				S3
0				S4
		~						~
0				S		5
1
				S6
			89	S		+ S
8
		24			5		7

		1									S1
											S2
		11
		0									S3
		0			~						S4							~
		0									S5
		1									S6
										623			S		+ S
			8						−					6		7
										24
		1
		11
		0
		0
		0
		1
−		431
		24

−1 I1 −1 I2								=		1
−3 I2	−4 I4							=		11
	+4 I4	+5 I5	−6 I6					=		0
		+1 I5	+1 I6		+1 I8			=		0
			+6 I6	−7 I7	−8 I8			=		0
				−1 I7	+1 I8			=		1
				−	1617	I		=	−		431
					24		8			24

откуда

I8

= −

431

−

1617

24

:

24

≈0, 267

I7

=

1 −1 I8

=

1 −0, 267

≈ −0,733

−1

−1

I6

=

0 +8 I8 +7 I7

=

0 +8 0, 267 +7 (−0,733)

≈ −0,5

6

6

I5

=

0 −1 I6

−1 I8

=

0 −(−0,5)−0, 267

≈0, 233

1

1

I4

=

0 +6 I6 −5 I5

=

0 +6 (−0,5)−5 0, 233

≈ −1,04

4

4

I2

=

11 +4 I4

=

11 +4 (−1,04)

≈ −2, 28

−3

−3

I1

=

1 +1 I2

=

1 +1 (−2, 28)

≈1, 28

−1

−1

Заметим, что все промежуточные вычисления необходимо проводить в обыкновенных дробях. В противном случае погрешность округления будет накапливаться, что неизбежно приведет к некорректным результатам.

Тот факт, что некоторые из токов получились отрицательными, свидетельствует о том, что направления токов, произвольно выбранные в пункте 3, не совпадают с действительными. То есть токи I2 , I4 , I6 , I7 на самом деле текут в направлении обратном выбранному в пункте 3 правил расчета цепи с помощью законов Кирхгофа.

2 Энергетический баланс

При протекании токов по сопротивлениям в последних выделяется теплота. На основании закона сохранения энергии количество теплоты, выделяющееся в единицу времени в сопротивлениях схемы, должно равняться энергии доставляемой за то же время источниками питания.

Если направление тока I , протекающего через источник ЭДС E , совпадает с направлением ЭДС, то источник ЭДС доставляет в цепь энергию в единицу времени (мощность), равную E I , и произведение E I входит в уравнение энергетического баланса с положительным знаком.

Если же направление тока I встречно направлению ЭДС E , то источник ЭДС не поставляет энергию, а потребляет ее (например, заряжается

аккумулятор), и произведение E I	войдет в уравнение энергетического
баланса с отрицательным знаком.
Уравнение энергического баланса при питании только от источников
ЭДС имеет вид
n	m
∑Ik 2 Rk =∑El Il ,
k =1	l

где n – количество потребителей (приемников) электрической энергии в цепи, m – количество источников ЭДС.

Когда схема питается не только от источников ЭДС, но и от источников тока, то есть к отдельным узлам схемы подтекают и от них утекают токи источников тока, при составлении уравнения энергетического баланса необходимо учесть и энергию, доставляемую источниками тока.

Допустим, что к узлу a схему подтекает ток J от источника тока, а от узла b этот ток утекает. Доставляемая источником тока мощность равна Uab J .

Напряжение Uab и токи в ветвях схемы должны быть подсчитаны с учетом тока, подтекающего от источника тока. Последнее проще всего сделать по методу узловых потенциалов. Общий вид уравнения энергетического баланса: