§4. Алгебра матриц
Матрицейназывается прямоугольная таблица из чисел, содержащая некоторое количествоmстрок иnстолбцов, при этом числаmиnназываются порядками матрицы. Если m = n,матрица называетсяквадратной, а числоm = n- еепорядком.Длязаписи матриц используютсяследующие обозначения:
,
(1.33)
где числа aijназываютсяэлементами матрицы A. Вслучае, если m = n иопределитель матрицыdetA №0, матрицаA называетсяневырожденнойи для нее можно найти обратную матрицу.Обратнойпо отношению к данной матрицеA называется матрицаA-1, которая, будучи умноженной как справа, так и слева наA, дает единичную матрицу:
.
Матрица AT,полученная перестановкой строк со столбцами в матрице A,называется транспонированной. Квадратная матрицаAназываетсясимметрической, еслиAT = A, иортогональной, еслиAT A = E.
Характеристическим уравнением матрицы A называется матричное уравнение||A - lE|| = 0,в котором li-собственные(или характеристические)числа(или значения) матрицыA. Собственным вектором, отвечающим собственному числуli,называется вектор
,
который удовлетворяет матричному уравнению Ax = li x.Когда говорят о вычислении собственных чисел, то различаютполнуюичастичную проблемусобственных чисел. В полной проблеме вычисляют все собственные числа и соответствующие имсобственные векторы матриц, а подчастичной проблемой обычно понимают задачу нахождения одного или нескольких собственных чисел и соответствующих им собственных векторов.
В настоящем параграфе рассматривается несколько эффективных алгоритмов, реализующих как операции над матрицами, так и задачи решения полной проблемы собственных значений.
Задача определения собственных значенийисобственных векторов матриц имеет большое значение при решении очень широкогоспектра задач. Методы решения указанной задачи по типу примененной вычислительной схемы можно разделить напрямые(точные) иитерационные (приближенные).
В прямых методахпо некоторому правилу вычисляются коэффициенты матрицы с заранее известными свойствами, а затем собственные значения находятся как корни характеристического многочлена по какому-либо известному численному методу. После этого определяются собственные векторы, что считается не очень сложной задачей.
В итерационных методах коэффициенты характеристического уравнения не вычисляют, а составляют некоторые итерационные последовательности, позволяющие найти одно или несколько, а иногда и все собственные значения исходной матрицыА. Итерационные методы почти всегда более трудоемкие, однако они надежнее прямых методов, так как менее чувствительны к ошибкам округления.
К прямым можно отнести методы Крылова, Данилевского, Самуэльсона и др., а к итерационным - степенной и метод Якоби, или, как его еще называют, метод вращений. Последний метод считается наиболее эффективным из всех известных [Kpылов и др., 1972].