ли нейные пространства
.pdfМинистерство образования и науки РФ
ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
УТВЕРЖДАЮ Декан ФПМК
________ А. М. Горцев
20 октября 2004 г.
ЛИНЕЙНЫЕ ПРОСТРАНСТВА
Учебно-методическое пособие
Томск
2004
РАССМОТРЕНО и УТВЕРЖДЕНО методической комиссией факультета прикладной математики и кибернетики.
ПРОТОКОЛ № 20 от 14 июня 2004 г. |
|
Председатель комиссии |
|
профессор |
С.Э.Воробейчиков |
В учебно-методическом пособии приведены краткие теоретические сведения и даны практические рекомендации к решению задач по курсу «Линейная алгебра и аналитическая геометрия».
Пособие разработано для студентов факультета прикладной математики и кибернетики дневной формы обучения.
Составители: К.И.Лившиц Л.Ю.Сухотина
2
1. Линейные пространства. Определение
Определение. Множество X называется линейным пространством над полем K, если:
1. Существует закон, который позволяет каждым двум элементам x , y X поставить в соответствие элемент z X , на-
зываемый суммой и обозначаемый
zx y
2.Существует закон, который позволяет каждому элементу
x X и каждому числу K поставить в соответствие элемент z X , называемый «произведением элемента x на число » и обозначаемый
zx
3.Законы, введенные в X, удовлетворяют следующим аксиомам:
1.x y y x , x, y X
2. |
x y z x y z , x, y, z X |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
|
0 |
X x X x |
0 |
x |
|||
|
|
|||||||
4. |
x X x 1 X : x x 1 |
0 |
|
|||||
5. x x x X , K |
||||||||
6. x x x x X , K |
||||||||
7. |
x y x y x, y X K |
|||||||
8. |
1 x x |
x X , где 1 — единица поля K. |
||||||
Элементы |
пространства X обычно называют векторами, |
элемент 0 — нулевым вектором, элемент x 1 — противоположным (обратным) к вектору x .
Из определения непосредственно вытекают следующие элементарные свойства линейного пространства:
1. В любом линейном пространстве существует единствен-
ный 0 .
2.В любом линейном пространстве для каждого элемента существует единственный противоположный элемент.
3.Для всякого вектора x
0 x 0
4.Для всякого вектора x
x1 1 x
3
При ме ры:
1.Рассмотрим множество квадратных матриц n-го порядка
свещественными элементами. Поле K — поле вещественных чисел. Законы сложения элементов и умножения на число определены в матричном анализе. Из свойств сложения матриц и умножения матрицы на число следует выполнение аксиом 1—8.
В частности, 0 является нулевая матрица n-го порядка. Следовательно, данное множество есть линейное пространство.
2. Линейным пространством является также множество V3 геометрических векторов, операции над которыми были определены в векторном анализе. Поле K – поле вещественных чисел. Сами проверьте, что аксиомы 1—8 выполняются.
3. Рассмотрим множество Pn, элементами которого являются упорядоченные наборы из n вещественных чисел.
x x1 , x2 ,..., xn
Поле K — поле вещественных чисел. Сложение и умножение на число определяется следующим образом. Если
y y1 , y2 ,..., yn , то x y , если xi |
|
|
|
yi |
i 1, n |
x y x1 y1 , x2 y2 , ..., xn yn
x x1 , x2 , ..., xn
Сами проверьте выполнение аксиом 1—8. Нулевой вектор в данном случае это упорядоченный набор n нулей 0 (0,0, ,0) .
Данное пространство называется арифметическим пространством.
1.1. Задачи
Проверить образуют ли следующие множества линейные пространства. Операции сложение элементов и умножение на число определены общепринятым образом. Поле K — поле вещественных чисел.
1.Множество n-мерных симметричных матриц с вещественными элементами.
2.Множество n-мерных кососимметричных матриц с вещественными элементами.
4
3.Все векторы плоскости, концы которых лежат на данной прямой, а начало совпадает с началом системы координат.
4.Все векторы плоскости, начала и концы которых лежат на данной прямой.
5.Все многочлены степени k n от одного неизвестного с
вещественными коэффициентами.
6. Все многочлены степени n от одного неизвестного с вещественными коэффициентами.
2. Линейная зависимость. Базис и координаты вектора.
Рассмотрим линейное пространство X над полем K. Пусть
x1 |
,..., xm X , |
t1 ,...,tm K . Линейной комбинацией векторов |
x1 |
,..., xm пространства X называется сумма вида |
|
|
|
t1 x1 t2 x2 ... tm xm |
Числа t1 ,t2 ,...,tm называются коэффициентами линейной
комбинации.
Определение. Элементы x1 , x2 ,..., xm пространства X называются линейно зависимыми, если существуют числа t1 ,t2 ,...,tm не все равные нулю одновременно такие, что линейная комбинация
(2.1)
Если же равенство (2.1) выполнено только тогда, когда все числа ti 0 , то векторы xi называются линейно независимыми.
Необходимым и достаточным условием линейной зависимости векторов является равенство одного из них линейной комбинации других.
При ме ры
1. Рассмотрим пространство геометрических векторов V3. В нем два вектора линейно зависимы, когда они коллинеарны; три вектора линейно зависимы, когда они компланарны. Всякие четыре вектора этого пространства всегда линейно зависимы.
5
2. Рассмотрим арифметическое пространство Rn. Попытаемся построить линейно независимую систему векторов этого пространства. Рассмотрим k векторов
xi x1i , x2i ,..., xni , i 1, k
Если xi линейно зависимы, то t1 ,t2 ,...,tk 0 одновременно такие, что
t1 x1 t2 x2 ... tk xk 0
где 0 0, 0, ..., 0 – ноль пространства Rn. По определению Rn отсюда следует, что
k |
|
|
|
xji ti 0 , j 1, n |
|
|
|
i 1 |
|
|
|
Получаем в результате относительно ti систему n линейных |
|||
однородных уравнений с k неизвестными и матрицей |
x |
|
раз- |
|
|
ji |
|
мера n k . Такая система имеет только нулевое решение, если
Rang x k
ji
и имеет ненулевое решение, если
Rang x k
ji
Отсюда следует, что в пространстве Rn не может быть больше, чем n линейно независимых векторов. Линейно независимыми являются всякие векторы, компоненты которых образуют матрицу полного ранга. Например, n векторов
x1 |
1, 0,..., 0 |
|
x2 |
0,1,..., 0 |
(2.2) |
... |
|
|
|
|
|
xn |
0, 0,...,1 |
|
Определение. Совокупность линейно независимых вектопространства X называется базисом этого про-
странства, если x X найдутся такие числа |
x1 , x2 ,..., xn K , |
что справедливо равенство |
|
x x1e1 x2e2 ... xnen |
(2.3) |
6
Соотношение (2.3) называется разложением вектора x по базису.
В силу линейной независимости векторов базиса разложе-
ние (2.3) определяется единственным образом. |
|
||
Определение. Коэффициенты x1 , x2 , ..., xn |
разложения век- |
||
тора |
x по базису e1 , e2 , ..., en |
называются координатами векто- |
|
ра x |
относительно базиса. |
|
|
При ме р . Совокупность векторов (2.2) образует очевидно |
|||
базис |
пространства Rn, |
так как для |
всякого вектора |
x x1 , x2 ,..., xn имеет место разложение |
|
x1 , x2 ,..., xn x1 1,0,...,0 x2 0,1,...,0 ... xn 0,0,...,1
При решении задач полезно помнить, что векторы линейно зависимы тогда и только тогда, когда линейно зависимы векторстолбцы из их координат относительно произвольного базиса.
Определение. Если в линейном пространстве X существует n линейно независимых векторов, а всякие n 1 вектор этого пространства линейно зависимы, то число, n называется раз-
мерностью линейного пространства dim X n
Само линейное пространство X называется при этом n-мерным. Линейное пространство, в котором можно указать сколь угодно большое число линейно независимых векторов называется бесконеч-
но мерным.
При ме ры
1. Пространство V3. В этом пространстве всякие три некомпланарных вектора линейно независимы, а всякие четыре вектора линейно зависимы. Следовательно, dimV3 3 .
2. Пространство Rn. В этом пространстве всякие n 1 вектор линейно зависимы и существуют системы из n линейно независимых векторов, например, система векторов (2). Следовательно, dim Rn n
7
Если в линейном пространстве X существует базис из n векто-
ров, то dim X n , обратно, если |
dim X n , то всякая система из n |
||||||||
линейно независимых векторов образует базис пространства X. |
|||||||||
Всякие два базиса e1 , e2 , ..., en и |
e1 , e2 , ..., en |
простран- |
|||||||
ства X связаны между собой симметричными формулами |
|||||||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei aji ej |
i 1, n |
|
(2.4) |
||||||
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ei aji ej |
i 1, n, |
|
(2.5) |
||||||
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где невырожденные матрицы |
A a |
ji |
и |
A a |
являются |
||||
|
|
|
|
ji |
|
взаимно обратными, i-й столбец матрицы A образуют координа-
ты вектора e |
в базисе из векторов e , e , ..., e . Формулы (2.4) и |
||||||||||
i |
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
n |
|
|
(2.5) называются формулами перехода, |
матрицы A и |
A — |
|||||||||
матрицами перехода. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Если x , x ,..., x |
и |
x , x ,..., x |
– координаты вектора |
x в ба- |
|||||||
1 2 |
|
n |
|
1 |
2 |
n |
|
|
|
|
|
зисах e , e , ..., e |
и e , e |
, ..., e , соответственно, то |
|
||||||||
1 2 |
n |
1 |
2 |
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xi |
aij xj |
i 1, n |
|
(2.6) |
|||
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
n a x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i 1, n |
|
(2.7) |
|||||
|
|
|
|
i |
ij j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j 1 |
|
|
|
|
|
|
При ме р : Доказать, что каждая из данных двух систем век- |
|||||||||||
торов является базисом R3 и найти связь координат одного и то- |
|||||||||||
го же вектора |
x |
в этих двух базисах: |
|
|
|||||||
e1 1, 2,1 |
|
e2 |
2,3,3 |
e3 |
3,7,1 |
|
|||||
e1 3,1, 4 |
e2 5, 2,1 |
e3 |
1,1, 6 |
|
Для доказательства того, что данные системы векторов являются базисными, вычислим, как и в предыдущем примере, ранги матриц
8
1 |
2 |
3 |
3 |
5 |
1 |
||
B 2 |
3 |
7 |
|
и C |
1 |
2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
3 |
1 |
|
4 |
1 6 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Нетрудно убедиться, что RangB RangC 3 , и, следова-
тельно, в R3 данные системы векторов образуют базисы. Для определения связи координат необходимо получить формулы пере-
хода (2.4) и (2.5). Имеем
3,1, 4 a11 1, 2,1 a21 2,3,3 a31 3,7,1
5, 2,1 a12 1, 2,1 a22 2,3,3 a32 3,7,1
1,1, 6 a13 1, 2,1 a23 2,3,3 a33 3,7,1
Откуда получаем систему девяти скалярных уравнений
a11 2a21 3a31 3 2a11 3a21 7a31 1 a11 3a21 a31 4 a12 2a22 3a32 5 2a12 3a22 7a32 2 a12 3a22 a32 1 a13 2a23 3a33 1 2a13 3a23 7a33 1 a13 3a23 a33 6
Решая системы уравнений, получаем матрицу перехода
27 |
71 |
41 |
|
A |
9 |
20 |
9 |
|
|
|
|
|
4 |
12 |
8 |
|
|
|
|
и связь между «старыми» |
x , x , x |
и «новыми» |
x , x , x |
коорди- |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
|
|
1 |
2 |
3 |
|
натами: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 27x 71x 41x |
|
|
|
|
|||||
1 |
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
x 9x |
20x 9x |
|
|
|
|
|
|||
2 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
x 4x |
12x |
8x |
|
|
|
|
|
||
3 |
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
9
2.1.Задачи
1.Доказать, что если система векторов x1 , x2 , ..., xn содержит нуле-
вой вектор, то совокупность векторов линейно зависима.
2. Доказать, что если часть из векторов x1 , x2 , ..., xn линейно зависи-
ма, то и вся эта совокупность векторов линейно зависима. |
|
||||||||||||||||||
Векторы e1 , e2 , ..., en |
и x |
|
заданы своими координатами в не- |
||||||||||||||||
котором базисе. Показать, |
что векторы e1 , e2 , ..., en |
сами обра- |
|||||||||||||||||
зуют базис и найти координаты вектора |
x в этом базисе: |
||||||||||||||||||
3. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
1 |
|
|
1 |
|
6 |
|
|||||||
|
|
e 1 , e |
|
1 , |
e |
|
2 , |
x |
9 |
|
|||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
14 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
|
1 |
|
|
6 |
|
|||||
|
|
e |
|
1 |
, |
e |
2 |
, e |
2 |
, |
x |
|
2 |
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
5 |
|
|
|
|
3 |
|
|
7 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e |
2 , |
e |
3 |
, e |
2 |
, |
e |
3 |
, |
x 14 |
|||||||||
1 |
|
1 |
|
2 |
|
0 |
|
|
3 |
1 |
|
|
4 |
|
1 |
|
1 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6. Доказать, что каждая из двух систем векторов являе т- ся базисом, и найти связь координат одного и того же ве к- тора в этих двух базисах.
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
e 1 |
, |
e |
2 |
, |
e |
1 |
, |
e |
3 |
|||||
1 |
1 |
|
2 |
|
1 |
|
3 |
|
2 |
|
4 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10