Лекция 4

Кривые изменения напряжения на конденсаторе и тока в цепи во времени имеют вид экспонент (рис. 2.49).

Рис. 2.49

Теоретически переходный процесс длится бесконечно

долго. Практически переходный процесс заканчивается через (3–5) τ.

Длительность переходного процесса, зависящая от параметров, может быть различной.

Если в схеме замещения R = 100 Ом, С = 100 мкФ, то при замыкании ключа конденсатор заряжается с постоянной времени τ_зар = 0,01 с. При размыкании ключа конденсатор будет разряжаться с τ_раз ≈ 28 часов, т. е. конденсатор будет сохранять напряжение на своих обкладках несколько суток и представлять собой опасность. Поэтому после окончания работы с конденсатором нужно использовать разрядное устройство.

С энергетической точки зрения переходный процесс характеризуется переходом энергии электрического поля конденсатора в тепловую энергию в резисторе. Следует отметить; что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты, а на начальное значение тока и длительность разряда. В самом деле

.

Переходные процессы в электрических RL-цепях. Рассмотрим следующие варианты RL-цепей и способов их коммутации:

− последовательная RL-цепь в режиме подключения к источнику постоянного напряжения;

− последовательная RL-цепь в режиме короткого замыкания;

− последовательная RL-цепь в режиме размыкания.

Включение цепи с резистором и катушкой на постоянное напряжение (рис 2. 50). В начальный момент времени i = 0, энергия магнитного поля катушки W_м = 0. После подключения цепи к источнику постоянного напряжения U в установившемся режиме в цепи протекает ток I > 0 и W_м = LI²/2 > 0.

Рис. 2. 50.

Дифференциальное уравнение, описывающее переходной процесс в цепи имеет вид

.(*)

Характеристическое уравнение данного дифференциального уравнения есть

, p = − R/L.

Переходный ток в цепи представим в виде

i = i_вын + i_св.

1. До коммутации тока в катушке не было, следовательно,

i_L(0_-) = 0.

2. Установившаяся составляющая тока после коммутации

I_вын = U/R.

3. Свободная составляющая тока для цепи, описываемой дифференциальным уравнением первого порядка (*)

i_св = A e^-t/τ = A e^pt .

4. По начальным условиям определим постоянную интегрирования А и свободную составляющую тока:

i(0) = i_вын(0) + i_св(0) = i_вын(0₊) + i_св(0_-);

или

0 = U/R + A; A = −U/R; i_св = −U/R·e^-t/τ.

Переходный ток получается в виде

i = U/R (1 − e^-t/τ).

Напряжение на катушке

.

Кривые изменения токов i, i_вын, i_св и напряжения на катушке u_L показаны на рис. 2.51.

Рис. 2.51

При включении рассматриваемого контура под постоянное напряжение ток в нем нарастает от нуля до установившегося значения.

Скорость нарастания тока изменяется по экспоненте с отрицательным показателем. В момент t = 0 эта скорость максимальна и равна U/L [А/с], со временем она падает практически до нуля, процесс выходит на установившийся режим.

В первый после коммутации момент t = 0₊ ток в цепи еще равен нулю, и напряжение на катушке максимально u_L = U, далее оно экспоненциально снижается до нуля.

Последовательная RL-цепь в режиме короткого замыкания. Исследуем электромагнитные процессы в цепи, изображенной на рис. 2.52, происходящие после замыкания ключа.

Рассчитаем установившийся режим в цепи до коммутации (до замыкания ключа) и определим из него

Рис. 2.52

независимое начальное условие – ток в катушке в момент t = 0_-, непосредственно предшествующий коммутации

i(0_-) = i(0₊) = E/(R₀ + R).

Найдем установившийся ток i после коммутации. Так как во вновь образованном контуре из катушки L и резистора R нет источника, то

I_вын = 0.

Для определения свободной составляющей тока запишем по второму закону Кирхгофа уравнение электрического состояния цепи после коммутации:

.

Характеристическое уравнение имеет вид:

pL + R = 0,

где p = - R/L, c^-1 – корень характеристического уравнения.

Общее решение уравнения для свободной составляющей:

i_св = Ae^pt,

где А – постоянная интегрирования.

Записав общий вид переходного тока катушки

i = i_вын + i_св = A e^pt,

приравниваем его значение i(0₊) = A в точке t = 0₊ к значению i(0_), найденному в п. 1. Получаем искомую константу

A = E/(R₀ + R) = I₀.

Переходный ток i = i_вын + i_св при этом равен

,

где τ = L/R – постоянная времени цепи.

График изменения переходного тока показан на рис. 2.53.

Рис. 2.53.

Определим э.д.с. самоиндукции катушки

,  t ≥ 0.

В момент коммутации эта ЭДС равна напряжению на сопротивлении R, а в дальнейшем уменьшается по экспоненциальному закону. На основании изложенного можно сделать следующие выводы.

1. При коротком замыкании в рассматриваемой цепи ток в ней изменяется по экспоненциальному закону, уменьшаясь от начального значения до нуля.

2. Скорость изменения тока определяется постоянной времени цепи, которая равна индуктивности катушки, деленной на активное сопротивление цепи.

3. Практически можно считать, что переходный процесс заканчивается при t ≈ (3…5)τ, когда первоначальное значение тока уменьшается по модулю на порядок.

4. Напряжение на катушке в начальный момент времени равно напряжению на активном сопротивлении:

u_L(0₊) = I₀R.

5. С энергетической точки зрения рассматриваемый переходный процесс характеризуется расходом энергии магнитного поля катушки на тепловые потери в резисторе. Следует отметить, что сопротивление резистора влияет не на количество выделенной теплоты W, а на начальное значение напряжения катушки и длительность процесса. В самом деле

.

Последовательная RL-цепь в режиме размыкания. При размыкании электрической цепи с индуктивностью (рис. 2. 54) между контактами возникает дуга, а на отдельных участках цепи могут возникать перенапряжения.

Рис. 2. 54

Установившийся (т.е. до размыкания цепи) ток в ветви с индуктивностью равен

.

Уравнение напряжений для цепи (рисунок 2.54) после коммутации

.

Характеристическое уравнение

, .

Решением однородного уравнения является показательная функция

.(**)

Постоянную интегрирования находим из начальных условий. При t = 0

.

Подставляя выражение для тока в (**), получим

.

Тогда переходной ток

При изменении тока возникает ЭДС самоиндукции

или

.

Ток в цепи после коммутации (после размыкания) поддерживается за счет ЭДС самоиндукции

.

Значение ЭДС самоиндукции в первый момент после размыкания цепи (при t = 0)

.

Оно больше ЭДС источника E во столько раз, во сколько увеличилось сопротивление цепи, то есть в (R₁+ R)/R раз. Это явление называется перенапряжением.

Графики изменения тока и ЭДС самоиндукции представлены на рисунке 2.55.

ЭДС самоиндукции в начальный момент времени делает скачок. Ток же в индуктивности согласно первому закону коммутации не может изменяться скачком. Он изменяется постепенно от начального значения I₀.

Рис. 2.55

При отсутствии ветви с R₁ перенапряжение должно быть равно ∞, но на самом деле происходит пробой промежутка между контактами выключателя и в цепь включается сопротивление дуги. Часто вместо R₁ включают диод.

Переходные процессы в цепях второго порядка. Ранее рассматривались переходные процессы в RL- и RС-цепях, которые относятся к цепям первого порядка, так как описываются дифференциальными уравнениями первого порядка (6.11), (6.23). При наличии в цепи двух независимых накопителей энергии переходные процессы в них описываются уравнением второго  порядка.  

Простейшим  примером такой цепи является последовательный колебательный контур (рис. 2.56).

Рис. 2.56.

Для этого контура можно по аналогии с RL- и RC-цепью составить дифференциальное уравнение второго порядка, выбрав в качестве независимой переменной напряжение на емкости

Учитывая, что

окончательно получаем

(2.15)

Решение дифференциального уравнения (2.15) ищется в виде суммы свободной и вынужденной составляющих:

Вид зависит от приложенного напряжения, а определится решением однородного дифференциального уравнения второго порядка

(2.16)

Решение дифференциального уравнения (2.16) зависит от вида корней характеристического уравнения

(2.17)

Корни уравнения (2.17) определяются только параметрами цепи независимо от выбранной переменной:

.

Величина называется коэффициентом затухания контура, а − резонансной частотой контура. Тогда уравнение (6.41) можно представить в виде

Характер переходного процесса существенным образом зависит от вида корней p₁, p₂, которые могут быть:

1) вещественными и различными (при R > 2ρ);

2) комплексно-сопряженными (при R < 2ρ);

3)  вещественными и равными (при R = 2 ρ).

Здесь — характеристическое сопротивление контура (см. формулу (4.22)).

Апериодический разряд конденсатора на катушку и резистор. Рассмотрим процесс разряда конденсатора на резистор R и катушку L. Если параметры контура из резистора, катушки и конденсатора удовлетворяют условию , т.е.  или , т.е. то корни характеристического уравнения контура вещественные, различные, т.е. р₁ ≠ р₂, и отрицательные. В этом случае напряжение на конденсаторе описывается уравнением

u_C = u_Cсв = A₁·e^p₁^t + A₂·e^p₂^t,

где А₁ и А₂ – постоянные интегрирования, определяемые из начальных, условий.

Свободный ток равен

.

Установившиеся составляющие напряжения на конденсаторе и тока равны нулю. Поэтому их переходные значения равны свободным составляющим:

u_C = u_Cсв; i = i_св.

Определим из начальных условий постоянные интегрирования А₁ и А₂. При t = 0, u_C(0) = U₀ и i(0) = 0. Подставив их в выражения для переходных напряжений и токов при t = 0 имеем

U₀ = A₁ + A₂;

0 = A₁ p₁ + A₂ p₂.

Отсюда

A₁ = U₀ p₂ /(p₂ - p₁);

A₂ = -U₀ p₁ /(p₂ - p₁);

С учетом начальных условий запишем

; 

.

Произведение корней по теореме Виета: p₁ p₂ = 1 / (LC), следовательно, ток

.

Напряжение на катушке

.

Графики зависимости тока и напряжения от времени, показанные на рис. 2.57 позволяют говорить об апериодическом разряде конденсатора.

Рис. 2.57.

Апериодическим называется такой разряд, при котором конденсатор все время разряжается, т.е. функция u_C(t) - убывающая, а ток i не меняет своего направления, в нашем случае он отрицателен. Сделаем некоторые выводы.

1. Апериодический разряд конденсатора в цепи R, L, С возникает при вещественных, отрицательных и неравных корнях характеристического уравнения.

2. При апериодическом разряде напряжение на конденсаторе уменьшается от начального значения до нуля, а ток сначала возрастает по модулю, затем уменьшается, проходя через максимальное значение.

3. Напряжение на катушке уменьшается от начального значения, проходит через нулевое значение, изменяя знак и, достигнув наибольшего значения, уменьшается до нуля.

Предельный апериодический разряд конденсатора на катушку и резистор. При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора

,

где R_КР − критическое сопротивление резистора R, корни характеристического уравнения контура вещественные, равные и отрицательные:

p₁ = p₂ = p = −R/(2L).

Переходный процесс получается апериодическим, но граничным с колебательным процессом. Переходный ток и переходное напряжение в этом случае имеют вид:

u_C = (A₁ + A₂ t) e^pt;

.

При начальных условиях u_C(0) = U₀; i(0) = 0 находим: А₁ = U₀; A₂ = −pU₀. С учетом найденных постоянных интегрирования получаем решения:

u_C = U₀ (1 - pt)e^pt; ; .

Зависимости i, u_C, u_L такие же, как для апериодического

разряда.

Периодический (колебательный) разряд конденсатора на цепь с резистором и катушкой. При соотношении параметров контура из конденсатора, катушки и резистора , где R_КР – критическое сопротивление цепи, корни характеристического уравнения комплексные сопряженные:

p_1,2 = -α ± jω₀,

где α = R/(2L) – коэффициент затухания свободной составляющей;

– угловая частота собственных колебаний контура;

Т₀ – период собственных колебаний.

Поскольку , то можно ввести обозначения

, 

,

 .

Свободная составляющая переходного напряжения при комплексно-сопряженных корнях

u_Cсв = A e^-αt sin(ω₀t + ψ),

Для свободной составляющей тока  имеем

i_св = C A e^-αt (-α sin(ω₀t + ψ) + ω₀ cos(ω₀t + ψ)).

С учетом начальных условий при t = 0, u_C = U₀ , i = 0 из последних двух уравнений находим константы интегрирования:

U₀ = A sin ψ; 0 = C A (-α sin ψ + ω₀ cos ψ).

и далее

.

Запишем переходные напряжения и ток:

u_C = U_Cm e^-αt sin(ω₀t + ψ);

i = -I_m e^-αt sin(ω₀t + π);

u_L= U_Lm e^-αt sin(ω₀t - ψ),

где  ; 

Зависимости переходных напряжений и токов u_C, i показаны на рис. 2.56.

Рис. 2.56.

Они представляют собой затухающие синусоиды. Скорость затухания колебаний оценивают декрементом колебаний. Декремент колебания − это постоянная, зависящая от параметров R, L, С и равная отношению амплитуд переходных параметров, отстающих друг от друга на период колебания Т₀, например:

.

Часто пользуются логарифмическим декрементом колебания:

.

В предельном случае чисто консервативной системы (R = 0) Δ = 1 колебания в параллельно соединенных конденсаторе и катушке носят незатухающий характер. Период этих колебаний дается формулой Томпсона

,

а частота незатухающих колебаний .