Eschrig - Theory Of Superconductivity, A Primer
.pdfTHEORY OF SUPERCONDUCTIVITY
A Primer
by
Helmut Es hrig
Dire tor offorthe Institute for Solid State and Materersitals Researhnologyand Professor Solid State Physi s, Dresden Univ y of Te
These le ture notes are dedi ated, on the o assion of his eighties birthday on 4 July 2001,
to Musik Kaganov
who has done me the honor and delighpartof his friendship ver de ades and whom I we gr at of an attitude to ards Theoreti al Physi s.
2
Contents |
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1 |
INTRODUCTION |
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2 |
PHENOMENA, LONDON THEORY |
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1 |
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Phen |
. . |
. . . . . . . . . . |
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2 |
2 |
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Londomenatheory |
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3 |
3 |
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Gauge symmetry, London gauge |
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THE THERMODYNAMICS OF THE PHASE TRANSITION |
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1 |
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ergy . |
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2 |
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Fr e Enthalpy |
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3 |
3 |
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The the |
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i riti al eld |
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4 |
4 |
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Heat aparmodynait jump |
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THE GINSBURG-LANDAU THEORY; TYPES OF SUPERCONDUCTORS |
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1 |
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La dau theory . |
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3 |
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Gin burg-Landau par meter |
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2 |
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intermed |
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equ tions |
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1 |
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ofboundaryMIXEDype s pe ondu tor |
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4 |
4 |
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phas boundary . . . . . . . . |
. . . . . . . . . |
||||||
5 |
5 |
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energy of the phase |
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||||||
INTERMEDIATE STATE, |
|
STATE |
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5 |
3 |
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ux line iate stateype |
IIsuper ondu tor . . . . |
||||||
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6 |
2 |
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Mixed state of type II |
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6 |
2 |
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The . . Josephson e e t |
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JOSEPHSON EFFECTS |
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, quantum interferen e |
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1 |
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d |
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ts |
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7 |
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1 |
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Slater |
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MICROSCOPIC THEORY: THE FOCK SPACE |
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3 |
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O upationdeterminanumber representation |
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7 |
2 |
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The F |
k spa e |
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8 |
4 |
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Field operators . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
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MICROSCOPIC THEORY: THE BCS MODEL |
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8 |
1 |
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Fermi liquid as |
quasi-parti le gas |
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4 |
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normalgoliubov-Valatin transformation |
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2 |
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Cooper problem . |
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. . . . . . . . . . |
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9 |
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3 |
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Hamiltoni |
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MICROSCOPIC THEORY: PAIR STATES |
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1 |
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BCS ground state |
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2 |
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The pair fun tion . . . |
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. . |
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9.3 |
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Non-zero temperature |
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10 MICROSCOPIC THEORY: COHERENCE FACTORS |
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1 |
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modynam state |
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2 |
harge and spin moment densities |
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3 |
Ultraso |
i attenuation |
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. . |
. . . . . . . . 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|||
|
10.4 |
The spin sus eptibility |
|
4
56
1372
45
176
80
253
3278
375
89
420
67
512
553
76
1 |
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|
INTRODUCTION |
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the phenom nologi al and |
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theo y of |
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r ondu tiv- |
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These le tu |
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intr du e in |
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ity. |
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Nowhere anynotespe i |
le trto |
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- |
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the mi ros opi |
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ha ism of super ondu tivity is |
|
l |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
although |
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few o asions |
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in |
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ioned as an example. |
The |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||
presup |
|
ositions |
are ex lusiv ly guided by |
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|
andmek ptqualitativeto minimum in order to a rivmadeat |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
A |
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presen |
there are indassumptionphonona of -phenomenaphonontera tion |
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|
of |
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ivity, |
, |
yet |
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|
is no |
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rd proof up to now. |
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The whole of this treatise w hanismsply to any me |
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indi ated m |
di ati |
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ns, for |
ns |
anner |
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of the order parameter di er |
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t from isotroppossiblywhtheoreti th |
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resultsha been h |
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for thesimplesak f simpli it . |
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readily |
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phen |
reasonablyogi al approa h the te hni al presentation is standard throughout, so that |
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a |
|
prime . For |
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hanistreated. Referen es |
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This is |
ba |
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onsidered phenomenon,ouldly the simplest as |
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are giv |
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i al |
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to the most |
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importansymmetryseminal |
riginal |
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paperssuper. Despitondu the abo |
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mention |
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to the neededmenovel before they are |
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ed. Basi notions of Q |
antum Theory |
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of |
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introdu ed |
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More |
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van ed |
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tools |
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eld quantization and the quasi-parti le on ept |
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properChaptery of the quantum ground state. Thermoelthe tri s, ele trodynami s andsupergaugeonduopertiestivitThermodynamiars |
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strimpat |
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to |
the existing li eratu . |
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In |
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2, |
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aftertheoretishortal |
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1 |
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of |
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essential |
h nomena of |
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, |
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enum r |
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leading tothe |
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of all |
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introduto yp ondensI II. The |
as |
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phasethermodynamiagram of |
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London |
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he ryStatistiderivedal from |
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sole assumption that the super urren |
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ele tri al urr |
|
is |
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(as well as |
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Physi s in a few o asions) are presu |
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osed as known. |
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With |
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help of simple |
thermo |
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ynami |
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lations, the |
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ion |
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nergy, the |
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riti al |
eld and the spe i heat are onsidere |
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in Chapter 3. |
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dis ussed. |
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for spatially inhomogeneous s tuations, |
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In Chapt r 4, the Ginsburg-Landau theory is |
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|
The |
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lassifourationpters aresuperdevotedondu torsthe simpl st p |
enomen logsimplestal weak |
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
an |
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Josephson e e ts |
re qualitatively onsi |
ered |
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the basis |
of |
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G nsburg-Landau theory in |
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ype II |
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is obtained in Chapter 5. |
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Chaptisotropi6. Both, |
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. . and a. . e e ts are treate . |
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f the phenomupling theoryn. F |
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understanding of |
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super ondutivity,tor |
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46 years after the exp rimental dis overy |
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of supe |
ondu tivity |
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|
mi ros opi lev l, the BCS th ory whi h gavthehe rst |
|
|
tum the reti al |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
this purpose,remainingChapter 7 |
|
Fo k spa e and the |
|
|
of |
|
quantizati |
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|
is introdu d. Then, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The |
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ture of thesuperhargedondubosoni ondeinsate, phenomenon eptlogi ally introdu d in |
Chapter 2, is de ived |
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8, |
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|
Coop |
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|
and the |
BCS model are treat ldwith o |
upationquanumber operators |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
of quasi-parti le states whitheoremlatter are |
|
trodu ed |
|
|
w rking appro |
si |
|
|
in Solid State |
Physi s. |
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here the essential |
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sult. The treatise is losed withas onsideration of b |
xamples oftemperaturethe impo tant |
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Chapter |
9 as |
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ondensate of |
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pairs. The ex itation gap ximationfun tion of |
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is |
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uperpeausingulationsondu tivitpossible |
|
auses of |
|
sup r ondu tivity |
|
shouladditionalprovidetheoristsnew ommer to thetroduele |
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notion of oherenthe |
fa tors. |
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symmetry, real stru ture feastures of |
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olid (for |
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|
By |
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pe ifying more details as lowCooperpoin |
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pinning |
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f vort x lines) and many more, a lot |
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onsideratio instanw ld |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
be possible |
without |
sp ifying |
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mi ro opi me hanism of the at ra tiv |
|
inthera tion |
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|
to |
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y. |
|
However, thes |
|
|
are |
just |
the |
|
|
|
f |
one-termtheoretiw -hoursal |
le ture |
toleading |
y |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
to the spirit of this kind of theortheti al approa h,notes only |
|
|
|
ressing |
|
|
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|
|
. In our days of liv |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
(again not just the theorist) with a safe ground to starit out. |
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1964, |
and R. D. Parks (ed.), Super ondu tivity, vol. I and IIhrieDekker,er, |
New York, 1969. |
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Two lassi s are re ommended f r more details: J. R. S |
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Theory of Super ondu tivity, Benjamin, New York, |
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4 |
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Figure 1: Resistan e in ohms of a spe imen of mer ury |
ersus absolute temperature. This plot by |
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Kamerlingh Onnes marked the dis overy of super ondu tivity. (Taken from: Ch. Kittel, Introdu tion |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
to Solid State Physi s |
|
Wiley, New York, 1986, Chap. 12.) |
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2 |
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PHENOMENA, LONDON THEORY |
. By exhausting the |
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|
vapor |
|||||||||||||||||||||||||||
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|
was st lique ed by Kammerling Onnes at L |
den in |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
Heliumabov the liquid the temperature ould soon |
|
|
|
|
ere down 1908to.5K. |
|
|
1 |
that in purehelium r ury |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
Shortly aft rwards, |
|
|
|
y |
1911, it was f und |
|
|
|
sa |
|
laborato y |
|
||||||||||||||||||||
the ele tri al res stan e disappeared abruptly |
elow |
riti al temperature, |
T |
|
|
= . . |
|
the phe- |
||||||||||||||||||||||||||
no |
|
Deliberately |
|
|
|
|
|
le |
|
ron s att ringbey mak |
|
the |
|
|
|
impure did not |
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
. Shortly th |
|
eaftthe |
|
he same e e t was |
found in indium (3.4K), t |
(3.72K)a e t |
|
in lead |
|||||||||||||||||||||||
in the A15 ompoundsn reasingw found nd igher T -values appeared up |
|
T = 23.2K in Nb3Ge, in 1973. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
(7.19K). In 1930, |
uper ondutivity was fou |
in niobium (T |
= 9.2K) and |
|
i |
1940 |
in the metalli |
|||||||||||||||||||||||||||
GeTe, S Tmaterials(T 0.1K,Cohen 1021 m 3) and |
|
|
SrTiO3 |
(T |
= |
.38K at n |
1021 |
m 3 |
, ertaT |
|||||||||||||||||||||||||
ompouenond NbN (T = 17.3K)r, and this remai |
|
ed the highest |
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
n |
T until the 50's, when super ondu tivity |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
These |
|
|
were all orm l metals |
more or |
|
good ondu tors. |
|
|
.1K for |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
In 1964, Marvin L. |
|
|
|
made theoreti al |
predi tiless |
of T -values as high as |
|
|||||||||||||||||||||||||
fermion systems" lik superUBe13ondu(T tivit1K in both ases). The |
|
ear 2000superN belondupri etivitin Chemistry was |
||||||||||||||||||||||||||||||||
doped |
|
|
|
|
|
and in the same year |
|
|
|
the foll |
wingmerears,ury |
|
|
|
|
|
y was found in |
|||||||||||||||||
0.1K |
|
semi ondu10 tors,m ). |
|
|
y was f und |
|
everal |
ondu ting lyme s as w |
l as in \heavy |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
In |
|
he early 80's, |
3 |
|
|
|
|
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dedi ated |
|
18 |
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||||||
tho the |
predi tion and realization of ondu ting polymers (syntheti metals) in the late |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
70's. |
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H. |
|
K. |
|
Commun. |
Phys. Lab. Univ. Leiden, No124 (1911); H. K. Onnes, Akad. van Wetens happen |
|||||||||||||||||||||||||||
(Amsterdam)Onnes,14 818 (1911). |
|
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5 |
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September, 1993 |
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(under pressure) |
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April, 1993 |
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Tl−2223 [ |
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September, 1992 |
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February, 1988 |
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January, 1988 |
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(K)c 100 |
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T |
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Shuttle |
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Y−123 |
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January, 1987 |
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80 |
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Liquid |
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N2 |
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December, 1986 |
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(La−Ba)−214 [ |
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(under pressure) |
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(under p essure) |
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Liquid |
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Nb3Ge |
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pril, 1986 |
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20 |
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H2 |
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NbN |
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NbC |
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l−Ge |
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onin:FigurePhysiB.Batlogg,2:s,TheMaterialsevolutionC.W.andChu,of |
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Liquid |
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AppliTWwith.Kations,. ChutimeDWorld(from.U.GubserCS.ientiW. Chu,and,Singapore,KSuper. A. M•ullerondu1996(La,Sr)tivity(eds. . .AbovePro .90KHTSandWorkshopBeyond |
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V3Si |
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CuO with T |
= 36K, |
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In 1986, Georg Bednorz and Alex M•uller found super ondu tivity in |
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He |
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2 |
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4 |
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an in redible new |
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Hg |
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Nb |
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1960 |
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1980 |
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2000 |
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Within months,reTord-values in uprates were shooting up, and the re ord is now at T 135K. |
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2.1 |
Phenomena |
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Z ro |
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2 |
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No |
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is |
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even for high s attering rates of ondu tion ele trons. |
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P rsistenresistanurrentse |
magn ally indudeteed intableoil of Nb |
|
Zr |
|
and wat hed with NMR yielded n |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
estimate |
of the de ay |
time stangreater than 10 years! |
(From theoreti al estimates the de ay time may |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
be as large as 101010 |
|
|
y |
|
ars!) |
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|
No S ebe k voltage, no Peltier heat, no Thomson heat is |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Absen e |
of th rmoele tri e e ts3 |
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dete table |
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5 |
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5 |
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0:75 0:25 |
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= 1. Weak magneti elds are omplet ly s reened w y from the bulk |
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Id al diamagnetism m |
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(see next se tion). |
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the presen e of a weak magneti eld, below |
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Meissn r e e t |
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If a super ondu tor is ooled down |
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of |
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up |
ondu tor. |
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Flux quan |
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4 |
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The magneti ux through a super ondu ting |
is quantized and onstan |
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T |
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he ld |
ompletely expelled from |
he bulk of the super ondu tor. |
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in |
time. |
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Thistizationphe omenon was theoreti ally predi ted by F. Londonring 1950 and experimentally |
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veri ed 1961. |
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1 |
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G |
Bednorz and K. A. M•uller, Z. Phys. B64 1 |
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86)33 . |
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2 |
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5W. Meissn |
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R. O hsenfeld, Naturwiss. 21,927)(1963)87 |
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3J. |
File and R. G. Mills, Phys. Rev. Lett. 10, 93 |
. |
. |
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4 |
B. S. |
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, Z. Ges |
K•alteindustrie 34, 197 ( |
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51 |
|
Deaver and |
|
W. M. Fairbank, Phys. Rev. Lett. 7, 43 (1961); R. Doll and M. N•abauer, Phys. Rev. Lett. 7, |
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(1961). |
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2.2 |
London theory |
1 |
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that the super |
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rren |
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(at T = 0) is a property of the quantum |
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T |
ere |
(a) and (b) learly |
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ust be an ele triindiallyateh rged ( |
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|
quantum |
q), hen e omplex bosoni eld |
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Phenomenaw i o denses in the ground state into hargema ros opi amplitude: |
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ground state: |
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is the orresponding eld amplitude. |
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where |
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means the bosoni density and |
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(1) |
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n |
B |
= j |
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j2 |
; |
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Sin e the eld is ele tri ally harged, it is subje t to |
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elds (E; B) whi h are usually |
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B |
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ele tromagneti |
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des ribed by potentials (U; A): |
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A |
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E = |
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U |
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; |
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(2ba) |
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rt |
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The eld amplitude should obey |
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B = |
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A: |
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S h •odinger equation |
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1 |
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~ |
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qA |
2 |
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= |
E B |
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(3) |
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2m |
B |
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i |
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hemi al potential |
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of the boson eld, sin e what |
||||||||||||||||||||||||||||||||
where the energy is reasonably measured from the |
|
|
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B |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
is measured in a voltmeter is rather the ele tro hemi al potential |
|
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(4) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
than the external potential U, or the |
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= |
B |
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+ qU |
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e ele tri eld |
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e e tiv |
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A |
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1 |
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E |
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= |
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: |
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(5) |
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t |
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q |
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r |
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As usual in Quan |
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is |
|||||||||||||||||||||
|
Me hani s, i~ = r is the anoni al momentum and ( i~ = r qA) = p^ |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
the me hani al |
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tum. |
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m |
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momen |
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r |
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|
m |
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|||||||||||||
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tumdensity is then |
|
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iq~ |
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super urren |
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q |
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p^ |
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B |
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A: |
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(6) |
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B |
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|
B |
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term)onst |
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|
B |
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7) |
|||||||||||||
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urren( ;t') = |
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It o |
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( rst |
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B |
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|
and |
|
|
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2 |
|||||||||||||||||||
sists as usual of a ` a amagneti |
|
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|
|
`diamagneti urrent' (se ond term). |
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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In a homogeneous super ondu tor, whe |
|
|
n |
B |
|
= |
|
|
|
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|
|
., we may write |
|
|
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p |
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i (r;t) |
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|||||||||||||
and have |
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js = q r A; |
B |
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(8) |
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= n q2 : |
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~ |
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mB |
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|||||||||
Sin e in the ground state E = , and E |
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= i~ |
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t, we alsoBhave |
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(9) |
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The |
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theory |
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~ |
t |
|
= |
: |
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|
limit, where nB |
|
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||||||||||||||||||||||||||
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|
erives from (8) and (9). It is valid in the London |
|
= onst. in |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F.Londonan |
|
|
|
H. |
|
|
|
Pro . Roy. So . |
|
A149, 71 (1935); F. Lo |
|
don, Pro . Roy. So . |
A152 24 (1935); F. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
London, Super andassumeui , WileyLondon, |
|
|
1950. |
|
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spa e |
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|
be |
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. |
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1 |
These are formal ames: sin e the splitting |
|
into the |
|
|
w |
|
|
|
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|
|
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|
|
|
t ontributio |
|
s depends on the gauge, it has o |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
de per phy al meaning. PhysiLondon,ally |
p |
|
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|
s |
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positivurrenresponse on an external magneti eld (enhan ing |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
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the eld inside the material) and diamaramagnetimeansmeanegative response. |
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7 |
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The time derivative of (8) yields with (9) |
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A |
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1 |
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js |
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or |
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t |
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q |
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j |
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= Ee |
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(10) |
||||||||||||||||||
This is the st |
L |
|
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don |
freely |
: |
|
|
|
|
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|
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|
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t s |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
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|
|
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|
|
b |
|
|
|
an applied v |
|
|
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|
|
or, in a bulk |
|
|
|
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A super urr |
|
|
is |
|
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|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
with no sup |
r urrenquationor awitheleratedsttionary |
super urrenoltage,there |
is no e e tivsuperele ondutri tore |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
( on |
an |
|
ele tro hemi al potential). |
|
|
London |
|
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|
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|
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|
|
uses |
|
|
|
ele tro |
mi hemia potentialal |
of |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ket hy illustrated |
Fig. 3. The r |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
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The rst London equation |
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abs n e of |
|
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if the |
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rmoe |
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|
- |
|||||||||||||||||||||||||||||
ials of |
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|
yields, and of |
|
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in |
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very |
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, , are e upledets, . The |
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|
|
e e ts |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
tare |
up r urren |
|
arrying ld to be |
onstan |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ary situati |
|
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|
|
potenar- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
rying |
ondu tionwith |
he ondu ti |
|
|
|
ele tronsuperldthermoeleurrenequationwi tri |
|
|
|
|
forming |
|
|
|
quantum with |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
into super urrenrea ts density at |
|
|
onethermoeleend of |
trisamplerelatedand |
|
ba k |
|
|
|
|
|
|
|
temperaturehe other end. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
q then the eleele trotrons,h mi al |
|
|
tentials |
|
|
|
|
ust be |
|
|
|
|
|
|
|
t: |
|
eleas ntrons= . Hen e the ele tro h mi al |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
pot |
tial of the |
|
|
|
|
|
|
ele trons |
|
ust also be |
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
no thermopower (Seebeldk v ltage) may |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ombineratures,tion of |
|
|
|
|
w metals. If there is no tem erature |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
transformationthe beginning, but a ur |
en |
is |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
devhargelop in |
super ondu tor. The |
|
|
|
|
|
|
t, with |
|
|
|
|
urren |
|
owing due to the |
of |
|
|
|
on |
di eren e |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
s |
n eled by |
|
|
onduk tionwi g |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ti |
|
uous |
|
|
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|
|
|
el |
|
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||
|
If |
|
|
then |
|
ba |
di ere |
|
super urren dev |
|
|
|
|
|
|
onstangetherwithtransformadi eren e of |
|
tro |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
loop of |
|
w |
|
|
normal |
|
|
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|
|
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|
|
is f rmed |
|
|
|
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|
|
the jun |
|
|
|
keptondua |
t |
|
ele trons- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
potenti |
|
ls of the |
|
w |
jun tions, and several forelopsof heat are |
|
|
|
|
|
|
|
|
everything depdindingeren |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
maintai |
|
betweenthermoelejun tionstri |
|
|
|
develondu tors. This is |
|
how |
|
|
produPelti metaled,oo |
works. In |
loop oftemwo |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
thering (by inserting |
|
|
|
pow |
|
|
|
supply |
|
to one of th |
|
|
|
|
|
halfs), |
then |
|
tem |
hemiural |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
di eren edu tors |
|
on of |
those phenomena |
an appear sin die aeren e |
n e of el tr |
|
|
|
p |
|
tentials |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
jun tions be ause of |
|
presen of |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
is |
|
|
|
|
|
|
|
|
supertheonduothertorside. This yieldshemidirethermoeleal t absoluttri |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
annot be main |
|
|
|
ed. Every normawill urren |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
hortir uit |
|
|
by super urrents. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
superrreno will ow in |
|
|
normal half without |
developing |
an el tro hemi al potential di eren e of |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
If, ho |
|
|
|
|
|
|
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|
super ondu tor |
|
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|
B in a loop, |
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||
|
ever, tai ormal metal A is ombined withally |
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
measurement of thethermoele tri theoÆ ients of a single material A. |
|
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|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
The url of Eq. (8) yields (with |
|
|
|
|
|
|
= 0) |
|
|
= B: |
|
|
|
|
|
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|||||||||||||||||||||||||||||||||||
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|
|
r |
|
|
|
|
|
|
j |
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|
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(11) |
||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
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|
||||||||||||||||||||
This is the se |
|
|
d London |
|
|
|
|
|
. It |
yields the |
ideal |
|
iamagnetism, the Meissner e e t, and the |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Take the url of Maxwell'sequation (Ampere's law) and |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
|
|
B |
|
|
2 |
|
B: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ux quantization. |
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
B = 0 |
|
js |
+ j |
|
; |
|
|
|
onsider= 0; |
r |
|
|
r |
|
|
|
|
r |
r |
|
|
|
|
(12) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
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|
|
|
|
r |
|
|
r |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
js + j |
|
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|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
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||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r2 |
B =8 |
0 |
B 0 |
r |
j: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
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|
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|
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|
|
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|
|
|
|
normal ondu tor |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
super ondu tor |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
T1 |
|
|
< |
|
|
T2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T |
1 |
|
|
< |
|
T |
2 |
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sup r ondu tor |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2;el |
|
|
|
|
|
n 1;el = |
|
|
thermoele tri urrent |
|
n 2;el |
|||||||
|
|
1;el |
normal ondu tor |
|
|
|
|
|
|
|
|
j |
T |
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ne ! q |
|
|
|
super urrent j |
|
|
q ! |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
Seebe k voltage |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
2 |
1 |
T2 |
T1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sin e j( ) = onst. |
|
|
|
|||||||||
fT1 ( 1;el) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f |
|
( |
|
) |
|
|
) |
js(t) = onst. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T2 |
2;el |
|
|
Ee = =q = 0; = 0 |
|
|
|
||||||||||||||
|
The |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
due to the rst London equation. |
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
e of the Fer distribution |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
a di eren e of el tro hemi al potentials |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
fun ti |
|
|
f |
|
|
in onne tion with a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
nononstanT |
|
nsity of states results in |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
due to the |
detailed balan e of urrents. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
O |
|
|
|
loop of two metals A and B: |
|
no total urrent |
|
|
|
||||||||||||
the |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
m's heat + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
tri |
|
|
|
|
A |
Thomson heat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
no heat |
|
|
|
|
||||||||||
urrmoeleen J |
|
|
T1 |
A( T; J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
T1 |
A |
|
T2 |
|
|
|
||||||||||
Peltier heat |
|
|
|
|
|
|
< |
T2 |
|
|
|
|
Peltier heat |
|
|
|
|
< |
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
heat + |
B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
|
||||||||||
BA(T1; J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
AB |
(T2 |
; J) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
ThoOhm'sm on heat |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
B |
( T; J) |
|
ondu tor |
|
|
|
T |
|
T |
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
normal |
|
|
|
1 |
< |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
super |
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
Js |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
Figure 3: Thermoele tri phenomena in9normal ondu tors and super ondu tors. |
|
|
|
= ne
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
js z= L |
|
|
|
B |
|
|
|
external eld B0 |
|
xz |
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
z |
L |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
super ondu |
|
|
|||||
If j = 0 or |
|
|
|
Figure 4: Penetration of an external magneti eld into a super ondu tor. |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
j = 0 for the |
|
2 |
|
|
|
|
|
urrent inside the supe |
|
mB |
|
then |
|
3) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = |
B ; L = s |
|
|
= r |
2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
normal |
|
L |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
onduqtor, |
|
|
|
|
|||||||||||||
with solutions |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B = B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
0 |
|
|
|
|
(14) |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
e n = L ; |
n2 = 1; |
|
0 |
= 0 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
several of whi h with |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
v tors |
|
y be |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
onditions. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
depth. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
imposed to ful ll |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
L is London's |
penetration |
|
|
|
o zero insidemabulk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
state withinboundarys |
rfa e layer |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Any |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
eld B is s reened |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
of thi kness |
L |
. It is |
|
ppropriatethaunit(11) does not |
tain time derivatives of the eld but the eld |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
B itself: If |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
importanapplied eld B |
|
|
is ooled down below T , the eld is expelled. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
metal |
|
0 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Considerexternal |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
super ondu ting |
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
with magneti ux pass- |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
ringthrough it (Fig. 5). B ause of |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
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(14) and (12), j |
s |
= 0 de |
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the ring on the ontour C. Hen , |
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(10), |
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E |
e |
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= |
E |
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0 |
insidether . |
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froF m Faraday's law,super( =ondu) Eting= |
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B, |
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dt |
Z |
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BdS = I |
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E l = 0; |
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d |
= |
A |
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dt |
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C |
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(15) |
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d |
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C |
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where A is a surfa e with |
bound- |
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C, |
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is the magn |
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ux |
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Figure 5: Flux through a super ondu ting ring. |
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th ough A. |
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Ev |
andif the |
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- |
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arysu fa e layer of the ring is ti |
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ing with time (for instan e, if |
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applied magnetisupereld urrenis hanging wi h time), the ux is not: |
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The ux through |
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super ondu ing ring is trapped. |
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Integrate Eq. (8) along the ontour |
C: |
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dl = |
~ I |
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dl: |
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I |
C |
A + j |
s |
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10 |
q |
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C r |
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