Lek_1_ELEKTROSTATIKA
.pdf• Таким образом, если формула (36) выражает теорему
Гаусса в дифференциальной форме, то формулы (33), (37) и (38) выражают эту же самую теорему в интегральной форме.
11. Применение теоремы Гаусса
а) Напряжённость поля равномерно заряженной сферической поверхности
• Сообщим полой металлической сфере заряд q. Заряд
распределится равномерно по поверхности сферы с поверхностной плотностью σ = q/S, где S – поверхность сферы.
• Заряженная сфера создает сферически симметричное
поле, линии напряженности которого перпендикуляр-
ны поверхности сферы.
S |
P2 |
|
2 |
R
O |
n E |
|
|
P |
|
|
1 |
|
S1 |
|
|
q |
||
|
||
E(r) |
|
0 |
R |
|
Рис. 15
Определим напряженность
электрического поля |
вне и |
|
внутри сферы (рис. 15). |
||
r Укажем |
вне |
сферы |
некоторую точку Р1 и проведем через неё произвольную, но замкнутую поверхность (поверхность S1)
|
Найдем |
поток |
векто- |
||||
|
ра |
E |
через эту поверхность: |
||||
|
|
|
|
||||
r |
|
(E, dS ) EdS cos(n ^ E) |
|
||||
|
S1 |
S1 |
|
|
|||
|
|
|
|
||||
|
|
E dS 4 r2 E. |
|
|
|||
|
|
|
S1 |
|
|
|
• Согласно теореме Гаусса,
|
|
4 r |
2 |
E |
q |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
|
q |
|
|
|
kq |
|
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
r |
2 |
r |
2 |
|
||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
• Напряженность поля |
|
|
|
равномерно |
(39)
заряженной
сферической поверхности (при r > R) определяется такой же формулой как и напряженность поля точечного заряда, помещенного в её центре.
• Возьмем точку Р2 внутри сферы и проведем через неё
замкнутую поверхность S2. Внутри этой поверхности зарядов нет. Следовательно, поток вектора Eчерез эту
поверхность равен нулю, т.е.
4 r2 E 0, |
|
|
(40) |
откуда |
E 0. |
• Устремим расстояние от центра сферы до точки
наблюдения к радиусу сферы R. Тогда, в соответствии с формулой (39), напряженность поля на поверхности сферы можно представить формулой (40):
E |
q |
|
|
kq |
. |
(40) |
4 |
R2 |
|
||||
|
|
R2 |
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
• График напряженности поля заряженной сфериче-
ской поверхности в зависимости от расстояния от центра сферы до точки наблюдения показан на рис. 15.
b) Напряжённость поля сплошного шара с равномерным распределением заряда по его объёму
• Для отыскания напряженности поля сплошного шара с
равномерным распределением заряда по его объёму
применяем ту же методику, что и в случае полой сферы.
r1
S |
2 |
|
R
O
r
S1
E(r)
0 |
R |
|
Рис. 16
Откуда
P2
n |
E |
|
|
P |
|
1 |
|
q
• Вначале находим напря-
жённость поля за шаром, например, в точке Р1.
r • Для этого через точку Р1
проводим замкнутую поверхность S1 и находим
|
ченрез неё поток вектора |
Е |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(E, dS ) 4 r |
2 |
E |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
• Согласно теореме Гаусса, |
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
r |
2 |
E |
q |
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
E |
q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(41) |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4 |
r2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
•Следовательно, как и для сферической поверхности с равномерно распределённым по ней зарядом, так и для сплошного шара с равномерно распределенным зарядом по его объему, напряженность поля за пределами шара или сферы (r >> R) определяется одинаковой формулой, совпадающей с формулой напряженности поля точечного заряда при условии, что r отсчитывается от центра шара или сферы.
•Как следует из (41), устремляя r → R, получаем формулу напряженности поля на поверхности сплошного заряженного шара:
E |
q |
|
(42) |
|
|
|
|||
4 |
R2 |
|||
|
||||
|
0 |
|
|
•Найдем теперь напряженность поля внутри заряженного шара, т.е. для точек поля, соответствующих условию r < R, например, для точки Р2 (рис. 16).
•Вначале запишем выражение для объемной плотности заряда:
|
q |
3q |
(43) |
||
|
|
|
|
||
V |
4 R3 |
||||
|
• Определим заряд q1 , заключенный в объеме сферы S2,
радиус которой r1:
q |
4 |
r3 |
|
3q |
|
4 |
r3 |
|
q |
r3 |
|
|
|
|
|
||||||||
1 |
3 |
1 |
|
4 R3 |
|
3 |
1 |
|
R3 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
q1 |
q |
r13 |
(44) |
|
R3 |
||||
|
|
|
• Поток вектора E через замкнутую поверхность S2, радиус которой r2: (E, dS ) 4 r12 E
S2
• Согласно теореме Гаусса:
|
|
|
|
|
|
2 |
E |
||
|
|
|
|
4 r |
|
||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Откуда |
E |
1 |
|
|
q |
r |
|
||
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|||
|
|
4 |
|
|
R |
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 q r13
0 R3
или
E |
kq |
r |
|
|
3 |
||
|
R |
1 |
|
|
|
|
(45)
или
E const r1
•Внутри заряженного шара напряженность поля увеличивается с увеличением расстояния от центра шара до данной точки поля.
•График зависимости E E(r) показан на рис. 16.
с) Напряжённость поля бесконечно протяженной равномерно заряженной плоскости
S
S
q
E1
P
E
E2
S
• Сообщим плоскости, площадь которой S заряд q (рис. 17).
• Поверхностная плотность заряда
|
q |
|
S |
||
|
• Выясним вначале характер поля
равномерно заряженной плоскости.
Рис. 17 |
• Для этого укажем в поле плоско- |
||
сти некоторую точку Р (рис. 17) |
и выделим на ней |
||
элементарные |
участки |
∆S, |
симметричные |
относительно точки Р, заряды которых ∆q = σ∆S.
• Эти заряды создают в точке Р поля E1 и E2 .
• Суммарный вектор |
E |
поля зарядов ∆q перпендику- |
лярен плоскости, как и перпендикулярна линия напряженности вдоль которой направлен вектор E .
S |
|
|
|
E |
E |
|
q
Рис. 18
• Повторяя эти рассуждения для
других попарно симметричных участков ∆S плоскости S мы обнаружим, что поле этой плоскости
будет |
представлено |
линиями |
||
вектора |
|
E |
, перпендикулярными |
|
этой |
плоскости с |
одинаковой |
густотой.
• Поле |
бесконечно |
протяженной |
равномерно |
заряженной плоскости однородно (рис. 18). |
|||
• Получим |
формулу |
напряженности |
электрического |
поля такой плоскости. |
|