ЛЕКЦИЯ № 2

§ 4. ПРОИЗВОДНАЯ ФКП. УСЛОВИЯ КОШИ – РИМАНА

Пусть однозначная функция

w = f (z) определена в некоторой

окрестности конечной точки

У

z . Выберем в этой окрестности точку

z + ∆z ,

тогда ∆w будет приращением функции

f (z)

при переходе

от точки z к точке z + ∆z : ∆w = f (z + ∆z) − f (z) .

Т

Если существует конечный предел отношения

Н

∆w =

f (z + ∆z) − f (z)

∆z

∆z

при ∆z → 0 , то

й

1) функция f (z) называется дифференцируемой в точке z ;

2) этот предел называется производной функцииБf (z) в точке

z и обозначается

и

р

f (z + ∆z)− f (z)

′

′

lim

∆w

=

lim

.

(7)

w = f

(z)=

о

∆z→0

∆z

∆z→0

∆z

следует

′

при ∆z → 0.

Сле-

Из определения ∆w = f (z)∆z + γ∆z , где γ → 0

довательно, при ∆z →0

∆w → 0,

т.е. из дифференцируемости функ-

ции в некоторой точке

непрерывность функции в этой точке.

Обратное утвержден е, как и для функции действительной пе-

ременной, в общем случае неверно.

о

Выразим приращениеифункции ∆w, функции f (z) через приращение

функций u(xз, y) и v(x, y): w = f (z) = u(x, y) +iv(x, y);

∆z = ∆x +i∆y.

Тогда

∆w = f (z + ∆z) − f (z) =[u(x + ∆x, y + ∆y) +iv(x + ∆x, y + ∆y)] −

е

[u(x +∆x, y +∆y) −u(x, y)] +i[v(x +∆x, y +∆y) −v(x, y)] =

−[u(x, y) +iv(x, y)] =

Р

∆u(x, y) = u(x + ∆x, y + ∆y) −u(x, y) ,

= ∆пu(x, y) + i∆v(x, y),

где

∆v(x, y) = v(x + ∆x, y + ∆y) −v(x, y) .

Следовательно, формулу (7) можно переписать так:

′

∆u +i∆v

.

(8)

f (z)= lim

∆x

+i∆y

∆y→0

∆x→0

14

Выясним теперь при каких условиях ФКП будет дифференцируемой в данной точке. Здесь имеет место следующая теорема.

Теорема. Для того чтобы функция

f (z) = u(x, y) + iv(x, y) была

дифференцируема в точке

z = x + iy , необходимо и

достаточно, чтобы:

У

1) функции u(x, y) и v(x, y)

Т

были дифференцируемы в

точке (x, y) ;

Н

2) в точке (x, y) выполнялись условия Коши–Римана:

∂u

= ∂v

;

∂u

= −

∂v .

(9)

∂x

∂y

∂y

∂x

При этом для производной

f '(z)

справедливаБ

формула

и

р

й∂v ∂v

∂u

∂u

f '(z) =

∂x

+ i ∂x =

∂y −i ∂y .

т∆w

и

Д казательство

Необходимость.

Пус

оь функция

w = f (z) дифференцируема в

точке z . Тогда

lim

существует и конечен при приближении

о

∆z→0

∆z

z любым образом (т.е. этот предел не зависит

точки z + ∆z к т чке

от зак на стремленияз

∆z = ∆x +i∆y

к нулю).

Пусть сначала точка

z + ∆z

приближается к

z

по прямой, па-

случае

∆z = ∆x → 0. В этом

ралл льной действительной оси, т.е. пусть

Р

пформула (8) дает следуещее:

f

′

lim

∆u + i∆v

lim

∆u

+ i

∆v

=

=

(z)=

∆x→0

∆x

∆x→0 ∆x

∆x

(10)

=

lim

∆u

+ i

lim

∆v

=

∂u

+ i ∂v

∆x→0 ∆x

∆x→0

∆x

∂x

∂x

15

(т.к f '(z) существует по условию, то из (10) следует существование

∂u и ∂v ). ∂x ∂x

Если же точка z + ∆z приближается к z по прямой, параллель-

У

ной мнимой оси, то ∆z = i∆y → 0 и формула (8) дает следующее:

∆u +i∆v

∆v

∆u ∂v

Т

′

=

lim

−i

lim

=

−i

.

(11)

f (z)= lim

i∆y

∆y

∆y

∂y

∂y

∆y→0

∆y→0

∆y→0

Н

к ну-

Но предел (7) не должен зависеть от закона стремления

∆z

Б

лю, а потому (10) и (11) должны быть равны. Следовательно,

∂u + i ∂v =

∂v −i

∂u

,

∂x

∂x

∂y

й

∂y

и

отсюда и следуют равенства (9), что

требовалось доказать.

р

равенства

(9) и

Достаточность. Пусть тепе ь выполняются

u(x, y) и v(x, y)

дифференци уемы в точке (x, y) . Это означает, что

о

т

∂u(x, y) ∆x + ∂u(x, y) ∆y + α∆z ,

∆u = u(x + ∆x, y + ∆y) −u(x, y) =

и

∂x

∂y

з

∂v(x, y)

∂v(x, y) ∆y +β

∆v

=

∆x +

∆z

,

где

п

∂x

∂y

0;

lim β = 0

или lim α =

0;

lim β = 0.

lim α =

е

∆x→0

∆z→0

∆x→0

∆z→0

∆y→0о∆y→0

Р

Ис ользуя (8), ∆w можно представить в виде ∆w = f (z +∆z) − f (z) =

∂u

∂u ∆y

∂v ∆x +

∂v

= ∆u + i∆v =

∆x +

∆z

=

исполь-

+ i

∆y + (α + iβ)

∂x

∂y

∂x

∂y

зуя условия Коши–Римана, все частные производные поу заменим част-

ными производными по х

=

∂u

∆x −

∂v

∂v

∆x +

∂u

=

∂x

∂x

∆y + i

∂x

∂x

∆y + η∆z

16

=

здесь

η = α + iβ → 0

= ∂u

(∆x +i∆y)

+ ∂v

(i∆x −∆y) +η

∆z

=

∆z→0

∂x

∂x

здесь

i∆z = i∆x −∆y =

∂u

∆z +i ∂v

∆z +η∆z

.

Следовательно,

∂x

∂x

У

∆w

=

∂u

+i ∂v

+η. А это означает, что

lim

∆w =

∂u +i

∂v , что и тре-

∆z

∂x

∂x

∆x→0

∆z

∂x

∂x

Т

бовалось доказать.

Для функций комплексного переменного сохраняются все пра-

вила дифференцирования функции действительного переменного:

1)

( f (z) + g(z))'= f '(z) + g'(z);

Б

2)

( f (z)g(z))'= f '(z)g(z) + f

(z)g'(z);

Н

f (z)

'

f '(z)g(z) − f (z)g'(z)

3)

=

;

й

g(z)

g

2

(z)

и1

4)

f

П

[g(z)]'= f '[g(z)]g'(z) .

Функция

f (z)

называется д фференц руемой в области, если

имер

она дифференцируема в каждой точке этой области.

1.

т

ez

= ex (cos y +i sin y) = u(x, y)+iv(x, y),

Рассмотрим функцию

где

u(x, y) = ex cos y;

оv(x, y) = ex sin y.

Тогда

∂u

= ex cos y;

∂x

∂v

= ex cos y,

откуда ∂u

= ∂v ;

∂u = −ex sin y;

∂v = ex sin y, откуда

∂y

п

и∂x

∂y

∂y

∂x

з

∂u

= − ∂v .

∂y

∂x

Видимчто, условия Коши–Римана выполняются, следовательно,

функция дифференцируема, причем

Р

∂u

∂v

е(ez )'= ∂x

+i

∂x = ex cos y +iex sin y = ex (cos y +i sin y) = ez .

17

2. Рассмотрим функцию

z

= x −iy ;

z ≠ 0;

u = x;

v = −y . Имеем

∂u

=1;

∂v

= −1. Следовательно,

∂u

≠

∂v

. Условия Коши–Римана

∂x

∂y

∂x

∂y

не выполняются, функция не дифференцируема.

У

Пример 2

Т

Установить, являетсялифункция f (z)=

1

дифференцируемой(z ≠0).

z

Решение. Преобразуем функцию

Б

f (z)= 1 =

1

=

x −iy

=

x

−

y

i ,

2

2

2

2

2

z

x +iy

Н2

x + y

x

+ y

x

+ y

й

u(x, y)=

x

,

Коши

y

.

x

2

+ y

2

р

x

2

+ y

2

(x

+ y

)

условий(x + y )

Проверим выполнение

–Римана:

т

2

2

2

2

∂u(x, y)=

(x

2

+ y

)

− 2x

=

y

− x

;

∂x

2

2 2

2

2 2

з

− (x2

+ y2 )+ 2y2

x2 − y2

∂v(x, y)

и=

= −

.

п

∂y

(x2 + y2 )2

(x2 + y2 )

е

о

∂u(x, y)

=

∂v(x, y)

.

Р

Сл довательно,

∂x

∂y

Аналогично

18