4.4. Эффективная масса электрона

Согласно формуле де Бройля, импульс свободного электрона связан с его волновым вектором k следующим соотношением:

,

а скорость поступательного движения электрона

(4.38)

Дифференцируя (4.25) по k, получим

.

Подставляя это в (4.23) и (4.38), найдем:

,. (4.39)

В таком виде выражения для импульса и скорости поступательного движения оказывают справедливыми не только для свободных электронов, но и для электронов, движущихся в периодическом поле кристалла. Импульс р в этом случае называют квазиимпульсом электрона.

Создадим в кристалле внешнее поле Е. Это поле действует на электрон с силой

,

сообщая ему ускорение

.

За время dt сила F производит работу

.

Эта работа идет на приращение энергии электрона dE:.

Отсюда находим . Подставляя это в правую часть выражения дляа, получим

. (4.40)

Выражение (4.40) является аналогом второго закона Ньютона, вследствие чего величина

, (4.41)

имеющая размерность массы получила название эффективной массы электрона.

Эффективная масса не является массой в обычном понимании. Это понятие удобно для описания движения электрона в внешнем поле так, как описывается движение свободного электрона. Эффективная масса может быть как положительной, так и отрицательной: по абсолютному значению она может быть как во много раз больше, так и во много раз меньше массы m покоя электрона. Кроме того m_eэф в кристалле может изменяться с изменением его волнового вектора (рис.4.9).

Рис. 4.9. Зависимость энергии (а), скорости (б) и эффективной массы (в) электрона от волнового вектора

Для электронов, располагающихся у дна зоны, энергия , вторая производная от нее по k равна . Подставляя это в (4.41), получим следующее выражение для эффективной массы электрона:

. (4.42)

Так как А_Д>0, то m_n>0. Таким образом, электроны, располагающиеся у дна энергетической зоны, обладают положительной эффективной массой. Поэтому во внешнем поле, созданном в кристалле, они ведут себя нормально, ускоряясь в направлении действующей силы. Отличие таких электронов от свободных состоит в том, что их эффективная масса может значительно отличаться от массы покоя. Из (4.42) видно, что чем больше А_Д, т. е. чем шире разрешенная зона, тем меньше эффективная масса электронов, располагающихся у дна этой зоны.

Для электронов, находящихся у вершины зоны, энергия , вторая производная от Е по k равна d²E/dk²=-2А_ва² и эффективная масса

. (4.43)

Она является величиной отрицательной. Такие электроны ведут себя во внешнем поле, созданном в кристалле, аномально: они ускоряются в направлении, противоположном действию внешней силы. Абсолютная величина , и в этом случае определяется шириной энергетической зоны: чем шире зона, тем меньше .

Выясним теперь, чем обусловлено столь «странное» поведение электрона в кристалле.

Для свободного электрона вся работа А внешней силы F идет на увеличение кинетической энергии поступательного движения:

.

Дифференцируя E_к дважды по k, получим d²E_к/dk² =ћ²/m. Подставляя это в формулу (4.41), найдем т_эф = т. Таким образом, эффективная масса свободного электрона равна просто массе покоя. Иначе может обстоять дело с электроном в кристалле, где он обладает не только кинетической, но и. потенциальной энергией. При движении его под действием внешней силы F часть работы этой силы может перейти в кинетическую энергию , другая часть — в потенциальную энергию U, так что А = +U. В этом случае кинетическая энергия, а следовательно, и скорость движения электрона будут возрастать медленнее, чем у свободного электрона. Электрон становится как бы тяжелее, двигаясь под действием силы F с меньшим ускорением, чем свободный электрон.

Если вся работа внешней силы будет переходить в потенциальную энергию U электрона, т. е. А =U, то приращения кинетической энергии и скорости движения электрона происходить не будет – электрон будет вести себя как частица с бесконечно большой эффективной массой.

Наконец, если при движении электрона в потенциальную энергию будет проходить не только вся работа внешней силы F, но и часть кинетической энергии , имевшейся у электрона, так что U=А+, то по мере движения скорость такого электрона в кристалле будет уменьшаться, он будет замедляться, ведя себя как частица, обладающая отрицательной эффективной массой. Именно так и ведут себя электроны, располагающиеся у вершины энергетической зоны.

Однако в кристалле может реализоваться и случай, когда при движении электрона под действием внешней силы F в кинетическую энергию переходит не только вся работа внешней силы, но и часть потенциальной энергии электрона U', так что =А + U. У такого электрона и скорость будут расти быстрее, чем у свободного электрона. Он становится как бы легче свободного электрона, обладая эффективной массой т_эф < т.

У дна зоны (вблизи k = 0), пока с увеличением k энергия Е(k) электрона растет примерно пропорционально k², скорость поступательного движения электрона увеличивается пропорционально k, ускорение движения положительно и эффективная масса сохраняет постоянное положительное значение т_n. В точке А перегиба кривой Е(k) вторая производная d²E/dk²= 0, а первая производная dE/dk достигает максимума. Поэтому при приближении к этой точке , а. За точкой перегиба dE/dk начинает убывать, поэтому убывает и ; ускорение становится, таким образом, отрицательным, что при сохранившемся направлении действия внешней силы F эквивалентно изменению знака эффективной массы с положительного на отрицательный. При этом может измениться и абсолютная величина , еслименяется кривизна кривой Е(k), пропорциональная d²E/dk². У вершины зоны Е(k) снова становится квадратичной функцией k и эффективная масса достигает постоянного отрицательного значения