2.3. Основные характеристики нейтронных полей

Нейтронное поле - это совокупность свободных нейтронов, движущихся и определённым образом распределённых в объёме материальной среды.

В частности, в интересующем нас случае, - в объёме реактора.

О каком определённом образе распределения нейтронов идет речь? Для того, чтобы охарактеризовать то или иное нейтронное поле и понять, чем одно нейтронное поле отличается от другого, необходимо отве­тить на несколько простых вопросов:

- сколько нейтронов в рассматриваемый момент времени находятся в единичном объёме среды?

- каковы эти нейтроны, чем они отличаются друг от друга и каково подавляющее (определяющее) их большинство среди общего числа нейтронов различных качеств?

- каков характер движения этих нейтронов - хаотический, направ­ленный или сложный?

Для получения ответа на эти вопросы необходимо ввести количест­венные характеристики нейтронных полей. Основными, определяющими раз­личия нейтронных полей, характеристиками являются:

- плотность нейтронов n;

- скорость нейтронов v (или их кинетическая энергия Е=mv²/2);

- плотность потока нейтронов Ф;

- плотность тока нейтронов .

2.3.1. Плотность нейтронов (n). Попросту говоря, это число нейтронов, находящихся в данный момент времени в единичном объёме среды.

Из этого определения следует, что размерность плотности нейтронов - нейтр./см³, или формально - см^-3.

Плотность нейтронов является сугубо статической характеристикой: в определении нет и намёка на то, что нейтроны движутся. В нём внима­ние сосредоточено только на факте присутствия в данный момент времени в единичном объёме среды определенного числа нейтронов, фиксации их в этом единичном объёме подобно тому, как моментальная фотография фикси­рует положение множества движущихся объектов, попадающих в поле зрения объектива, не давая при этом представления ни о характере, ни о нап­равлении, ни о скорости их движения.

Благостная простота этого определения, давая легко воспринимаемое представление о плотности нейтронов, имеет один изъян: представляя факт присутствия n нейтронов в единичном объёме среды, оно не даёт представ­ления о том, равномерно или неравномерно размещены эти нейтроны в этом объёме. По существу, это простое выражение является определением средней величины плотности нейтронов. Для математического описания больших количеств нейтронов в больших объёмах среды с помощью непрерывных функций необходимо иметь строгое определение, охватывающее понятие и локальной плотности нейтронов.

Вот почему Ядерный Стандарт рекомендует более общее определение:

Плотность нейтронов - это отношение числа нейтронов, находящихся в данный момент времени в объёме элементарной сферы, к величине объёма этой сферы.

Элементарный объём - это объём, величина которого может быть сколь угодно малой, поэтому (в соответствии с понятием математики) оправдан­ным является его обозначение как dV. Значит, если в объёме dV в данный момент времени содержится dN нейтронов, то локальная плотность нейтро­нов в этом элементарном объёме (практически - "в точке", т.к. в преде­ле элементарный объём стягивается в точку) будет:

n = dN/dV . (2.3.1)

Стандартное определение плотности нейтронов, преодолевая отмеченный изъян простейшего определения, тем самым делает в нашем представлении величину n (изначально дискретную) величиной непрерывной, меняющей­ся в объёме среды плавно, "от точки к точке", допуская при этом, что n может принимать не только целые значения, но и дробно-долевые, например, n = 0.0784 нейтр/см³ или n = 3.496 нейтр/см³.

А это удобно тем, что для математического описания нейтронных по­лей становится возможным использовать компактный аналитический аппарат непрерывных функций, который во всех отношениях удобнее громоздких дискретных описаний.

2.3.2. Скорость нейтронов (v) или их кинетическая энер­гия (Е). В ядерном реакторе функционируют свободные нейтроны широкого диапазона кинетических энергий - от 10^-3 эВ до десятков МэВ. Для удобс­тва их различий они классифицируются на:

- быстрые нейтроны (с кинетическими энергиями выше 0.1 МэВ);

- промежуточные нейтроны (с энергиями 0.625эВ  E  0.1МэВ);

- медленные нейтроны (с энергиями ниже 0.625 эВ).

Необходимость такой классификации обусловлена тем, что нейтроны различных кинетических энергий обладают различной склонностью к вступ­лению в различные нейтронные реакции с ядрами одних веществ.

*) По этой причине, говоря о плотности нейтронов, следует всегда указывать, о нейтронах какой энергии идёт речь. Математическая форма записи - n(E) - полностью отвечает этому: указывается и величина плотности нейтронов, и величина их кинетической энер­гии. Ибо, поскольку в рассматриваемом единичном объёме, кроме нейтронов с энергией Е, обязательно есть ещё нейтроны самых различных энергий очень широкого диапазона, суммарная (интег­ральная) плотность нейтронов всех возможных энергий будет:

(2.3.2)

Особую часть медленных нейтронов составляют тепловые нейтроны - то есть нейтроны, находящиеся в кинетическом равновесии с ядрами среды, в которой они движутся. Поскольку энергетическое распределение молекул (а следовательно, и атомов, и ядер атомов) в их тепловом движении имеет вид спектра Л.Больцмана:

N(E) = N_о ^.C ^.E exp(-E / kT),

• аналогичное распределение должны иметь в непоглощающей среде и тепловые нейтроны: раз они находятся в кинетическом равновесии с ядра­ми атомов среды, то каждой группе ядер, имеющих определенную энергию Е, должна соответствовать пропорциональная по численности группа нейтро­нов той же энергии. Поэтому энергетический спектр тепловых нейтронов – спектр Максвелла (Maxwell) - в идеальной (не поглощающей тепловые нейтроны) среде формально описы­вается тем же выражением:

n(E) = n_o C E exp(-E / kT) , (2.3.3)

где: n(E) - плотность тепловых нейтронов, имеющих энергии в элементар­ном интервале dE вблизи значения Е;

n_o - интегральная плотность тепловых нейтронов всех возможных энергий в среде с термодинамической температурой Т;

k = 8.62 ^.10^-5 эВ/К - постоянная Больцмана;

С- постоянный сомножитель нормировки.

В реальных (поглощающих тепловые нейтроны) средах максвелловское распреде­ление тепловых нейтронов по энергиям, конечно, нарушается. Однако, ком­пактное математическое удобство этого выражения настолько велико, что условились считать, что и в поглощающей тепловые нейтроны среде энер­гетическое распределение тепловых нейтронов сохраняет ту же гауссову форму, что и в непоглощающей среде:

n(E) = n_o C E exp(-E / kT_н), (2.3.4)

с той лишь разницей, что в показателе экспоненциала стоит не термодинамическая температура среды Т, а так называемая темпера­тура нейтронов Т_н.

Максвелловский спектр тепловых нейтронов (рис.2.9) характеризует­ся следующими присущими ему энергиями тепловых нейтронов:

а) Наиболее вероятной энергией Е_нв = kT_н, соответствующей макси­муму распределения тепловых нейтронов по энергиям при темпе­ратуре нейтронов Т_н. Это означает, что тепловых нейтронов с кинетичес­кой энергией Е_нв в среде больше, чем тепловых нейтронов любых других энергий (до 36% от общего числа тепловых нейтронов).

б) Средней энергией тепловых нейтронов:

_

Е_ср = (1/n_o)  E n(E) dE (2.3.5)

⁰

Подстановка в (2.3.5) выражения (2.3.4) приводит к величине:

E_ср = 4kT_н /   1.273 kT_н = 1.273 Е_нв (2.3.6)

В частности при температуре нейтронов Т_н0 = 293К (или 20^оС), называемой стандартной температурой, наиболее вероятная и средняя энергии тепло­вых нейтронов соответственно равны:

E_нв = 0.0253 эВ Е_ср = 0.0322 эВ

Заметим одно счастливое свойство максвелловского спектра:

Отношение средней и наиболее вероятной энергий нейтронов в спектре Максвелла при постоянной температуре нейтронов есть величина постоянная, равная Е_ср/Е_нв = 4/  1.273.

Cледовательно, отношение скоростей нейтронов, соответствующих средней и наиболее вероятной энергиям тепловых нейтронов:

/ (2.3.7)

- то есть также является постоянной величиной. Запомним это. Понятие средней энергии тепловых нейтронов понадобилось нам для того, чтобы поведение и взаимодействия всей совокупности различных по энергиям тепловых нейтронов заменить эквивалентным их взаимодействием с ядрами среды так, словно все они одинаковы по энергиям, а значит - и по своим свойствам. Суммирование кинетической энергии всех тепловых нейтронов и раздел этой суммы поровну между всеми тепловыми нейтронами - см. формулу (2.3.5) - как раз и приводит к понятию "среднего теплово­го нейтрона", подобно понятию "среднего нейтрона деления", с которым мы уже имели дело, говоря о спектре Уатта.

Итак, спектр нейтронов, то есть их энергетическое распределение в среде, является второй характеристикой нейтронного поля.

К сожалению, теория реакторов до сих пор не располагает компакт­ным аналитическим выражением для спектра всех нейтронов в реакторе, и поэтому задачу по выяс-

0.35

0.30

0.25

0.20

0.15

0.10

0.05

0 1000 2000 3000 4000 5000 v, м/с

Рис. 2.9. Скоростной спектр тепловых нейтронов – спектр Максвелла и гипербола «const / v»,

по которой скользит максимум спектра с повышением температуры тепловых нейтронов

нению реакторного спектра приходится решать путём громоздких вычислений с помощью ЭВМ. Частные же задачи теории решаются на базе трёх энергетических спектров: спектр нейтронов деления (Уатта); спектр тепловых нейтронов (Максвелла) и спектр замедляющихся нейтронов (Ферми), с которым мы познакомимся позже.

2.3.3. Плотность потока нейтронов. Третья из основных характерис­тик нейтронных полей - плотность потока нейтронов (Ф) - является поп­росту произведением первых двух: плотности нейтронов на их скорость:

Ф = n ^. v (2.3.8)

По физическому смыслу эта величина - суммарный секундный путь всех нейтронов в 1 см³ среды. Однако размерность плотности потока - нейтр/см² с - может привести к путанице в попытках обна­ружить физический смысл этой величины в самой размерности: сразу воображается некая плоская площадка размером в 1 см², через которую ежесекундно проходит определенное число нейтронов. Такому представлению способствует прошлый опыт изучения сходным образом звучащих величин иной физической природы: плотности потока жидкости (из гидродинамики), плот­ности магнитного потока и плотности потока электронов в проводнике (из электродинамики), плотности теплового потока на теплоотдающей поверх­ности (из теплотехники) и другими. Аналогия плотности потока нейтронов с перечисленными величинами (увы!) несостоятельна, так как все эти ве­личины характеризуют направленный перенос энергии, а нейтроны в единич­ном объёме среды движутся не направленно, а хаотично по всем возможным направлениям.

На первый взгляд эта характеристика вообще кажется лишней, так как она - простая комбинация двух других характеристик нейтронных полей - пло­тности (n) и скорости (v) нейтронов. Однако, самое простое рассуждение о том, что секундное количество актов любой нейтронной реакции в 1 см³ среды должно быть прямо пропорционально величинам и плотности нейтронов (n), и скорости их переноса (v), а, следовательно, - величине плотности потока нейтронов (Ф), даёт этой характеристике право на существование. Действительно, чем больше плотность нейтронов n и чем больше скорость их перемещения v, тем больше шансов имеют все эти нейтроны в 1см³ сре­ды провзаимодействовать с ядрами среды в течение 1 с и вызвать те или иные нейтронные реакции.

В этих рассуждениях, как видим, не содержится ни малейшего намека на привязку к какому-либо конкретному направлению движения нейтронов в единичном объёме среды. Но зададим себе вопрос: а важно ли вообще нап­равление, по которому нейтрон перед взаимодействием приближается к яд­ру, если разговор в конечном счёте сводится к ответу на другой вопрос: произойдет ядерное взаимодействие или не произойдет? - Ведь нас, в конце концов, интересует секундное количество конкретных взаимодействий каждого вида в единичном объёме среды. И если нам не известно о какой-­либо анизотропии свойств ядер по отношению к взаимодействующим с ними с разных направлений нейтронам, то проще предположить, что ядру безразлично, ударит ли его нейтрон "в лоб" или "по затылку", - результат дол­жен быть одинаковым! А это значит, что для удовлетворения нашего инте­реса, касающегося только скоростей нейтронных реакций, нам достаточно скалярной характеристики нейтронного поля (каковой Ф и является).

Но отметим всё-таки, что, представляя ядро в виде сферы, даже пред­полагая изотропность действия ядерных сил в пределах этой сферы, гово­ря о вероятности взаимодействия нейтрона с ядром, невозможно обойтись в рассуждениях без величины поверхности этой сферы: ведь для нейтрон­ной реакции необходимо, чтобы приближающийся извне нейтрон пересек по­верхность этой сферы. И чем больше величина этой поверхности, тем боль­ше ограничивающий ее объём, тем больше нейтронов имеют возможность по­пасть в этот объём, инициируя ту или иную нейтронную реакцию.

Поэтому вероятность взаимодействия ядра с нейтронами, пересекающи­ми извне поверхность сферы действия ядерных сил ядра, должна быть про­порциональна плотности потока нейтронов вблизи ядра, подразумевая под последней отношение числа падающих за 1 с на поверхность сферы нейтро­нов к величине поверхности этой сферы. Та же размерность - нейтр/см²с; та же скалярность величины (ведь поверхность сферы в целом не направле­на никуда и в то же время направлена куда угодно).

А теперь сравним это определение со строгим определением плотнос­ти потока нейтронов, которое дает Стандарт:

Плотность потока нейтронов - это отношение числа нейтронов, ежесекундно падающих на поверхность элементарной сферы, к величине диаметрального сечения этой сферы.

Та же размерность - нейтр./см²с. Та же скалярность: диаметраль­ных сечений в любой сфере можно указать бесчисленное множество, и каж­дое из них имеет своё направление нормали. И если допустить, что эле­ментарная сфера имеет размер сферы действия ядерных сил ядра, то ее поверхность S_сф = 4R², а величина любого диаметрального сечения этой сферы S_D = R² - величина в 4 раза меньшая, чем поверхность сферы. То есть в определении, появившемся из приведенных выше рассуждений, фигу­рировала бы вчетверо меньшая величина, чем в стандартном определении.

Что касается элементарности сферы, отмеченной в стандартном опре­делении, необходимость её обусловлена той же причиной, что и в опреде­лении плотности нейтронов: желанием сделать плотность потока нейтронов Ф непрерывной величиной с целью использования при исследовании нейт­ронных полей компактного аналитического аппарата непрерывных функций.

И последнее. Говоря о плотности потока нейтронов Ф, нельзя гово­рить о ней вообще; следует обязательно оговаривать и указывать, о ней­тронах какой кинетической энергии идёт речь. В противном случае возни­кает уже не просто неопределённость, о которой упоминалось в п.2.3.2, а бессмыслица, суть которой ясна из простого примера. Если просто ска­зать, что Ф = 60 нейтр/см²с, то это все равно, что ничего не сказать, так как такая величина плотности потока может обеспечиваться:

- одним нейтроном со скоростью v = 60 см/с;

- двумя нейтронами со скоростями v = 30 см/с;

- тремя нейтронами со скоростями v = 20 см/с;

- четырьмя нейтронами со скоростями v = 15 см/с;

- пятью нейтронами со скоростями v = 12 см/с;

- шестью нейтронами со скоростями v = 10 см/с;

- десятью нейтронами со скоростями v = 6 см/с и т.д.

А результаты взаимодействия этих комбинаций нейтронов с ядрами среды во всех этих случаях будут различными. Вот почему, указывая значение Ф, важно для определённости всегда указывать энергию нейтронов: Ф(Е).

2.3.4. Плотность тока нейтронов. В отличие от первых трёх харак­теристик нейтронного поля, в определениях которых игнорируется понятие направления перемещения нейтронов, плотность тока - величина векторная. Она даёт представление как о генеральном направлении пере­мещения больших количеств хаотично движущихся нейтронов, так и об ин­тенсивности перемещения нейтронов в этом направлении.

Нейтроны в среде, подобно молекулам воды в горной реке, перемеща­ются во всех мыслимых направлениях. Но как в реке существует генераль­ное направление перемещения воды (по руслу), так подобное направление существует и для перемещения нейтронов. В задачах теории реакторов об утечке нейтронов из активной зоны, об эффективности работы отражателя и многих других как раз требуется знание направления и интенсивности диффузии нейтронов.

Существо плотности тока нейтронов нетрудно понять, отталкиваясь от более простого частного случая её проекции на координатную ось.

В точке с координатами (x,y,z), где нам желательно знать величину и направление вектора плотности тока нейтронов (x,y,z), мысленно вы­делим единичную плоскую площадку, перпендикулярную к оси Oх, и подсчи­таем количества нейтронов, ежесекундно пересекающих эту площадку под всеми возможными углами слева направо (в положительном направлении оси Oх) и справа налево (в отрицательном направлении Oх). Пусть в резуль­тате подсчётов оказалось, что первая величина равна I_+x нейтр/см²с, а вторая - I_-x нейтр/см²с.

Тогда их разница I_x = I_+x - I_-x, являясь по смыслу нашего рассуждения скалярной величиной, уже своим знаком должна показать направление преимущественного перемещения нейтронов: если I_x > 0, то это означает, что больше нейтронов вдоль Oх перемещается в положительном направлении, а если I_x < 0, то больше нейтронов перемещается в отрицательном направлении. Сама же эта раз­ностная величина I_x определяет интенсивность переноса нейтронов вдоль оси Oх в преимущественном направлении.

I_z

Z

I_x Z

1 cм²

I_+x

I_-x I_x

I_y

0 X 0 X

Y

Y

Рис. 2.10. К пояснению понятия локальной плотности тока нейтронов.

Аналогичные рассуждения можно проделать и относительно перемеще­ний той же совокупности хаотично движущихся нейтронов вдоль ко­ординатных осей OY и OZ и получить величины двух других проекций век­тора - I_y и I_z. Зная величины проекций вектора на координатные оси, можно записать выражение и для самого вектора:

= I_xi + I_yj + I_zk, (2.3.9)