ДГМ_лк1

Дополнительные главы математики

Лекций – 16 ч (8 занятий). Практик – 16 ч (8 занятий).

Тема 1.

Лекция 1. Математическая теория надёжности

Основные понятия теории надёжности. Количественные характеристики надёжности. Законы распределения отказов. Экспоненциальное распределение. Нормальное распределение. Распределение Релея. Гаммараспределение. Распределение Вейбулла. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Кривая интенсивности отказов для трёх периодов работы устройства. Экспоненциальная кривая плотности вероятности отказов. Методика расчёта надёжности систем из последовательно и параллельно соединённых элементом.

Практическое занятие 1.

1.Разбор решения задачи на расчёт вероятности безотказной работы и средней наработки на отказ электроустановки.

2.Разбор решения задачи на расчёт вероятности безотказной работы, интенсивности отказов и среднюю наработку до первого отказа технического устройства, отказы которого во времени подчиняются распределению Рэлея, для трёх промежутков времени.

3.Разбор решения задачи на расчёт вероятности безотказной работы системы и интенсивность её отказов для двух промежутков времени с применением гамма-распределения.

Основная учебная литература:

1.Н.П. Ермолин. Надёжность электрических машин. Л., «Энергия», 1976. – 248с.

2.Теория надёжности радиоэлектронных систем в примерах и задачах. Учеб. Пособие для студентов радиотехнических специальностей вузов. Под ред. Г.В. Дружинина. М., «Энергия», 1976. – 448 с.

3.ГОСТ 27.002-89 Надежность в технике. Основные понятия. Термины и определения // Надежность в технике : Сборник. – Изд. официальное. – М. : Изд-во стандартов, 2002. – 271 с. : ил. – (Государственные стандарты) . – Сб. содержит стандарты, утвержденные до 1 июня 2002 г.

Контрольные вопросы

1.Дайте определение согласно ГОСТ следующим понятиям: надёжность, работоспособность, отказ, неисправность, наработка, безотказность, долговечность.

2.Какими критериями следует пользоваться для количественной оценки надежности электрических машин и других технических объектов? Дайте определения этим критериям.

3.Приведите график экспоненциальной зависимости функции f(t) плотности вероятности отказов и поясните как от неё зависит вероятность безотказной работы P(t) и вероятность отказа Q(t) устройства.

4.Привести и пояснить систему уравнений для экспоненциального распределения отказов. Построить необходимые графики.

5.Привести и пояснить систему уравнений для нормального распределения отказов. Построить необходимые графики.

6.Привести и пояснить систему уравнений для распределения Релея отказов технического устройства. Построить необходимые графики.

7.Привести и пояснить систему уравнений для гамма-распределения отказов. Построить необходимые графики.

8.Привести и пояснить систему уравнений для распределения Вейбулла отказов технического устройства. Построить необходимые графики.

9.Привести и пояснить систему уравнений для биноминального

распределения отказов. Построить необходимые графики. 10.Привести и пояснить систему уравнений для распределения Пуассона

отказов технического устройства. Построить необходимые графики. 11.Привести и пояснить кривую интенсивности отказов для трёх периодов

работы технического устройства.

12.Как посчитать надёжность системы из двух элементов, соединённых последовательно и параллельно?

Надежность – свойство технического устройства или изделия выполнять заданные функции, сохраняя свои эксплуатационные показатели в установленных пределах в течение требуемого промежутка времени.

Работоспособность – состояние изделия, при котором оно способно выполнять заданные функции с параметрами, установленными требованиями технической документации.

Отказ – событие, заключающееся в нарушении работоспособности изделия.

Неисправность – состояние изделия, при котором оно не соответствует хотя бы одному из требований технической документации.

Наработка – продолжительность работы изделия, измеряемая в часах, километрах, циклах или других единицах.

Безотказность – свойство изделия сохранять работоспособность в течение некоторой наработки без вынужденных перерывов.

Долговечность – свойство изделия сохранять работоспособность до предельного состояния с необходимыми перерывами для технического обслуживания и ремонтов.

Показателями долговечности изделия могут служить, например, «ресурс», «срок службы».

Ремонтопригодность – свойство изделия, заключающееся в его способности к предупреждению, обнаружению и устранению отказов и неисправностей путем проведения технического обслуживания и ремонтов.

Ресурс — наработка изделия до предельного состояния, оговоренного в технической документации.

Срок службы – календарная продолжительность эксплуатации изделия до момента возникновения предельного состояния, оговоренного в технической документации.

Наработка на отказ – среднее значение наработки ремонтируемого изделия между отказами. Может применяться также термин «среднее время безотказной работы».

Средняя наработка до первого отказа – среднее значение наработки изделий из партии до первого отказа. Для перемонтируемых изделий этот термин равнозначен термину «средняя наработка до отказа».

Вероятность безотказной работы – вероятность того, что в заданном интервале времени не возникает отказа изделия.

Интенсивность отказов – вероятность отказа неремонтируемого изделия в единицу времени после данного момента времени при условии, что отказ до этого момента не возник.

Неремонтируемыми или иевосстанавливаемыми изделиями называются такие, которые в процессе выполнения своих функций не допускают ремонта. К ним относятся все изделия однократного действия, как, например, ракеты, управляемые снаряды и др., а также некоторые изделия многократного действия, используемые обычно в специальных областях техники.

Ремонтируемыми или восстанавливаемыми изделиями называются такие,

которые в процессе выполнения своих функций допускают ремонт. Если происходит отказ такого изделия, то функционирование его прекращается только на период устранения отказа или ремонта изделия.

Приведенные выше краткие определения ряда понятий и терминов, используемых в теории надежности, ниже даются в определенной математической трактовке при количественной оценке вопросов надежности какого-либо изделия или технического устройства — электрической машины, механизма, прибора и т. д.

Следует иметь в виду, что истинная надежность любого технического устройства точно не известна, так как неизвестно численное значение его вероятности безотказной работы, удовлетворяющее данным условиям его применения.

Для количественной характеристики качества работы устройства требуется опытное измерение всех его важнейших параметров. Пока эти параметры остаются в допустимых пределах техническое устройство работает удовлетворительно.

Если же они выходят за пределы допусков, устройство считается неисправным или отказавшим. Следовательно, по теорий вероятностей удовлетворительное качество работы какого либо технического устройства связано непосредственно с понятием отказа. При этом отказы в работе данного устройства могут представлять собой не только механические или электрические повреждения, по также и уход его параметров за допустимые Пределы. В связи с этим отказы в работе могут быть внезапными п постепенными. Последние вызываются постепенным изменением параметров отдельных элементов технического устройства по причине старения материалов или износа, что приводит к ухудшению выходных параметров устройства с последующим уходом их за допустимые пределы.

Внезапные отказы технического устройства приводят к полному нарушению его работоспособности, К этим отказам относятся: обрывы и короткие замыкания обмоток электрических машин и трансформаторов, изломы, деформацииизаедания механических деталей машин и др.

Возникновения внезапных отказов в устройстве из-за внутренних его повреждений или других причин являются событиями случайными. При этом эти отказы как случайные события могут быть независимыми — когда отказ какого-либо элемента в устройстве не сопровождается отказом других элементов, и зависимыми когда они появляются в результате отказа других элементов.

Однако подразделение отказов на внезапные и постепенные имеет условный характер, так как любой отказ является одним из проявлений неисправности технического устройства.

Интенсивность отказов устройства в единицу времени используется ниже как количественная характеристика для математического определения надежности. Эта величина измеряется в среднем обычно числом отказов за

один час. Обратная величина интенсивности отказов называется средней наработкой до первого отказа и измеряется в часах. Чем больше последняя величина, тем выше надежность данного технического устройства. Наработка на отказ есть отношение общего времени испытания устройства к общему числу отказов.

1-2. КОЛИЧЕСТВЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ НАДЕЖНОСТИ

Для количественной оценки надежности любого технического устройства, в том числе и электрической машины, используются теория вероятностей и математическая статистика. Однако эта оценка должна базироваться на объективных статистических данных о выходе из строя технических устройств в различных условиях эксплуатации, по которым можно было бы построить соответствующие кривые распределения отказов во времени по отдельным типам устройств. Так как возникающие в период нормальной работы технического устройства внезапные отказы носят случайный характер, то и количественные характеристики надежности этого устройства имеют вероятностный характер.

Под надежностью электрической машины или другого какого-либо технического устройства понимается способность безотказно работать с неизменными параметрами в течение заданного времени и при определенных условиях применения. Надежность электрической машины как сложного устройства зависит от надежности работы ее составных частей

— магнитной системы, обмоток статора и ротора, подшипников, коллектора или контактных колец и щеточного устройства. Выход из строя любой из этих частей приводит к отказу в работе.

В связи с этим, применительно к электрическим машинам и другим аналогичным устройствам, для количественной оценки их надежности целесообразно пользоваться следующими основными критериями:

а) вероятностью безотказной работы машины или устройства P(t) в течение заданного промежутка времени

б) частотой отказов a(t) ;

в) интенсивностьюотказовλ( t) ;

г) средней наработкой до первого отказа Tср; д) наработкой на отказ tср;

Под критерием надежности понимается признак, по которому оценивается надежность какого-либо технического устройства, изделия и т. д. Между перечисленными выше критериями надежности существуют определенные аналитические зависимости, которые приводятся ниже [12, 16, 68, 104].

Вероятностью безотказной работы технического устройства P(t) называется вероятность того, что оно будет сохранять свои параметры в заданных пределах в течение определенного промежутка времени и данных условиях эксплуатации. Вероятность P(t) является убывающей функцией времени и обладает следующими свойствами (рис. 1 - 1):

Вероятностью отказа устройства Q(t) называется вероятность того, что в заданном интервале времени и определенных условиях эксплуатации произойдет хотя бы один отказ

при этом Q(0)=0 и Q(∞)=1.

Частотой отказов a(t) называется число отказов в единицу времени, отнесенное к первоначальному числу образцов изделия, установленных па испытание:

где ∆n(t) – число отказавших образцов изделия в интервале времени ∆t; n – число образцов изделия, первоначально установленных на испытание.

Частота отказов a(t) выражает собой плотность вероятности отказов f ( t ) , представляющей производную по времени от вероятности

отказов dQdtt или, согласно уравнению (1-2), производную от надежности, взятую с обратным знаком:

отсюда вероятность отказа технического устройства будет

а вероятность безотказной работы его составит

Частота отказов a(t) или плотность вероятности их f(t) характеризуют надежность технического устройства лишь до первого его

– являются функциями времени. Только в одном случае – при

отказа, или же устройства, которое после отказа не ремонтируется и не эксплуатируется.

Интенсивностью отказов в работе электрической машины или какоголибо другого неремонтируемого устройства λ(t) называется отношение числа отказавших образцов в единицу времени к среднему числу их, исправно работающих в данный отрезок времени:

где – среднее число исправно работающих образцов устройства в интервале ∆t; ni – число исправно работающих образцов в начале интервала ∆t; ni+1 – то же в конце интервала ∆t

Интенсивностью отказов λ(t) называется также отношение плотности вероятности отказов f(t) к надежности P(t), что с учетом уравнения (1-4) дает

откуда после интегрирования получается

или надежность любого технического устройства, в том числе и электрической машины, будет

На основании уравнений (1-4), (1-8) и (1-9) частота отказов a(t) или плотность вероятности этих отказов f(t) могут быть представлены в виде:

Как показывает уравнение (1-8), в общем случае интенсивность отказов λ(t) за период работы технического устройства является переменной величиной и, следовательно, надежность его, согласно уравнению (1-9), в этом случае будет убывать с течением времени не по экспоненциальной кривой. Уравнение (1-8) является наиболее общим выражением для интенсивности отказов λ( t ) . Оно справедливо дли всех возможных распределений отказов как экспоненциальных, так и неэкспоненциальных. В нем интенсивность отказов λ(t) является функцией времени t работы технического устройства, так как надежность последнего P(t) и степень ее

убывания dPdtt

экспоненциальном характере убывания надежности во времени – величина λ(t) в уравнении (1-8) оказывается постоянной величиной. Как показывает опыт, во многих случаях интенсивность отказов λ(t) технических устройств,

в том числе и электрических машин, в среднем может быть принята постоянной: λ≈const; тогда надежность такого устройства при этих условиях математически из уравнения (1-9) будет представляться убывающей экспоненциальной функцией времени:

где λ – средняя постоянная величина интенсивности внезапных отказов технического устройства в долях единицы на один час работы; t – произвольное время работы устройства в часах, для которого определяется его надежность.

Степень убывания надежности во времени согласно уравнению (1-4) представляет собой плотность вероятности отказов f ( t ) . В частном случае, когда интенсивность отказов λ – величина постоянная, плотность вероятности отказов f ( t ) по уравнению (1-4), с учетом уравнения (1 - 11), будет

На рис. 1-2 представлена экспоненциальная кривая плотности вероятности отказов f ( t ) по уравнению (1-12) в зависимости от времени работы устройства [16]. Так как в этом случае, с учетом уравнения (1-12), интеграл

то вероятность безотказной работы этого устройства согласно уравнению (1-6) можно представить в виде:

На рис. 1-2 заштрихованная часть площади под кривой f ( t ) в интервале от t до бесконечности выражает собой, согласно уравнению (1-13), значение вероятности безотказной работы устройства P ( t ) .

Незаштрихованная же часть площади на этом рисунке в пределах от нуля до t представляет, по уравнению (1-5), вероятность отказа устройства Q(t).

Следует отметить, что уравнение надежности ( 1 - 1 1 ) справедливо для всех технических устройств, которые прошли надлежащую приработку и уже не обнаруживают «приработочных» отказов, по также и не испытывают еще какого-либо влияния износа. Этот период работы, для которого справедливо уравнение (1-11), принято называть периодом нормальной эксплуатации устройства. В течение его в устройстве возникают внезапные отказы случайного характера. Поэтому интенсивность отказов λ, как и их частота a(t), позволяют характеризовать надежность технического устройства лишь до первого внезапного отказа.

Среднее время безотказной работы технического устройства, или средняя наработка до первого отказа, называемая в теории вероятностейматематическим ожиданием времени безотказной работы, может быть представлена так [12, 68, 104]:

Следовательно, среднее время безотказной работы устройства или математическое ожидание времени численно характеризуется площадью под кривой надежности P(t) (рис. 1-1).

Для случая интенсивности внезапных отказов λ≈const средняя наработка до первого отказа устройства по уравнению (1-14), с учетом уравнения (1 - 11), получается

Эта величина в общем случае может характеризовать также среднее значение времени tcp между соседними отказами в работе технического устройства. Такое время называют наработкой на отказ. Эта величина определяется из статистических данных об отказах устройства следующим образом:

где r — число отказов устройства за время t; ti— время исправной работы его между (i — 1 )-м и i-м отказами.

Как показывает уравнение (1-16), наработка на отказ tcp является средним временем между соседними отказами устройства и при λ=const эта величина равна средней наработке до первого отказа Tср.

Следует отметить, что средняя наработка до первого отказа устройства Tср представляет собой некоторое среднее условное время исправной работы его от начала периода нормальной эксплуатации до первого отказа в работе при условии отсутствия износа.

Это время не имеет ничего общего с фактическим сроком службы данного устройства. В этом случае надежность его как вероятность безотказной работы в течение заданного времени t может быть представлена на основании уравнений ( 1 - 1 1 ) и (1-15) следующим образом:

На рис. 1-3, а представлена кривая надежности P(t) но уравнению (1-17), при этом рис. 1-3,б выражает верхнюю часть этой кривой для времени t≤.Tср/10 [16]. Так, например, для времени работы устройства t=Tср/10 эта кривая дает надежность его Р(t)=0,90, для времени Tср/100 надежность равна 0,99, для Tср/1000 она составляет 0,999. Надежность устройства P(t)=0,999 означает, что из 1000 одинаковых образцов, проработавших t=Tср/1000 ч, приблизительно 999 образцов будут исправными и один откажет. Для времени работы t=Tср/10000 надежность равна 0,9999 и т. д.

Эти точки на кривой надежности рис. 1-3,6 применимы к любым техническим устройствам с экспоненциальным распределением отказов,

согласно уравнению (1-2):	Q t				i		. В связи с этим данную кривую
			e
		1
					TСР

можно практически назвать стандартной кривой надежности технического устройства.

Таким образом, вероятность безотказной работы P(t), частота отказов a ( t ) , интенсивность отказов λ( t ) , средняя наработка до первого отказа Tср и наработка на отказ tср являются основными количественными характеристиками надежности любого технического устройства, в том числе электрической машины.