Задание по эконометрике / Задача для КР

y 0 1 1x → y 0 1 X

Далее происходит расчет коэффициентов регрессии для вновь построенных функций линейного вида. После чего происходит переход к искомым функциям путем потенцирования (только для степенной и показательной функции).

Для каждой построенной модели необходимо оценить следующие показатели:показатель тесноты связи: для функции линейного вида – коэффициент корреляции, для функции нелинейного вида – индекс корреляции, вычисляемого по

формуле:

				n	~
						)	2
				( yi yi
			1	i 1
	yx			n
				( yi y)2
				i 1

показатель средней ошибки аппроксимации рассчитывается по формуле:

~

n

1

yi

yi

100%

Ay

n

y

i 1

i

проверить гипотезу о значимости уравнений регрессии.

Все расчеты необходимо произвести с помощью вспомогательных таблиц. По результатам вычисления необходимо сделать вывод о наиболее оптимальном виде функции описывающей зависимость y от x.

Задача № 3

У семи сотрудников предприятия собраны данные (табл. 3) об их среднемесячной зарплате (Y), возрасте (X1) и стаже работы (X2).

1. С помощью метода наименьших квадратов (МНК) оценить параметры линейной модели вида y a0 a1x1 a2 x2 , влияния возраста и стажа работы на

среднемесячную зарплату;

2.Оценить параметры построенной модели;

3.Рассчитать коэффициент детерминации.

Х1	35	445	35	55	30	42	25
Х2	5	10	3	12	1	8	2
Y	1600	2000	1450	2200	1400	1800	1350

Решение

1. МНК–оценки параметров a0, a1 и a2 можно получить, решив систему нормальных уравнений, которая в данном случае имеет вид:

		N		N	N
a0 N a1 x1i a2 x2i					yi
		i1	i1		i1
	N		N		N	N
a0 x1i		a1	(x1i )2 a2 x1i x2i			yi x1i ;
	i1		i1		i1	i1
	N		N		N	N
a0	x2i	a1	x1i x2i	a2	(x2i )2 yi x2i
	i1		i1		i1	i1

Подставив данные в систему уравнений получим систему:

a0 7 a1 257 a2 41 11800

a0 257 a110189 a21779 4454600a0 41 a11776 a2 347 77250

Решим систему методом Крамера.

Переходим к рассмотрению правила Крамера для системы трех уравнений с тремя неизвестными:

a11x1 a12 x2 a13 x3 s1a21x1 a22 x2 a23 x3 s2a31x1 a32 x2 a33 x3 s1

Находим главный определитель системы:

a11, a12 , a13

Da21, a22 , a23 a11a22a33 a21a32a13 a31a12a23 a31a22a13 a21a12a33 a11a32a23 a31, a32 , a33

Если D=0, то система имеет бесконечно много решений или несовместна (не имеет решений). В этом случае правило Крамера не поможет, нужно использовать метод Гаусса.

Если D≠0, то система имеет единственное решение и для нахождения корней мы должны вычислить еще три определителя:

	s1 , a12 , a13		a11, s1 , a13		a11, a12 , s1
D1	s2 , a22 , a23	, D2	a21, s2 , a23	, D3	a21, a22 , s2
	s3 , a32 , a33		a31, s3 , a33		a31, a32 , s3

И, наконец, ответ рассчитывается по формулам:

x1 D1 , x2 D2 , x3 D3 D D D

Решив систему уравнений, получим, что уравнение регрессии имеет вид:

y993,74 11,25. x1 47,64x2

1.Проверим значимость полученного уравнения регрессии по критерию Фишера. Расчётный критерий Фишера для нашей выборки равен:

2

Fнабл 2y (n 2)

y

Проведем промежуточные расчеты и заполним таблицу, где:

1

n

~

2

1

n

2

y

( yi

yi )

;

y

( y yi )

.

n i 1

n i 1

Рассчитать наблюдаемый критерий Фишера и произвести сравнения с табличным значением для проверки гипотезы о значимости регрессии линейного уравнения.

Для измерения тесноты связи между двумя из рассматриваемых переменных (без учёта их взаимодействия с другими переменными) применяют парные коэффициенты корреляции. Если известны средние квадратичные отклонения анализируемых величин, то парные коэффициенты корреляции можно рассчитать по следующим формулам:

r

x1 y x1 y

;

r

x2 y x2 y

; r

x1 x2 x1 x2

yx

Sx

S y

yx

Sx

x x

Sx Sx

1

2

S y

2

1

1

2

1

2

В реальных условиях все переменные, как правило, взаимосвязаны.

Теснота этой связи определяется частными коэффициентами корреляции, которые характеризуют степень и влияние одного из аргументов на функцию при условии, что остальные независимые переменные закреплены на постоянном уровне. В зависимости от количества переменных, влияние которых исключается, частные коэффициенты корреляции могут быть различного порядка: при исключении влияния одной переменной получаем частный коэффициент корреляции первого порядка; при исключении влияния двух переменных – второго порядка и т.д. Парный коэффициент корреляции между функцией и аргументом обычно не равен соответствующему частному коэффициенту.

Частный коэффициент корреляции первого порядка между признаками x1

и y при исключении влияния признака x2 вычисляется по формуле:

ryx ( x		)		ryx		ryx		2	rx x	2				;
					1				1
	2
1				(1	r 2		)(1		r		2	)
						yx	2			x x		2
											1

аналогично –зависимость y от x2 при исключении влияния признака x1:

ryx		( x )		ryx		2	ryx		rx x	2				;
								1	1
	2
		1		(1	r 2			)(1	r		2	)
							yx			x x		2
							1				1

Можно рассчитать взаимосвязь факторных признаков при устранении влияния результативного признака:

rx x		( y)			rx x		ryx		ryx			.
					1	2		1		2
1	2
					(1 r 2			)(1	r		2	)
							yx			yx		2
							1

На основании расчетов частных коэффициентов корреляции необходимо сделать вывод степени влияниях параметров x1 и x2 на результативный признак y.

2. Показателем тесноты связи, устанавливаемой между результативными и двумя или более факторными признаками, является совокупный коэффициент множественной корреляции. В случае линейной двухфакторной связи (как в нашей задаче) совокупный коэффициент множественной корреляции может быть рассчитан по формуле:

			r 2	r 2		2r r r 2
Ryx x			yx	yx	2		yx	yx	2	x x	2
			1				1			1
				1 r 2
1	2
						x x	2
						1

Совокупный коэффициент множественной корреляции измеряет одновременное влияние факторных признаков на результативный. Чем меньше наблюдаемые значения изучаемого показателя отклоняются от линии множественной регрессии, тем корреляционная связь является более интенсивной, а следовательно значение R ближе к единице.

Необходимо рассчитать и оценить совокупный коэффициент корреляции, а так же совокупный коэффициент множественной детерминации.

ПРИЛОЖЕНИЯ

Распределение Стьюдента (t-распределение)

					Уровень значимости
			0,40	0,25	0,10	0,05	0,025	0,01	0,005
		1	0,325	1,000	3,078	6,314	12,706	31,821	63,657
		2	0,289	0,816	1,886	2,920	4,303	6,965	9,925
		3	0,277	0,765	1,638	2,353	3,182	4,541	5,841
		4	0,271	0,741	1,533	2,132	2,776	3,747	4,604
		5	0,267	0,727	1,476	2,015	2,571	3,365	4,032
	свободы	6	0,265	0,718	1,440	1,943	2,447	3,143	3,707
		7	0,263	0,711	1,415	1,895	2,365	2,998	3,499
		8	0,262	0,706	1,397	1,860	2,306	2,896	3,355
	степеней	9	0,261	0,703	1,383	1,833	2,262	2,821	3,250
		10	0,260	0,700	1,372	1,812	2,228	2,764	3,169
		11	0,260	0,697	1,363	1,796	2,201	2,718	3,106
	Число	12	0,259	0,695	1,356	1,782	2,179	2,681	3,055
		13	0,259	0,694	1,350	1,771	2,160	2,650	3,012
		14	0,258	0,692	1,345	1,761	2,145	2,624	2,977
		15	0,258	0,691	1,341	1,753	2,131	2,602	2,947
		16	0,258	0,690	1,337	1,746	2,120	2,583	2,921
		17	0,257	0,689	1,333	1,740	2,110	2,567	2,898
		18	0,257	0,688	1,330	1,734	2,101	2,552	2,878
		19	0,257	0,688	1,328	1,729	2,093	2,539	2,861

	20	0,257	0,687	1,325	1,725	2,086	2,528	2,845

Приложение 2

Распределение Фишера (F-распределение) 0,10

				1	2	3	4		5		6		7		8		9		10		11		12		15		20
		1		39,86	49,50	53,59	55,83		57,24		58,20		58,91		59,44		59,86		60,19		60,50		60,71		61,22		61,74
		2		8,53	9,00	9,16	9,24		9,29		9,33		9,35		9,37		9,38		9,39		9,40		9,41		9,42		9,44
		3		5,54	5,46	5,39	5,34		5,31		5,28		5,27		5,25		5,24		5,23		5,22		5,22		5,20		5,18
		4		4,54	4,32	4,19	4,11		4,05		4,01		3,98		3,95		3,94		3,92		3,91		3,90		3,87		3,84
		5		4,06	3,78	3,62	3,52		3,45		3,40		3,37		3,34		3,32		3,30		3,28		3,27		3,24		3,21
		6		3,78	3,46	3,29	3,18		3,11		3,05		3,01		2,98		2,96		2,94		2,92		2,90		2,87		2,84
		7		3,59	3,26	3,07	2,96		2,88		2,83		2,78		2,75		2,72		2,70		2,68		2,67		2,63		2,59
		8		3,46	3,11	2,92	2,81		2,73		2,67		2,62		2,59		2,56		2,54		2,52		2,50		2,46		2,42
v2		9		3,36	3,01	2,81	2,69		2,61		2,55		2,51		2,47		2,44		2,42		2,40		2,38		2,34		2,30
		10		3,29	2,92	2,73	2,61		2,52		2,46		2,41		2,38		2,35		2,32		2,30		2,28		2,24		2,20
свободы		11		3,23	2,86	2,66	2,54		2,45		2,39		2,34		2,30		2,27		2,25		2,23		2,21		2,17		2,12
		12		3,18	2,81	2,61	2,48		2,39		2,33		2,28		2,24		2,21		2,19		2,17		2,15		2,10		2,06
		13		3,14	2,76	2,56	2,43		2,35		2,28		2,23		2,20		2,16		2,14		2,12		2,10		2,05		2,01
степеней		14		3,10	2,73	2,52	2,39		2,31		2,24		2,19		2,15		2,12		2,10		2,08		2,05		2,01		1,96
		15		3,07	2,70	2,49	2,36		2,27		2,21		2,16		2,12		2,09		2,06		2,04		2,02		1,97		1,92
		16		3,05	2,67	2,46	2,33		2,24		2,18		2,13		2,09		2,06		2,03		2,01		1,99		1,94		1,89
		17		3,03	2,64	2,44	2,31		2,22		2,15		2,10		2,06		2,03		2,00		1,98		1,96		1,91		1,86
Число		18		3,01	2,62	2,42	2,29		2,20		2,13		2,08		2,04		2,00		1,98		1,96		1,93		1,89		1,84
		20		2,97	2,59	2,38	2,25		2,16		2,09		2,04		2,00		1,96		1,94		1,92		1,89		1,84		1,79
		19		2,99	2,61	2,40	2,27		2,18		2,11		2,06		2,02		1,98		1,96		1,94		1,91		1,86		1,81
																				Приложение 2 (продолжение)
			Распределение Фишера (F-распределение) 0,05
				1	2	3	4	5		6		7		8		9		10		11		12		15		20
		1		161	200	216	225	230		234		237		239		271		242		243		244		246		248
		2		18,5	19,0	19,2	19,2	19,3		19,3		19,4		19,4		19,4		19,4		19,4		19,4		19,4		19,4
		3		10,1	9,55	9,28	9,12	9,01		8,94		8,89		8,85		8,81		8,79		8,76		8,74		8,70		8,66
		4		7,71	6,94	6,59	6,39	6,26		6,16		6,09		6,04		6,00		5,96		5,94		5,91		5,86		5,80
2		5		6,61	5,79	5,41	5,19	5,05		4,95		4,88		4,82		4,77		4,74		4,71		4,68		4,62		4,56
v		6		5,99	5,14	4,76	4,53	4,39		4,28		4,21		4,15		4,10		4,06		4,03		4,00		3,94		3,87
свободы
		9		5,12	4,26	3,86	3,63	3,48		3,37		3,29		3,23		3,18		3,14		3,10		3,07		3,01		2,94
		7		5,59	4,74	4,35	4,12	3,97		3,87		3,79		3,73		3,68		3,64		3,60		3,57		3,51		3,44
		8		5,32	4,46	4,07	3,84	3,69		3,58		3,50		3,44		3,39		3,35		3,31		3,28		3,22		3,15
степеней
		10		4,96	4,10	3,71	3,48	3,33		3,22		3,14		3,07		3,02		2,98		2,94		2,91		2,85		2,77
		13		4,67	3,81	3,41	3,18	3,03		2,92		2,83		2,77		2,71		2,67		2,63		2,60		2,53		2,46
		11		4,84	3,98	3,59	3,36	3,20		3,09		3,01		2,95		2,90		2,85		2,82		2,79		2,72		2,65
		12		4,75	3,89	3,49	3,26	3,11		3,00		2,91		2,85		2,80		2,75		2,72		2,69		2,62		2,54
Число
		14		4,60	3,74	3,34	3,11	2,96		2,85		2,76		2,70		2,65		2,60		2,57		2,53		2,46		2,39
		15		4,54	3,68	3,29	3,06	2,90		2,79		2,71		2,64		2,59		2,54		2,51		2,48		3,52		3,37
		16		4,49	3,63	3,24	3,01	2,85		2,74		2,66		2,59		2,54		2,49		2,46		2,42		2,35		2,28
		17		4,45	3,59	3,20	2,96	2,81		2,70		2,61		2,55		2,49		2,45		2,41		2,38		2,31		2,23
		18		4,41	3,55	3,16	2,93	2,77		2,66		2,58		2,51		2,46		2,41		2,37		2,34		2,27		2,19
		19		4,38	3,52	3,13	2,90	2,74		2,63		2,54		2,48		2,42		2,38		2,34		2,31		2,23		2,16
		20		4,35	3,49	3,10	2,87	2,71		2,60		2,51		2,45		2,39		2,35		2,31		2,28		2,20		2,12