Полный факторный эксперимент_44-45
.docПолный факторный эксперимент (ПФЭ)
Полный факторный эксперимент позволяет оценивать линейные эффекты и эффекты взаимодействия при большом числе независимых переменных. В полном факторном экспе-рименте для каждого фактора выбирается определенное число уровней К и затем осуществ-ляются все возможные комбинации уровней. Недостатком полного факторного эксперимента является необходимость одновременной постановки большого числа опытов, так как с рост-ом числа факторов п число опытов N растет по показательной функции:
N = Kn
При варьировании каждого фактора на двух уровнях ( + 1) и (—1) число
возможных комбинаций (опытов)
N = 2n
Матрица факторного плана составляется по правилу: частота смены знака (уровня) каждого последующего фактора вдвое меньше предыдущего. В табл.4.1 приведен план серии опытов для п = 3.
Каждый столбец матрицы называется вектор - столбцом, а каждая строка — вектор -строкой.
Часто для сокращения записи матрицы вводят буквенные обозначения строк. Пусть х1 соответствует буква а, х2—b, х3—с и т. д. Если для матрицы планирования (см. табл. 4.1) выписать буквы только для факторов, находящихся на верхних уровнях, то каждой строке будет соответствовать единственная комбинация из букв. Опыт со всеми факторами на нижних уровнях обозначается (1). Тогда та же матрица может быть записана в тексте: (1), а, b, аb, с, ас, bс, аbс.
Таблица 4.1
Полный факторный эксперимент для трех факторов позволяет оценить раздельно основные эффекты А, В и С, эффекты взаимодействия первого порядка АВ, ВС и АС, а так же взаимодействие второго порядка АВС.
Матрицы полных факторных экспериментов обладают особыми свойствами, позволяющими эффективно использовать их при исследованиях:
- каждому набору значений одного фактора на любом уровне соответствует равное количество +1 и —1 из любого столбца матрицы, поэтому средний уровень влияния прочих эффектов равен нулю. В результате отсутствует корреляция между факторами, и коэффи-циенты регрессии определяются независимо друг от друга;
- матрица является ротатабельной. Это значит, что точность предсказания значений параметра оптимизации одинакова на равных расстояниях от центра эксперимента и не зависит от направления. Дисперсии значений параметра оптимизации равны для точек, расположенных на одинаковых расстояниях от центра планирования; дисперсии для всех коэффициентов уравнений равны и минимальны.
Для оценки дисперсии воспроизводимости обычно ставят несколько параллельных опытов в центре эксперимента при хj = 0. Иногда целесообразно также дублировать всю матрицу планирования, определяя средневзвешенную дисперсию воспроизводимости.
Выбор нулевой точки (центра эксперимента) соответствует оптимальным значениям факторов на основе априорной информации, опыта экспериментатора и результатов исследования аналогичных объектов.
При выборе интервала варьирования Δх = 1 руководствуются следующим:
- все значения факторов в матрице должны быть реализуемыми, т. е. должны находиться в области существования данных факторов.
- величина интервала от +1 до —1 должна существенно превышать ошибку фиксирования данного фактора.
Благодаря свойствам симметричности и ортогональности возможен простой прием получения коэффициентов математической модели поверхности отклика; Выведем формулу коэффициентов, исходя из простого примера методом наименьших квадратов (МНК). Пусть имеются два фактора х1 и х2 и матрица полного факторного эксперимента. Функция отклика имеет вид
Так как МНК основан на минимуме суммы квадратов ошибок
то, взяв частные производные по а0, а1 и а2, получим после преобразований
Общая формула для расчета коэффициентов
,
где j– номер фактора, j=1, 2, …k; i – номер опыта, i = 1, 2, …N.
Для а0 все х0i =+1.
Коэффициенты уравнения (или линейной модели) показывают степень влияния данного фактора на параметр оптимизации, а также показывают, на какую величину изменяется этот параметр при изменениях фактора от нулевого уровня до верхнего.
Часто используется понятие эффект фактора, который численно равен удвоенному коэффициенту и соответствует вкладу фактора в изменение параметра оптимизации при переходе фактора с нижнего уровня на верхний.
Полный факторный эксперимент позволяет получить линейную модель процесса.
Полным факторным экспериментом следует пользоваться лишь тогда, когда имеется уверенность в том, что функция отклика в пределах пространства варьирования факторов линейна или линейное приближение удовлетворяет исследователя.