заочникам / диф ур / Теор_курс дифуры и ряды

42

корни этого уравнения k1 = 5, k2 = −1. Значит, общее решение

уравнения (1.31) имеет вид

y = c1e5x + c2e−x .

Для уравнения (1.30) нетрудно подобрать частное решение

~	x	(при подстановке его в уравнение (1.30) получается тож-
y = e

дество). Следовательно, по свойству 3 общим решением уравнения (1.30) будет функция

y = c1e5x + c2e−x + ex .

Ответ: y = c1e5x + c2e−x + ex , c1, c2 R .

1.3.6. Метод вариации произвольных постоянных

В пункте 1.3.5. показано, что если удалось подобрать частное решение уравнения (1.29), то с помощью него можно записать общее решение этого уравнения. Для произвольного уравнения сделать это достаточно сложно. Рассмотрим более общий способ рассуждений.

Предположим, что известна фундаментальная система решений y1, y2 уравнения (1.26). Тогда общее решение уравнения (1.26) есть функция

y = c1y1 +c2 y2 , c1,c2 R .

Будем считать решение уравнения (1.29) в виде y = c1(x)y1 +c2 (x)y2 ,

где c1(x), c2 (x) – подлежащие определению функции пере-

менной x. Вычисляем первую производную

y′ = c1y1′ +c2 y′2 +c1′y1 +c′2 y2 .

Пусть функции	c1 и	c2 таковы, что c1′y1 + c′2 y2 = 0 и
y′ = c1y1′ +c2 y′2 .	Далее	y′′ = c1y1′′+c2 y′2′ +c1′y1′ +c′2 y′2 . После

подстановки y , y′ и y′′ в уравнение (1.29) получим c1′y1′ + c′2 y′2 = q(x).

Таким образом, функции c1 и c2 должны удовлетворять системе

43

c′y	+ c′ y		= 0,	(1.32)
1 1	2	2
c1′y1′ + c′2 y′2 = q(x).

Система (1.32) является системой линейных алгебраических

уравнений относительно c1′				и c′2 ,		которая имеет единственное
решение c1′ = ϕ1(x),		c′2 = ϕ2 (x).				Откуда		~
								c1 = ∫ϕ1(x)dx + c1 ,
~	~	~		– произвольные постоянные. Полу-
c2 = ∫ϕ2 (x)dx + c2 ,	c1, c2
чили общее решение уравнения (1.29)
~	~							(x)dx y2 .
y = c1y1 + c2 y2 + ∫ϕ1(x)dx y1 + ∫ϕ2
Пример 1.23. Найти общее решение дифференциального
уравнения						1
			′′
		y		+ y = cos x .				(1.33)

Решение. Уравнение (1.33) является линейным неоднородным второго порядка с постоянными коэффициентами, ему соответствует линейное однородное уравнение

y′′+ y = 0 .

(1.34)

Найдем общее решение уравнения (1.34). Характеристическое уравнение для уравнения (1.34) имеет вид k2 +1 = 0 , его корни

k1 = i , k2 = −i . Таким		образом,				общее		решение уравнения
(1.34) есть			y1 = cos x , y2 = sin x , c1,c2 R .
y = c1 cos x + c2 sin x ,
Будем искать решение уравнения (1.33) в виде
y = c1(x)cos x + c2 (x)sin x .
Функции c1(x) и c2 (x) должны удовлетворять системе (1.32)
c′ cos x + c′ sin x						= 0,
	1	2						1
	′		′						.
−c1 sin x + c2 cos x =							cos x
Решив систему, получим c1′ = −tgx ,						c2 =1. Тогда
c1 = −∫ tgxdx = ln			cos x		~	, c2 =			~
					+ c1			∫dx = x + c2 .

Общее решение уравнения (1.33)

44

~	~		cos x		,	~	~	R .
y = c1 cos x + c2 sin x + x sin x + cos x ln						c1	, c2
	~	~

Ответ: y = c1 cos x + c2 sin x + x sin x + cos x ln cos x .

1.3.7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов

Будем рассматривать линейное неоднородное уравнение с

постоянными коэффициентами
y′′+ by′+ ay = f (x),	(1.35)
где a, b R , f (x) – некоторая функция переменной x.	Чтобы

найти общее решение этого уравнения, можно применить метод вариации произвольных постоянных, он требует решения системы линейных алгебраических уравнений и интегрирования различных выражений. Если правая часть уравнения (1.35) специального вида, отыскать общее решение уравнения удается и без интегрирования. Для этого по свойству 3 пункта 1.3.5 к общему решению уравнения (1.27) нужно прибавить частное решение уравнения (1.35).

I. f (x)=P	m	(x)eαx , где	P	(x) – многочлен	степени m,
α R.			m
а) Если α не является корнем уравнения
		k2 + bk + a = 0 ,			(1.28)
то частное решение уравнения (1.35) можно искать в виде
		~	αx	Qm (x),
		y = e

где Qm (x) – многочлен степени m с неизвестными коэффици-

ентами.

б) Если α – корень кратности l ( l =1 или l = 2 ) уравнения (1.28), то частное решение можно искать в виде

~	l	e	αx	Qm (x).
y	= x

Замечание. Многочлены с неопределенными коэффициентами записываются:

Q0 (x)= A , Q1(x)= Ax + B , Q2 (x)= Ax2 + Bx + C ,

45

A, B, C R , и так далее.
Пример 1.24. Найти общее решение уравнения
y	′′	+ 6y	′	+9y	= (x − 2)e	−3x	.	(1.36)

Решение. Линейному неоднородному уравнению (1.36) соответствуют линейное однородное уравнение y′′+ 6y′+ 9y = 0

и характеристическое уравнение k2 + 6k +9 = 0 с корнем k = −3 кратности 2. Следовательно, общее решение однородно-

го уравнения y = c e−3x	+ c	2	xe−3x	. Правая часть уравнения
1
(1.36) имеет вид P (x)eαx	, где P (x)			= x − 2 – многочлен первой
1			1
степени, α = −3 – кратности l = 2 характеристического урав-

нения. Поэтому частное решение уравнения (1.36) ищем в виде

~	l	Q1	(x)e	−3x	= x	2	(Ax + B)e	−3x	. Дальнейшие		вычисления
y = x
									~	~	~
оформим следующим образом. Расположим y ,										y′ и y′′ в стол-

бик, слева от них запишем соответствующие коэффициенты уравнения (1.36).

9

~

3

+ Bx

2

)e

−3x

y = (Ax

6

~

= (3Ax

2

+ 2Bx −

3Ax

3

−3Bx

2

)e

−3x

y′

.

1

y′′

= (9Ax

3

−18Ax

2

+9Bx

2

+ 6Ax −12Bx + 2B)e

−3x

~

~

~

~

на коэффициент слева, складываем строки

Умножая y ,

y′ и

y′′

и приравниваем к f (x)= (x − 2)e−3x . После деления уравнения на e−3x , получим

9Ax3 +9Bx2 +18Ax2 +12Bx −18Ax3 −18Bx2 +9Ax3 − −18Ax2 +9Bx2 + 6Ax −12Bx + 2B = x − 2 .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x левой и правой частей полученного тождества, получаем систему

46

9A −18A +9A = 0,

9B +18A −18B −18A +9B = 0,12B + 6A −12B =1,

2B = −2,

откуда A =	1	, B = −1	~	1			2	e	−3x	и
	6		. Таким образом, y =		6	x −1 x

~

1

x

2

e

−3x

+ (c1 + c2x)e

−3x

.

общее решение y = y + y =

6

−1 x

Ответ: y = (c1 + c2x)e

−3x

1

x

2

e

−3x

,

c1,c2 R .

+

6

−1 x

II.

f (x)= eαx (P

(x)cosβx + P

(x)sin βx),

где

P (x)

и

n

m

n

Pm (x) – многочлены степеней n и m соответственно, α,β R .

Обозначим N = max(n, m).

а)

Если α ±βi

не являются корнями уравнения (1.28), то

частное решение уравнения (1.35) имеет вид

~

= e

αx

(QN (x)cosβx

+ RN (x)sin βx),

y

QN (x) и R N (x)

– многочлены (разные) степени N с неопреде-

ленными коэффициентами.

б) Если α ±βi

– корни уравнения (1.28), то частное реше-

ние

~

αx

(QN (x)cosβx + RN (x)sin βx).

= xe

y

Пример 1.25. Найти общее решение уравнения

y′′+ y = (x +1)cos 2x +sin 2x .

(1.37)

Решение.

Характеристическое

уравнение

k2 +1 = 0 для

линейного

однородного уравнения

y′′+ y = 0

имеет корни

k1,2 = ±i ,

поэтому

общее

решение линейного однородного

уравнения запишется в виде

y = c1 cos x + c2 sin x ,

c1, c2 R .

47

Правая часть линейного неоднородного уравнения (1.37) представляет собой функцию f (x)= (x +1)cos 2x +sin 2x , следова-

тельно, α = 0 (в функции f (x)		eαx =1), β = 2 ( β – коэффици-
ент при x	в функциях cos 2x	и sin 2x ), Pn (x)= x +1,	n =1,
Pm (x)=1 ,	m = 0 , N = max(n, m)=1. Число α +iβ = 2i		не яв-

ляется корнем характеристического уравнения, значит, частное решение следует искать в виде

~y = Q1(x)cos 2x + R1(x)sin 2x =

= (Ax + B)cos 2x + (Cx + D)sin 2x .

Аналогично, как и в примере 1.24, составляем таблицу

1		~
		y = (Ax + B)cos 2x + (Cx + D)sin 2x
0		~
		y′ = (A + 2Cx + 2D)cos 2x + (C − 2Ax − 2B)sin 2x
1		~	− 4B)cos 2x	−(4A + 4Cx	+ 4D)sin 2x.
		y′′ = (4C − 4Ax
Складывая строчки, имеем
~	~		−3B)cos 2x	−(4A +3Cx	+3D)sin 2x =
y′′		+ y = (4C −3Ax

= (x +1)cos 2x +sin 2x .

Приравнивая отдельно коэффициенты при sin 2x и cos 2x , по-

4C	−3Ax −		3B = x +1,	В каждом уравнении системы
лучаем		−3Cx	−3D =1.
− 4A

приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях переменной x , откуда

−3A =1,4C −3B =1,

−3C = 0,

− 4A −3D =1,

тогда A = −	1	, C = 0 , B = −				1	, D =	1	и
	3			1		3		9	1
		~	= −		(x +1)cos 2x			+
		y		3					9 sin 2x .

48

Следовательно, общее решение уравнения (1.37)

~

−

1

(x +

1)cos 2x +

1

sin 2x .

y = y + y = c1 cos x + c2 sin x

3

9

Ответ: y = c cos x + c

2

sin x − 1 (x +1)cos 2x + 1 sin 2x ,

1

3

9

c1, c2 R .

Замечание. Если в уравнении (1.35)

~

f (x)= f1(x)

+ f2 (x)

+... + fs (x),

– частное решение уравнения

y′′+ by′+ ay = f1(x),

y1

~

– частное решение уравнения

y′′+ by′+ ay = f2 (x), …,

y2

~

′′

′

+ ay = fs (x),

ys

– частное решение уравнения y

+ by

то общее решение уравнения (1.35) имеет вид y = y + ~y1 + ~y2 +... + ~ys ,

y – общее решение уравнения (1.27).

1.3.8.* Свободные и вынужденные колебания. Резонанс

В примере 1.2, находя закон движения груза, подвешенного на пружине, получили уравнение

d2x	+ 2b dx	+ a2x = f (t).	(1.2)
dt2	dt
Многие колебательные	процессы описываются		уравнени-

ем (1.2), в котором коэффициент b характеризует сопротивление системы, b > 0 , функция f (t) характеризует внешнее воздейст-

вие на систему. Уравнению (1.2) соответствуют линейное однородное уравнение

x′′+ 2bx′+ a2x = 0 ,

(1.38)

характеристическое уравнение k2 + 2bk + a2 = 0 с дискриминантом D = 4(b2 −a2 ). [В уравнении (1.38) внешние силы не учитываются.]

49

1. D > 0 или b2 −a2 > 0 возможно в случае, когда сопротивление системы велико. Общее решение уравнения (1.38) имеет вид

b

2

−a

2

b

2

−a

2

−b−

t

+ c

−b−

t

x = c e

2

e

.

1

′

из

При наличии начальных условий x(0)= x0 ≠ 0 , x (0)= 0

общего решения выделяется некоторое частное

b

2

−a

2

b

2

−a

2

−b−

t

−b−

t

x = c0e

+ c0e

.

1

2

−b± b

2

−a

2

Так как в этом случае

− b ±

b2 −a2 < 0 ,

t

то e

стремится к нулю при t, стремящемся к + ∞ , т.е.

x(t) стремится

к нулю. Такое движение, когда

x(t) стремится к нулю при t,

стремящемся к + ∞ , называется апериодическим.

x(t

)= 0 ,

Если с0

с0 < 0 ,

то существует t

0

такое,

что

0

1

2

значит, положение

равновесия

системой

достигается;

если

с10 с02 > 0 , то положение равновесия не достигается.

2. D = 0 при b2 = a2 возможно в случае, когда сила сопротивления равна силе упругости (для груза, подвешенного на пружине).

Общее решение уравнения (1.38)	x = c e−bt +c	2	te−bt	сно-
	1

ва дает апериодическое движение.

3. Если сопротивление системы мало, то b < a и D < 0 . Корнями характеристического уравнения являются

k1,2 = −b ± a2 − b2 i , α = −b , β = a2 − b2 .

Общее решение уравнения (1.38) имеет вид

x= e−bt (c1 cos a2 − b2 t + c2 sin a2 − b2 t)=

=Ae−bt sin( a2 − b2 t + γ),

где	A =	2	2	,	γ = arcsin	c1	. Так как
		c1	+ c2			2 + c
					c		2
					1		2

50

sin( a2 − b2 t + γ)– периодическая функция, то положение равновесия будет периодически повторяться.

Величина A e-bt называется амплитудой и стремится к нулю при t, стремящемся к + ∞ , величина γ называется на-

чальной фазой.

Итак, в случае 3, когда сопротивление мало, в колебательной системе, в которой внешние силы не учитываются, возни-

кают затухающие колебания.		x = A sin(at + γ)
Замечание. Если b = 0 , то					описывает
гармонические колебания с периодом			2π	.
			a
Рассмотрим уравнение (1.2) в интересующем нас (3) случае.
Пусть	b ≠ 0 , f (t)= H sin ωt .	В соответствии			с	теорией
пункта 1.3.7	α = 0 (в функции f (t)	eαt =1 ), β = ω,			P	(t)= H ,
					m
Pn (t)= 0 , m = n = 0 . Число α +iβ = ωi не является						корнем

характеристического уравнения, значит,~ l = 0 . Частное реше-
ние уравнения (1.2) будем искать в виде x	= B cos ωt + C sin ωt .
Составляем таблицу

a	2		~	= Bcos ωt + Csin ωt
			x
2b			~
			x′ = −Bωsin ωt + Cωcos ωt
1			~		2	cos ωt −Cω	2	sin	ωt.
			x′′ = −Bω

Складывая строчки и приравнивая к f (t), получаем

H sin ωt = (− Bω2 + 2bCω+ Ba2 )cos ωt +

+ (−Cω2 − 2bωB + a2C)sin ωt ,

откуда следует система

− 2bωB + (a2 −ω2 )C = H,(a2 −ω2 )B + 2bωC = 0.

Решением системы являются

					51			H(a2 −ω2 )
		B =	- 2bωH			C =
					и					.
			4b2ω2 + (a2 −ω2 )2				4b2ω2 + (a2 −ω2 )2
Тогда частное решение уравнения (1.2)
~	=	− 2bωH				H(a2		−ω2 )
x				cos ωt +					sin ωt		=
		4b2ω2 + (a2 −ω2 )2				4b2ω2 + (a2 −ω2 )2

= D sin(ωt + ϕ),

где D = B2 + C2 – амплитуда, ϕ = arcsin DB .

В итоге общее решение уравнения (1.2) имеет вид

y= Ae−bt sin( a2 − b2 t + γ)+ D sin(ωt + ϕ),

вкотором первое слагаемое Ae−bt sin( a2 − b2 t + γ)описывает

свободные или собственные колебания системы, второе слагаемое D sin(ωt + ϕ) – вынужденные колебания, D – ампли-

туда вынужденных колебаний. Собственные колебания затухают, и система колеблется за счет внешних воздействий.

Случай, когда амплитуда вынужденных колебаний максимальна, называется случаем резонанса.

Известно, что амплитуда D максимальна при

ω = a2 − 2b2 .

При b = 0 резонанс наступает, когда ω = a . Тогда частное решение системы (1.2)

~	= t(Bcos ωt + Csin ωt)=	B	2	+ C	2	t sin(ωt + ϕ0 ),
x

амплитуда B2 + C2 t стремится к бесконечности при t, стре-

мящемся к + ∞ , и система может быть разрушена.