90Сложение взаимно перпендикулярных колебаний –

Допустим, что материальная точка (тело) может совершать колебания как вдоль оси x, так и вдоль перпендикулярной оси Y. Если возбудить оба колебания, материальная точка будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит от разности фаз колебаний. Выберем начало отсчета времени так, чтобы начальная фаза одного колебания была равна нулю. Тогда уравнения запишутся следующим образом:

x=A·cos(ωt)

y=B·cos(ωt+α) (22)

где α - разность фаз складываемых колебаний, A и B - амплитуды колебаний.

Выражения (22) представляют собой заданное в параметрической форме уравнение траектории, по которой движется тело, участвующее в обоих колебаниях. Чтобы получить уравнение траектории в обычном виде, нужно исключить из уравнений (22) параметр . Из первого уравнения следует, что: cos(ωt)=x/A (23) следовательно, sin(ωt)=±√(1-x2/A2) (24)

Теперь развернем косинус во втором уравнении из (22) по формуле для косинуса суммы (y/B=cos(ωt)·cosα-sin(ωt)·sinα) и подставим в него вместо cos(ωt) и sin(ωt) их значения (23) и (24). В результате получим: y/B=(x/A)·cosα∓sinα√(1-x2/A2)

Перенесем все члены без корня в левую часть уравнения и возведем его в квадрат. После несложных преобразований получим уравнение эллипса, оси которого повернуты относительно координатных осей: (x2/A2)+(y2/B2)-(2·xy·cosα/AB)=sin2α (25)

Ориентация эллипса и величина полуосей зависят довольно сложным образом от амплитуд A и B и разности фаз α.

Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу.

91 Фигуры Лиссажу Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний не одинаковы, то траектория результирующего движения имеет вид довольно сложных кривых, наз. фигурами Лиссажу.Фигуры Лиссажу позволяют найти частоту одного из колебаний, если известна частота другого. Это обусловлено тем, что кратность частот легко находится с помощью секущих, параллельных координатным осям.

92Дифференциальное ур-ниевынужденных колебаний и его решение

В любой реальный колебательной системе есть силы сопротивления (трения), действия которых приводит к уменьшению амплитуды и энергии колебаний. Такие колебания называют затухающими.

В этом случае, уравнение движения для системы на рис.27.3 будет иметь вид

.

Учитывая, что а силу сопротивления, которая обычно пропорциональна скорости, можно записать какгдеr– коэффициент сопротивления, т.е. коэффициент пропорциональности между скоростью и силой сопротивления, уравнение движения приобретает вид

.

Перенося члены из правой части в левую, поделив уравнение на mи обозначив,получим уравнение в виде

/

(9)

где - частота, с которой совершались бы свободные колебания системы в отсутствии сопротивления среды (собственная частота системы).

/

Коэффициент , характеризующий скорость затухания

/колебаний, называется коэффициентом затухания.

Решение уравнения (9) имеет вид