Синтаксическая, семантическая и прагматическая меры информации

Единицы количества информации, определяемые в рамках вероятностного и объемного подходов, представляют собой разновидности синтаксической меры информации, используемой при наиболее общем подходе, когда предметом рассмотрения является не только информация в узком смысле (например, обрабатываемая компьютером), но все ее виды, включая социальную.

Синтаксическая мера оперирует с обезличенной информацией, не выражающей смыслового отношения к объекту. Объем данных в информационном сообщении измеряется количеством символов (разрядов). В различных системах счисления разряды имеют различный вес, соответственно меняются единицы измерения данных. Примерами могут служить бит, нат, трит, дит. В рамках вероятностного подхода синтаксическая мера количества информации определяется степенью изменения неопределенности состояния системы, в рамках объемного подхода характеризует объем информации.

Семантическая мера используется для характеристики информации с точки зрения ее смысла. Семантический анализ дает возможность раскрыть содержание информации и показать отношения между смысловыми значениями составляющих ее элементов. В сочетании с понятием «тезаурус» семантическая мера называется тезаурусной мерой информации. Тезаурусная мера была предложена Ю.И.Шнейдером и получила широкое распространение. Тезаурус – это совокупность сведений, которыми располагает пользователь или система. Другое определение, не противоречащее первому: тезаурус – полнота систематизированного набора данных о предмете информации. В ходе информационного процесса в зависимости от соотношений между смысловым содержанием информации и тезаурусом пользователя изменяется количество семантической информации, воспринимаемой пользователем и включаемой им в дальнейшем в свой тезаурус. Максимальное количество семантической информации пользователь получает, когда информация ему понятна и несет ранее неизвестные ему (отсутствующие в тезаурусе) сведения. Приобретенное в ходе информационного процесса количество семантической информации является величиной относительной, так как одно и то же сообщение может иметь смысловое содержание для компетентного пользователя и быть бессмысленным (семантический шум) для некомпетентного. Мерой семантической информации может служить коэффициент содержательности, определяемый как отношение количества семантической информации к общему ее объему.

Прагматическая мера характеризует полезность (ценность) информации для достижения пользователем поставленной цели. Эта мера также является относительной величиной, зависящей от конкретных потребностей пользователя и условий протекания информационного процесса. В технической системе прагматические свойства информации определяют возможность улучшения качества функционирования системы.

Формы представления информации в ЭВМ. Системы счисления

В физической основе работы вычислительной техники лежит генерация, обработка и передача электрических сигналов. Электрические сигналы разделяют на аналоговые (непрерывные) и цифровые (дискретные). В вычислительной технике применяют цифровые сигналы. Каждому уровню напряжения (тока) ставят в соответствие определённую цифру. Соотнесение параметров электрического сигнала с цифрами отражает связь между техникой и математикой. Современные ЭВМ базируются на двоичной системе счисления, в которой имеются только две цифры – 0 и 1. Выбор в пользу этой системы обусловлен тем, что технически реализовать её проще, чем привычную для человека десятичную систему счисления.

Основной элемент электроники ЭВМ – транзистор, работающий в ключевом режиме. В этом режиме транзистор в зависимости от приложенного к нему напряжения реализует по принципу ключа два логических состояния: открыт ‑ закрыт или включён ‑ выключен. Два этих состояния сопоставляют 0 и 1 двоичной системы счисления - тем математическим объектам, с помощью которых кодируется любая информация, обрабатываемая компьютером. На уровне характеристик электрического сигнала «нулю» может, например, соответствовать напряжение минус 5 вольт, а «единице» - плюс 5 вольт. Или – 15 В и + 15 В. Абсолютные значения напряжений, которым сопоставлены логические состояния 0 и 1, для программной обработки информации несущественны и определяются оптимальными условиями функционирования электронных плат. В устройствах хранения данных информационные «нули» и «единицы» могут быть реализованы иначе: например, на магнитном диске состояниям 0 и 1 соответствуют разные направления вектора намагниченности; в накопителях Flash – отсутствие или наличие электрического заряда в данной микроскопической области вещества; в микросхемах ОЗУ – незаряженный или заряженный конденсатор.

Итак, внутреннее представление любой информации в компьютере является двоичным. В программировании также используются восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления. Кроме того, поскольку пользователем компьютера является человек, важна связь упомянутых систем счисления с десятичной.

Система счисления – принятый способ записи чисел – характеризуется количеством цифр, с помощью которых можно выразить любое число. Все системы счисления можно разделить на два класса: позиционные и непозиционные. Позиционные системы счисления – те, в которых вес цифр зависит от их местоположения в записи числа. Количество цифр в позиционной системе называется основанием системы счисления. Ниже в одном блоке собраны важные определения, относящиеся к системам счисления.

Цифры – символы, используемые в записи числа и составляющие некоторый алфавит.

Число – некоторая величина, которая складывается из цифр по определённым правилам.

Система счисления – способ записи чисел с помощью цифр.

Позиционная система счисления – система счисления, в которой вес цифры зависит от ее местоположения в записи.

Разряд – позиция цифры в числе.

Основание – количество цифр, используемых для записи чисел.

В компьютерах используются позиционные системы счисления.

Системы счисления,

получившие наибольшее применение в вычислительной технике

Основание	Система счисления	Цифры
2	двоичная	0, 1
8	восьмеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7
10	десятичная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9
16	шестнадцатеричная	0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F

Примером непозиционной системы счисления является римская. В этой системе используется 7 знаков (I, V, X, L, C, D, M), которые соответствуют следующим величинам: I – 1, V – 5, X – 10, L – 50, C – 100, D – 500, M – 1000. Обычно римскими числами пользуются при нумерации глав в книгах или веков в истории. Недостатком непозиционных систем счисления, исключающим возможность их использования в вычислительной технике, является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, невозможность выполнения арифметических действий над ними.

Рассмотрим представление числа в позиционной системе счисления. Начнём с простого примера. Пусть N – целое число. Оно может быть представлено краткой или развёрнутой записью. Краткая запись числа:

N = (a_na_n-1…a₁a₀)_p

Здесь a₀, a₁, … , a_n-1, a_n – цифры, находящиеся соответственно на нулевой, первой, … , (n-1)-ой, n-ой позициях в записи числа. Нумерация позиций, или разрядов, начинается с нуля и идёт справа налево. 0 – это младший разряд числа, имеющий наименьший вес; n – старший разряд с наибольшим весом. Число p – это основание системы счисления.

Например, в числе N = (6874)₁₀ цифра 4 представляет нулевой разряд, 7 – первый разряд, 8 – второй разряд, 6 – третий разряд. Вес разрядов увеличивается справа налево, от единиц до тысяч: 4 единицы – 7 десятков – 8 сотен – 6 тысяч. 10 – основание системы счисления – указывает, что это число записано в привычной для человека десятичной системе счисления и читается как шесть тысяч восемьсот семьдесят четыре.

Число N может быть представлено развёрнутой записью:

N = a_npⁿ + a_n-1p^n-1 + … + a₁p¹ + a₀p⁰

Здесь число N выражено в виде суммы, каждое слагаемое которой представляет произведение цифры на основание системы счисления, возведённое в степень, равную номеру позиции (разряду) этой цифры в числе:

цифра  (основание) ^{номер разряда}

Возвращаясь к рассмотренному выше примеру, приведём развёрнутую запись числа N = (6874)₁₀ :

(6874)₁₀ = 610³ + 810² + 710¹ + 410⁰ .

С развёрнутой формой записи числа связан универсальный способ перевода чисел из любой системы счисления в десятичную.

Например, требуется перевести шестнадцатеричное число (E7B)₁₆ в десятичную систему счисления.

Сначала нумеруем разряды числа – справа налево, от младшего разряда к старшим. Учитываем, что нумерация разрядов начинается с нуля.

Число	(E7B)16
разряды	2 1 0

На следующем шаге записываем число в виде суммы слагаемых типа цифра  (основание) ^{номер разряда} .

(E7B)₁₆ = E16² + 716¹ + B16⁰

   2 1 0    

Учтём соответствие цифр шестнадцатеричной и десятичной систем счисления: E – 14, B – 11. Тогда

(E7B)₁₆ = 1416² + 716¹ + 1116⁰

   2 1 0    

Выражение, находящееся в правой части, составлено целиком из десятичных чисел, и для получения конечного результата осталось только вычислить его по обычным правилам десятичной системы счисления.

(E7B)₁₆ = 1416² + 716¹ + 1116⁰ = 14256 + 716 + 111 = 3707

   2 1 0    

Итак, задача решена: (E7B)₁₆ = (3707)₁₀ .

Аналогичным способом выполняется перевод дробных чисел. Цифры, расположенные справа от запятой, соответствуют разрядам с отрицательными номерами.

N = (a_na_n-1…a₁a₀,a_-1a_-2…a_-k)_p

Рассмотрим перевод дробного восьмеричного числа (725,46)₈ в десятичную систему счисления.

Нумеруем разряды.

Число	(725,46) 8
разряды	2 1 0  -1-2

Записываем число в виде суммы слагаемых типа

цифра  (основание) ^{номер разряда} .

(725,46)₈ = 78² + 28¹ + 58⁰ + 48^-1 + 68^-2

   2 1 0 -1-2    

Произведём вычисления и получим результат в десятичной системе счисления.

(725,46)₈ = 78² + 28¹ + 58⁰ + 48^-1 + 68^-2 = 448 + 16 + 5 + 4/8 + 6/64 =

= 448 + 16 + 5 + 0,5 + 0,09375 = 469,59375

Итак, (725,46)₈ = (469,59375)₁₀.

Несколько сложнее выполняется перевод чисел из десятичной в иные системы счисления.

Методика основана на последовательном целочисленном делении с выделением остатков в качестве цифр искомого числа. Исходное число делят на основание системы счисления, в которую осуществляют перевод. Результатом целочисленного деления будет частное, представленное целым числом, и остаток. Этот остаток будет младшим разрядом искомого числа. Полученное на первом шаге частное снова делят на основание требуемой системы счисления, снова получают частное и остаток. Остаток сохраняют в качестве следующего разряда искомого числа. Деление продолжают до тех пор, пока очередное частное не окажется меньше основания требуемой системы счисления. Это частное будет старшим разрядом искомого числа. Из него и остатков, полученных на последнем и предыдущих шагах, формируют искомое число.

Разберём эту методику на примере. Пусть, требуется перевести число (894)₁₀ в семеричную систему счисления.

894 : 7 = 127, остаток 5

127 : 7 = 18, остаток 1

18 : 7 = 2, остаток 4

Последнее частное – 2 – меньше основания системы счисления, в которую осуществляется перевод, – 7. Теперь можно записать искомое число: (2415)₇.

Итак, (894)₁₀ = (2415)₇.

Логические основы ЭВМ

Алгебра логики. Логические высказывания

Предшественницей и составной частью алгебры, по правилам которой функционируют цифровые устройства ЭВМ, является алгебра логики. Эта алгебра оперирует логическими высказываниями, содержание которых можно оценить как соответствующее действительности (истина) или несоответствующее действительности (ложь).

Логическое высказывание – это повествовательное предложение, истинность или ложность которого можно оценить.

Примеры истинных высказываний: «вода – это жидкость», «после зимы наступит весна», «число 48 в 8 раз больше числа 6». Примеры ложных высказываний: «река Кама впадает в озеро Байкал», «воробей – это ястреб», «число 2 больше числа 3».

Пример 1

Задание	Варианты ответа
Укажите, какое предложение является высказыванием с точки зрения алгебры логики	1	Загрузите пакеты в машину.
	2	Площадь отрезка меньше длины куба.
	3	Все четные числа делятся на 2?
	4	10 не делится на 2.

В первом предложении глагол употреблен в повелительном наклонении. Побудительное предложение не может быть логическим высказыванием.

Второе предложение не является логическим высказыванием ввиду абсурдности понятий «площадь отрезка» и «длина куба».

Третье предложение является вопросительным, поэтому оно также не может быть логическим высказыванием.

Логическим высказыванием, причем ложным, является четвертое предложение.

Пример 2

Задание	Варианты ответа
Укажите, какое предложение является высказыванием с точки зрения алгебры логики	1	Юпитер – ближайшая к Солнцу планета.
	2	Берегись автомобиля!
	3	X < 2, X  R (вещественное число X меньше 2)

Первое предложение представляет собой логическое высказывание. Оно ложно, так как в реальности ближайшей к Солнцу планетой является Меркурий.

Второе предложение - не повествовательное, а восклицательное, поэтому оно не является логическим высказыванием.

Третье предложение могло бы быть логическим высказыванием, если бы содержащихся в нем сведений было достаточно, чтобы оценить его истинность или ложность. Однако невозможно судить о принадлежности числа X указанному интервалу, так как само это число неизвестно. Поэтому третье предложение также не является логическим высказыванием.

Булева алгебра. Основные логические операции

Логические устройства ЭВМ проектируются на основе математического аппарата булевой алгебры, названной в честь английского математика Джорджа Буля, сформулировавшего ее основные понятия и правила. Это алгебра двоичных переменных, констант и функций, принимающих только два значения – единица (в алгебре логики ей соответствует значение ИСТИНА) и ноль (в алгебре логики – ЛОЖЬ).

Основными операциями булевой алгебры являются инверсия, конъюнкция, дизъюнкция. Их русские названия – соответственно отрицание, логическое умножение, логическое сложение. Иначе - операции НЕ, И, ИЛИ.

Обозначения логических операций булевой алгебры

A и B – логические высказывания.

Название	Обозначение
	Булева алгебра	Словесное	Языки программирования
Инверсия A или Отрицание A	ĀилиA	не A	NOT
Конъюнкция A и B	A & B или A  B	A и B	AND
Дизъюнкция A и B	A + B или A  B	A или B	OR

Для наглядного представления и выполнения логических вычислений используют таблицы истинности.

Ниже приведены таблицы истинности основных логических операций.

Инверсия

Инверсия – функция одного аргумента, которым является логическое высказывание A. Если A ложно, то Ā истинно, и наоборот.

A	Ā
0	1
1	0

Конъюнкция и дизъюнкция

Конъюнкция и дизъюнкция – функции двух и более аргументов. Их результатом является сложное (составное) логическое высказывание, которое в зависимости от значений аргументов функции принимает значение 1 или 0. Таблица истинности должна включать все возможные комбинации значений аргументов – простых или сложных логических высказываний. Всего таких комбинаций 2ⁿ, где n – число аргументов. В простейшем случае, когда оперируем двумя логическими высказываниями A и B, таблицы истинности выглядят следующим образом.

Конъюнкция Дизъюнкция

Аргументы		Результат			Аргументы		Результат
A	B	A  B			A	B	A  B
0	0	0			0	0	0
0	1	0			0	1	1
1	0	0			1	0	1
1	1	1			1	1	1

Для произвольного числа аргументов верны два правила.

1.     Если среди аргументов конъюнкции есть хотя бы один, который всегда принимает значение 0 (ЛОЖЬ), то результат конъюнкции вне зависимости от значений других аргументов тоже 0 (ЛОЖЬ).

2.     Если среди аргументов дизъюнкции есть хотя бы один, который всегда принимает значение 1 (ИСТИНА), то результат дизъюнкции вне зависимости от значений других аргументов тоже 1 (ИСТИНА).

Приведенные таблицы истинности подтверждают эти правила.

Некоторые высказывания обычного человеческого языка можно сопоставлять логическим функциям. Например, высказывание «Для получения отличной оценки на экзамене требуется как наличие зачета по практике, так и хорошее знание теоретического материала» соответствует конъюнкции. Высказывание «Чтобы кожа приобрела загар, надо несколько дней провести на пляже при жарком солнце или несколько раз посетить солярий» представляет дизъюнкцию. Еще пример дизъюнкции: «Чтобы похудеть, надо больше работать физически и меньше есть.» Проиллюстрируем последнее высказывание таблицей истинности.

Простые высказывания		Похудеть
Больше работать физически	Меньше есть
0 (не больше работать физически)	0 (не меньше есть)	0 (нельзя)
0 (не больше работать физически)	1 (меньше есть)	1 (можно)
1 (больше работать физически)	0 (не меньше есть)	1 (можно)
1 (больше работать физически)	1 (меньше есть)	1 (можно)

Высказываниям, представляющим конъюнкцию, обычно соответствуют конструкции «AиB», «какA,так иB», «Aвместе сB»; представляющим дизъюнкцию – «AилиB». Могут быть исключения: пример – разобранное в конце предыдущей страницы предложение.

Конструкциям типа «илиA,илиB», «AлибоB», «либоA,либоB» соответствует функция, называемаястрогой дизъюнкцией. Ее отличие от обычной дизъюнкции заключается в том, что она равна 1 только в том случае, когда значения ее аргументов различны. Обозначение строгой дизъюнкции –A  B, другие ее названия –неравнозначность,исключающее ИЛИ (XORв языках программирования),сложение по модулю 2. Ниже приведена таблица истинности строгой дизъюнкции.

Строгая дизъюнкция (неравнозначность)

Аргументы		Результат
A	B	A  B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	0

В современной алгебре логики определены еще две основные операции – эквиваленция и импликация.

Эквиваленция (эквивалентность, равнозначность) – это функция, противоположная строгой дизъюнкции. Она принимает значение ИСТИНА тогда, когда все ее аргументы либо истинны, либо ложны. Ее обозначение: A  B.

Эквиваленция (равнозначность)

Аргументы		Результат
A	B	A  B
0	0	1
0	1	0
1	0	0
1	1	1

Импликация – функция двух логических аргументов. Ее обозначение: A  B. Таблица истинности функции «импликация» выглядит следующим образом.

Импликация

Аргументы		Результат
A	B	A  B
0	0	1
0	1	1
1	0	0
1	1	1

Импликация может быть выражена через основные операции булевой алгебры: A  B = A  B.

В языках программирования эквиваленции соответствует функция EQV, импликации – IMP.

Функции «эквиваленция» и «импликация» также могут быть соотнесены с отдельными высказываниями русского языка. Эквиваленции соответствуют высказывания типа: «A эквивалентно B» ; «A  тогда и только тогда, когда B» ; «A необходимо и достаточно для B». Импликации соответствуют конструкции: «Если A, то B» ; «B, если A» ; «B необходимо для A» ; «A достаточно для B» ; «A только тогда, когда B» ; «B тогда, когда A» . Классическим примером импликации является фраза «Если идет дождь, то на небе тучи». Обозначим A = «Идет дождь», B = «На небе тучи» и составим таблицу истинности.

A	B	A  B
0	0	1	«Дождь не идет, на небе нет туч» - ясный солнечный день, составное высказывание истинно
0	1	1	«Дождь не идет, на небе тучи» - сухой пасмурный день, составное высказывание истинно
1	0	0	«Идет дождь, на небе нет туч» - такого не бывает, составное высказывание ложно
1	1	1	«Дождь идет, на небе тучи» - пасмурный дождливый день, составное высказывание истинно

Надо подчеркнуть, что формализация высказываний человеческого языка носит весьма ограниченный характер. Большинство фраз и предложений русского языка, как разговорного, так и литературного, вообще не являются высказываниями с точки зрения алгебры логики. Это связано с наличием множества нюансов письма и речи, которые невозможно охватить в рамках формальной логики, с эмоциональной окраской и субъективностью суждений, а также с непреложностью того факта, что в мире гораздо больше относительных истин, чем абсолютных. Поэтому эксперименты с соотнесением операций формальной логики с высказываниями человеческого языка применимы только к однозначно воспринимаемым предложениям, констатирующим самые общие и простые факты.

Итак, базисом современной алгебры логики являются пять основных логических операций: инверсия, конъюнкция, дизъюнкция, импликация, эквиваленция. Все остальные операции могут быть выражены комбинациями трех операций булевой алгебры: инверсии, конъюнкции и дизъюнкции.

При анализе сложных логических высказываний необходимо помнить о приоритете логических операций: при отсутствии скобок сначала выполняется отрицание, далее в порядке убывания приоритета идут конъюнкция, строгая дизъюнкция, дизъюнкция, импликация и в последнюю очередь – эквиваленция. Скобки могут изменить этот порядок.

В цифровой технике широкое распространение получили микросхемы, построенные на логических элементах И-НЕ и ИЛИ-НЕ. Технологически они реализуются наиболее просто. Предпринимались даже попытки построения компьютеров, состоящих только из этих элементов. С ними связаны еще две двоичные алгебры – алгебра Шеффера и алгебра Пирса. Операция И-НЕ носит название «штрих Шеффера», операция ИЛИ-НЕ – «стрелка Пирса». Обозначения: соответственно A  B и A  B. С позиций булевой алгебры обе эти операции составные.

_____	_____
A  B = A  B	A  B = A  B

Таблицы истинности этих функций:

Штрих Шеффера Стрелка Пирса

Аргументы		Результат			Аргументы		Результат
A	B	A  B			A	B	A  B
0	0	1			0	0	1
0	1	1			0	1	0
1	0	1			1	0	0
1	1	0			1	1	0

Обозначения в цифровой технике:

Элемент И-НЕ (элемент Шеффера)	Элемент ИЛИ-НЕ (элемент Пирса)