Таблица 2.1.
	Параметры основных земных эллипсоидов
Эллипсоид		Экваториальная	Погрешность,	Сжатие,
		полуось а, м	а, м	Α
WGS-84		6 378 137	+ (0,6 – 0,9)	1/2 98,2572
ПЗ-90.02		6 378 136	– (0,1 – 0,4)	1/298, 2578
Красовского	(СК-	6 378 245	+ 109	1/298,3
42)

Как видно из таблицы 2.1, параметры систем координат WGS-84 и ПЗ-90-02 различаются на малые величины. В таблице даны оценочные показатели погрешностей их определения. В настоящее время разрабатываются методы совместного использования в геодезии созвездий ИСЗ различных систем. Ведутся работы по созданию и совершенствованию аналогичных спутниковых систем в ряде других стран.

Следует отметить, что параметры земного эллипсоида Ф. Н. Красовского в СК42 для своего времени отличаются наибольшей точностью в сравнении со всеми известными тогда параметрами земного эллипсоида, полученными на основе традиционных методов градусных измерений.

2.2.Метод проекции в геодезии

2.2.1.Центральная проекция

Чтобы изобразить объемный предмет на плоском чертеже, применяют метод проекций. К простейшим проекциям относятся центральная и ортогональная проекции. При центральной проекции (рис.2.4, а) проецирование точек объекта на плоскость Р1 проекции выполняют линиями, исходящими из одной точки S, которая называется центром проекции.

Для получения центральной проекции исходного четырехугольника ABCD из центра проекции S через точки A, B, C, D проведем линии проецирования до пересечения с плоскостью проекции Р1, получим точки a, b, c, d, представляющие проекции точек A, B, C, D.

2.2.2.Ортогональная проекция

Вортогональной проекции (рис. 2.4, б) от точек A, B, C, D проведем перпендикуляры к плоскости проекции P1 и получим на ней ортогональные проекции a, b, c, d соответствующих точек.

2.2.3. Горизонтальная проекция

Для случая применения ортогональной проекции наклонной линии длиной D на горизонтальную плоскость отвесными линиями на рис. 2.4, в иллюстрируется схема к вычислению горизонтального проложения s наклонной линии ограниченной длины по формуле

s = S соs ν,

где S – длина наклонной линии; ν – ее угол наклона.

Рис. 2.4 ,б. Центральная (а) и ортогональная (б) проекции

Рис. 2.5. Горизонтальное проложение наклонной линии

2.2.4. Высотная координата и превышение

Высотная координата точки определяется над поверхностью относимости, например, над уровнем Балтийского моря. На практике высоты (альтитуды) точек часто именуются отметками во избежание путаницы между понятиями «высота объекта» и «высота объекта над уровнем моря».

Отметка точки ‒ это численное значение ее высоты над поверхностью отно-

симости. Разность высот или альтитуд или отметок двух точек называется превышением одной точки относительно другой и обозначается буквой h, например, в ортогональной проекции для малых участков, принимаемых плоскими (см. рис. 2.5) превышение точки А над точкой М:

h = HА ‒ HМ.

(2.1)

При ограниченных площадях геодезических работ в определенных пределах допускается заменять сферическую поверхность проецирования плоской горизонтальной поверхностью в таких случаях проецирование отвесными линиями (по направлениям силы тяжести в каждой точке) не приводит к значительным искажениям проекции, но на значительных площадях возникают искажения проекции, которые следует оценить на условие допустимости применения ортогональной проекции.

2.3. Расчет влияний кривизны Земли при замене участка сферы плоскостью

2.3.1 Влияние кривизны Земли на проецирование расстояний

Как уже отмечено, небольшой участок сферической поверхности при определенных условиях можно принять за плоскость. Применение модели плоской поверхности при решении геодезических задач возможно лишь для небольших участков поверхности Земли, когда искажения проекции, вызванные заменой поверхности сферы или эллипсоида плоскостью невелики и могут быть вычислены по простым формулам.

Рассчитаем, какое искажение получит дуга окружности, если в центральной проекции получить ее изображение на плоскости, касательной к сфере. На рис. 2.6,

а точка O ‒ центр сферы (в данном сечении сферы точка O ‒ центр окружности

Т0G0); дуга ТоСо радиусом R стягивает центральный угол α. Проведем касательную плоскость ТоС1 к сфере в точке Т0.

Согласно рис. 2.6, а расстояния D и S между проекциями точек Т и С на плос-

кость (точки Т0 и	С1) и на сферу (точки Т0 и С0) различаются за счет фактора
кривизны Земли	на абсолютную величину

S = D – S = R tg α – S,

(2.2)

где угол α = S / R выражен в радианах.

Используем разложение tg α в ряд, ограничиваясь двумя первыми его членами,

т.е.

tg α = α + α3 / 3 + …

(2.3)

Подставив в формулу (2.2) значение (2.3) и приняв во внимание, что α = S / R, после преобразований находим

	S = S3 / 3R2.	(2.4)
Относительная характеристика	/ S значимости разности длин D и S полу-
чается из формулы (2.4):
	S / S = S2 / 3R2.	(2.5)

Рис.2.6. Учет кривизны уровенной поверхности:

а – при измерении расстояний и превышений; б при строительстве тоннелей; →N← ‒ направления сточных вод внутрь прямолиненйного тоннеля М1Т1; ←B→ ‒ сток вод от возвышенной средней части тоннеля

Определим на сферической поверхности размеры участка, в пределах которого можно не учитывать влияние фактора кривизны при условии, что допускается относительная величина искажения длины S / S = 1 / 1 000 000 (1 мм / 1 км). Решив уравнение (2.2) получаем S = D = 11 км – радиус участка, который отвечает по-

ставленному условию. Если принять иную величину допуска, например S / S= 1 / 200 000 (5 мм / 1 км), то плоским можно считать участок на сферической и уровенной поверхности радиусом 25 км.

2.3.2. Влияние кривизны Земли на определения превышений

Фактор кривизны Земли учитывается также при измерении превышений между точками на плоскости. Определим расстояния, при которых необходимо учитывать соответствующие поправки в превышения. При рассмотрении данного вопроса используем шаровую модель Земли.

Пусть точки Т0 и С0 – вертикальные проекции точек Т и С поверхности Земли на сферу по радиусам R = ТО и R = СО (см. рис. 2.6, а). В точке Т0 проведем горизонтальную линию Т0С1 – касательную к сфере. Точка С1 представляет вертикальную проекцию точки С на касательную Т0С1, а вертикальное расстояние C0С1 = h выражает влияние фактора кривизны на высоту точки, определяемой на местности относительно горизонтальной плоскости. Из треугольника ОТ0С1 следует, что

(R + h)2 = R2 +D2	(2.6)
или
R2 + 2R h + ( h)2 = R2 +D2.	(2.7)

В последнем выражении примем слагаемое ( h)2 = 0 по его малости в сравнении другими слагаемыми и заменим D на S по незначительности их расхождения на ограниченных расстояниях, тогда 2R·Δh = S2, откуда

h = S2 / 2R.

(2.9)

Для различных расстояний S при R = 6371 км по формуле (2.7) вычислим значения h и получим следующие результаты (табл. 2.3). Влияние кривизны Земли на значения измененных превышений учитывают в зависимости от точности геодезических работ.