FA

В самом деле, CE [a, b] и потому m (CE) 6 (b − a), так как

1		1
CE содержится в интервале a −		, b +		при любом n N, а
	n		n

нижняя грань длин таких интервалов равна b −a. Поэтому m (E) = (b − a) − m (CE) > 0.

Теорема 2.1. Внешняя мера множества E [a, b] не может быть меньше внутренней меры этого множества, т.е. всегда

0 6 m	(E) 6 m (E).	(2.3)

Доказательство. По определению m (E), для любого δ > 0 можно найти такую систему интервалов с длинами αk, содержащую E, что

X

αk < m (E) + δ.

k

Аналогично для множества CE найдется система интервалов с длинами βk такая, что

X

βk < m (CE) + δ.

k

Из этих неравенств имеем

XX

αk + βk < m (E) + m (CE) + 2δ.

kk

Однако очевидно, что

XX

αk + βk > b − a.

kk

Отсюда получаем неравенство

b	−	a < m (E) + m (CE) + 2δ,
т.е.		m (E) − 2δ < m (E).
Так как δ > 0 произвольно, то m			(E) 6 m (E).

Определение 2.3. (меры множества по Лебегу). Множество

E [a, b] называется измеримым по Лебегу, если

m (E) = m (E) =: m(E),	(2.4)
а величина m(E) называется мерой Лебега множества E.
11

Замечание 2.1. Если множество E [a, b] измеримо по Жордану, то оно измеримо и по Лебегу, причем соответствующие меры по Жордану и Лебегу совпадают.

2.2Свойства измеримых множеств

Перечислим сейчас свойства измеримых множеств E [a, b].

Свойство 2.1. Если E измеримо, то CE также измеримо.

В самом деле, m(E) = m (E) = m (E) и потому

m (E) = m(E) = (b − a) − m (CE).

Значит, m (CE) = (b − a) − m(E). С другой стороны,

m (CE) = (b − a) − m (E) = (b − a) − m(E),

поэтому m (CE) = m (CE).

Упражнение 2.1. Доказать, что произвольное конечное или счетное множество точек E := {xk} [a, b] является измеримым множеством и его мера m(E) = 0.

Свойство 2.2. (необходимое и достаточное условие измеримости множества). Для того, чтобы множество E [a, b] было измеримо, необходимо и достаточно, чтобы для любого как угодно малого δ > 0 можно было представить множество E в виде

E = (S M1) \ M2,

где S есть система конечного числа попарно неперекрывающихся интервалов, а M1 и M2 любые множества, у каждого из которых внешняя мера меньше δ. При соблюдении этого условия

m(S) − δ < m(E) < m(S) + δ.

Доказательство этого утверждения можно найти в ([16], с.126– 128).

Свойство 2.3. Объединение любого конечного числа измеримых множеств есть измеримое множество, причем если слагаемые попарно не имеют общих точек, то мера объединения множеств рав-

на сумме мер слагаемых.
	12

Доказательство	этого свойства основано на свойстве
2.1 (см.[16], с.129-131).

Свойство 2.4. Разность E1 \ E2 измеримых множеств есть измеримое множество, причем если E2 E1, то

m(E1 \ E2) = m(E1) − m(E2).

∞

S

Свойство 2.5. Объединение E = Ek счетного множества из-

k=1

меримых множеств, содержащихся в [a, b], есть измеримое множество, причем если данные множества попарно не имеют общих точек, то

∞! ∞

[X

mEk = m(Ek).

k=1 k=1

Свойство 2.6. Пересечение конечного или счетного множества измеримых множеств, содержащихся в [a, b], есть измеримое множество.

Свойство 2.7. Если

E1 E2 . . . Ek . . . [a, b]

и Ek измеримы, то

∞ !

[

m Ek = lim m(Ek).

k→∞

k=1

Свойство 2.8. Если Ek измеримы и

E1 E2 . . . Ek . . . ,

то

∞ !

\

m Ek = lim m(Ek).

k→∞

k=1

13

3Измеримые функции. Интеграл Лебега

В современном функциональном анализе важную роль играет понятие интеграла Лебега, обобщающее понятие интеграла Римана. Оказывается, что при этом существенную роль играет понятие измеримой функции.

3.1Определение и свойства измеримых функций

Пусть функция f(x) определена на измеримом множестве E [a, b].

Определение 3.1. Функция f(x) называется измеримой на E, если для любого числа A R множество

		{x E : f(x) > A}	(3.1)
измеримо.
Отметим важные свойства функций, измеримых на E [a, b].
Свойство 3.1. Множество
		{x E : f(x) 6 A}
измеримо для A R.
В самом деле, это множество можно представить в виде
		E \ {x E : f(x) > A},
т.е. в виде разности измеримых множеств.
Свойство 3.2. Множество
		{x E : A < f(x) 6 B}
измеримо при любых A 6 B, A, B R.

Действительно, это множество есть пересечение измеримых множеств

{x E : A < f(x)} ∩ {x E : f(x) 6 B},

поэтому оно измеримо.

14

Свойство 3.3. Множество
{x E : f(x) = A}
измеримо при любом A R.
Доказательство основано на формуле
			∞
			k\			Ek,	(3.2)
{x E : f(x) = A} =
			=1
1			1
Ek := {x E : A −			< f(x) 6 A +			}, k = 1, 2, . . . .
	k			k

Поэтому множество (3.3) измеримо как пересечение измеримых

множеств.
Упражнение 3.1. Доказать формулу (3.2).
Свойство 3.4. Множество
	{x E : f(x) > A}
измеримо.

В самом деле, его можно представить в виде объединения измеримых множеств

[

{x E : f(x) > A} {x E : f(x) = A}.

Свойство 3.5. Множество
	{x E : f(x) < A}	(3.3)
измеримо для A R.
Действительно, (3.3) есть разность измеримых множеств:
{x E : f(x) 6 A}\{x E : f(x) = A}.
Свойство 3.6. Множества
{x E : A 6 f(x) < B}, {x E : A < f(x) < B},
	{x E : A 6 f(x) 6 B}
также измеримы при любых A 6 B из R.
	15

Эти свойства показывают, что в определении 3.1 измеримой функции вместо множества (3.1) можно взять любое из множеств

{x E : f(x) > A}, {x E : f(x) 6 A}, {x E : f(x) < A}.

Отметим еще два важных для дальнейшего факта.

Свойство 3.7. Если функция f(x) измерима на множестве E, то

она измерима и на любом измеримом подмножестве F E.
В самом деле,
{x F : f(x) > A} = F \{x E : f(x) > A},	(3.4)

и потому f(x) измерима на F , так как левая часть (3.4) представлена в виде пересечения измеримых множеств.

Свойство 3.8. Если функция f(x) измерима на каждом из конеч-

ного или счетного множества множеств Ek	из [a, b], то она из-
мерима и на объединении этих множеств.

Действительно, каждое из множеств Ek и {x Ek : f(x) > A}

S

измеримы по условию. Поэтому Ek измеримо и

k

[[

{x Ek : f(x) > A} =	{x Ek : f(x) > A},
k	k

т.е. указанное объединение множеств измеримо.

Основываясь на свойствах измеримых функций, заданных на отрезке [a, b], далее дается конструкция построения определенного интеграла, который введен Лебегом и является, как выясняется, обобщением интеграла Римана. Предварительно напоминаются определение и некоторые свойства интеграла Римана.

3.2Построение интеграла Римана. Класс функций, интегрируемых по Риману

Будем считать, что f(x) задана на отрезке [a, b] и ограничена, т.е. |f(x)| 6 M, x [a, b]. Рассмотрим какое-либо разбиение τ отрезка [a, b] на n частей:

a = x0 < x1 < . . . < xn = b.

16

Далее составим интегральные суммы Римана

n	n
X	X	xk := xk − xk−1,
s = mk xk, S = Mk xk,
k=1	k=1
mk := inf	f(x), Mk := sup	f(x), k = 1, 2, . . . , n,
x [xk−1,xk]	x [xk−1,xk]

а также интегральные суммы для функции f(x), т.е.

n

X

f(ξk)Δxk, xk−1 6 ξk 6 xk, k = 1, . . . , n.

k=1

Тогда, очевидно, выполнены условия

n	n	n
X	X	X
	mk xk 6 f(ξk)Δxk 6 Mk xk.
k=1	k=1	k=1

Если при d(τ) := max xk −→ 0 левая и правая части стремятся

k

к одному и тому же пределу, то говорят, что функция f(x) интегрируема по Риману на отрезке [a, b], т.е. интеграл Римана

Z b

(R) f(x)dx (3.5)

a

принимает конечное значение. Такой класс функций, заданных на [a, b], обозначают R([a, b]).

Известно, что любая непрерывная на отрезке [a, b] функция, т.е. функция класса C([a, b]), интегрируема по Риману:

C([a, b]) R([a, b]).

Критерий интегрируемости по Риману выглядит следующим образом: для интегрируемости по Риману на отрезке [a, b] функции f(x) необходимо и достаточно, чтобы на этом отрезке f(x) была ограниченной и удовлетворяла условию

			n
lim			X	= 0,	ωk := Mk − mk.	(3.6)
d(τ)	−→	0	ωk xk
			k=1

Известен также критерий Лебега интегрируемости по Риману, выраженный в терминах меры: для интегрируемости по Риману

17

функции f(x) на [a, b] необходимо и достаточно, чтобы она была ограниченной и чтобы мера множества ее точек разрыва на [a, b] равнялась нулю.

Будем говорить, что некоторое утверждение имеет место почти всюду на отрезке [a, b] (или на любом E [a, b]), если оно выполняется для всех точек [a, b], за исключением, возможно, множества точек, мера которого равна нулю. Из критерия Лебега следует, что класс функций, интегрируемых по Риману на [a, b], совпадает с классом ограниченных почти всюду непрерывных на [a, b] функций.

Упражнение 3.2. Доказать, что монотонная на [a, b] функция интегрируема по Риману.

Упражнение 3.3. Доказать, что функция с ограниченной вариацией, заданная на [a, b], интегрируема по Риману.

Имеются, однако, примеры функций, неинтегрируемых по Риману на [a, b].

Упражнение 3.4. Доказать, что функция Дирихле, определяемая формулой

fD(x) :=	(0,	x	R Q,	(3.7)
	1,	x	Q,
			\
неинтегрируема по Риману на [a, b].

Указание. Проверить, что множество точек разрыва второго рода функции f(x) есть отрезок [a, b].

Из последнего упражнения ясно, что конструкция интеграла Римана не удовлетворяет естественному интуитивному желанию считать, что определенный интеграл от f(x) есть площадь подграфика соответствующей кривой на плоскости Oxy. Оказывается, этому требованию удовлетворяет конструкция интеграла Лебега, рассмотрение которой приводится далее.

3.3Определение интеграла Лебега

Основная идея построения интеграла Лебега от функции f(x), заданной на [a, b], состоит в разбиении подграфика кривой y = f(x) не на вертикальные, а на горизонтальные полоски с последующим суммированием составляющих площадей подграфика.

Переходя к описанию этой конструкции, будем считать, что на измеримом множестве E [a, b] задана ограниченная измеримая

18

функция f(x). Пусть m и M соответственно нижняя и верхняя грани f(x) на E. Возьмем любые числа A и B, удовлетворяющие условиям A 6 m, M < B, и разобьём отрезок [A, B] на n частей:

A = y0 < y1 < . . . < yn = B.

Введем, далее, множества

Ek := {x E : yk−1 6 f(x) < yk}, k = 1, 2, . . . , n.

Очевидно,

n

[

E = Ek.

k=1

Ясно также, что множества Ek измеримы, так как f(x) измерима, причем Ek попарно не имеют общих точек. Поэтому

n

X

m(E) = m(Ek).

k=1

Составим теперь две суммы,

n

n

XX

s := yk−1m(Ek), S :=	ykm(Ek),
k=1	k=1

которые называются нижней и верхней суммами Лебега. Пусть

y := max yk = max(yk − yk−1).

kk

Теорема 3.1. (о существовании интеграла Лебега). Суммы Лебега s и S стремятся к общему пределу I, не зависящему от способа разбиения [A, B], если только y −→ 0.

Доказательство. Рассмотрим подробно нижнюю сумму Лебега

n

s = P yk−1m(Ek). Покажем, что если к точкам {yk}nk=0 разбиения

k=1

отрезка [A, B] присоединить новые точки деления, то значение суммы s для нового разбиения не может быть меньше исходного. Пусть, например, добавлена лишь одна точка yk0 −1 на промежутке (yk−1, yk), т.е. yk−1 < yk0 −1 < yk. Введем множества

Ek0 := {x E : yk−1 6 f(x) < yk0 −1},

19

E00	:=	{	x		E : y0	6	f(x) < y	k}	.
k					k−1
Очевидно, что	[Ek00, m(Ek) = m(Ek0 ) + m(Ek00).
Ek = Ek0

При переходе от суммы s к новой сумме слагаемое yk−1m(Ek) заменяется на новую величину

yk−1m(Ek0 ) + yk0 −1m(Ek00) > yk−1(m(Ek0 ) + m(Ek00)) = yk−1m(Ek).

Отсюда и следует, что при дополнительном разбиении отрезка [A, B] нижняя сумма Лебега может только увеличиться. Так как s ограничена сверху, т.е.

n

n

XX

	yk−1m(Ek) < B m(Ek) = Bm(E),
k=1	k=1

то при y −→ 0 сумма s будет стремиться к некоторому пределу:

lim s =: I.

y−→0

Аналогично можно доказать, что при размельчении разбиения [A, B] верхняя сумма Лебега S может лишь уменьшаться и ограничена снизу.

Тогда существует

lim S =: I.

y−→0

Докажем, что на самом деле выполнено условие I = I. Действительно,

n	n
X	X
S − s = (yk − yk−1)m(Ek) 6 y	m(Ek) =	(3.8)
k=1	k=1

= y · m(E) −→ 0 (Δy −→ 0).

С другой стороны, величина справа должна равняться I − I (почему?).

Введем обозначение

I := I = I

20