Кiнаш Розв'язання задач з електротехнiки

I =	E1 − E − Eг		,	I =	120 −20 −73,39		.
1	R1	+ Rг		1	2	+1,835

При складанні балансу потужності треба мати на увазі те, що в тих гілках, де дійсний напрямок струму збігається з напрямком ЕРС, то відповідна ЕРС буде джерелом енергії, а в тих ділянках, де напрямок ЕРС і струми протилежні, джерело ЕРС буде споживачем. Усі резистивні елементи є споживачами.

Баланс активних потужностей має вигляд

n	m
∑Pkдж = ∑Pkспож ,
k=1	k=1
де Pkдж – потужність джерела;	Pkспож – потужність споживача; n –

кількість джерел; m – кількість споживачів.

Складемо баланс активних потужностей для прикладу 2.1. Дійсні напрямки струмів I1, I2 , I3 і I4 зазначені на рис.2.2. Визначаємо, що джерелом енергії є ЕРС E1, а споживачем – ЕРС E2 .

Потужність джерела
Pдж = E1I1 ,	Pдж =120 6,94 =832,8 Вт.

Потужність споживачів

Pспож = E2 I2 + R1I12 + R3 I32 + R4 I42 +UI1;

Pспож =80 3,06 +2 6,942 +2 3,062 +40 2,152 +50 1,722 +2 6,94 = = 831,47 Вт.

Баланс активних потужностей

Pдж ≈ Pспож, 832,8 Вт ≈ 831,47 Вт.

Приклад 2.2. Як зміниться струм І та напруга U1 в електричному

колі рис.2.5 після ввімкнення рубильника Р?

І

До ввімкнення рубильника:

еквівалентний опір електричного кола

R1

U1

R= R1 + R2 ,

U

струм дорівнює

Р

R2

I =U

=

U

.

R

+ R

R

Рис 2.5.

1

2

11

Після ввімкнення рубильника

еквівалентний опір електричного кола зменшився:

R′= R1 , R′< R,

струм збільшився:

I′= U = U , I′> I .

R′ R1

Напруга на резисторі R1 збільшилась:

U′= R1I′, U′>U .

Відповідь. Струм І – збільшився, напруга U1 – збільшилась.

Приклад 2.3. В колі збільшився опір R споживача, при цьому струм збільшився. Як це буде впливати на напругу на затискачах кола? Внутрішній опір джерела живлення дорівнює R0.

I			Якщо треба враховувати внутрішній опір джерела
E		R живлення, то рівняння зовнішньої характеристики
R0				U = E − R0 I ,
		де	напруга	на затискачах			U = RI,	ЕРС джерела
Рис.2.6
		E =const.
Струм кола
				I =	U	.
					R+ R
					0
Якщо збільшився опір R, а				R0 =const, то струм і спад напруги R0 I
зменшилися, а як наслідок, збільшилась напруга U.
Якщо	внутрішній		опір джерела		живлення		R0 =0 ,	тоді напруга на

затискачах не залежить від величини опору R, тому що E =U .

Відповідь. Напруга на затискачах збільшується, якщо враховувати внутрішній опір джерела живлення.

12

3. ОДНОФАЗНІ КОЛА СИНУСОЇДАЛЬНОГО СТРУМУ

Однофазним колом синусоїдального струму називають коло, яке містить один або декілька джерел електричної енергії змінного струму, що мають однакову частоту і початкову фазу.

При розрахунку кіл синусоїдального струму, на відміну від розрахунку кіл постійного струму, необхідно враховувати не один, а три пасивні елементи (резистивний, індуктивний і ємнісний), котрі характеризуються відповідно активним опором R, індуктивним

опором XL = 2πfL і ємнісним XC = 2π1fC, де L– індуктивність; C –

ємність; f – частота змінного струму.

Стандартна частота	струму в	електроенергетичних	системах
f =50 Гц. Індуктивний	і ємнісний	опори визначають	не тільки

значення струмів у колі, але також зсув фаз між напругами і струмами. Всі закони і методи розрахунку кіл постійного струму справедливі для розрахунку електричних кіл синусоїдального струму в комплексній

формі.

Розрахунок кіл синусоїдального струму може бути виконаний і без застосування комплексних чисел. Основні розрахункові формули такі:

при послідовному з'єднанні елементів R, Lі C

Z =

R2 +(XL − XC )2

– повний опір,

I =U

– закон Ома,

Z

ϕ=arctg

X L − X C

,

ϕ=arccos

R

– кут зсуву фаз;

Z

R

при паралельному з'єднанні двох гілок з елементами R1, L в одній

гілці і R2 , C– в іншій

Y =

(G +G

2

)2

+ (B − B )2

– повна

провідність розгалу-

1

C

L

ження,

де G1

=

R1

;

G2 = −

R2

– активні провідності гілок;

R2

+ X

2

R2

+ X2

1

L

2

C

13

BL =		XL	;
	R2	+ X2
1		L

Приклад 3.1.

I R

U UR UC XL

UL

Рис.3.1

	BC =		XC	– реактивні провідності гілок.
		R2	+ X2
	2		C

Для електричної схеми (рис.3.1) знайти струм і напруги на всіх елементах. Напруга на

затискачах		кола U = 120 В. Опори
R = 30 Ом, XL =100 Ом, XC =60 Ом.
XC	Повний опір кола
	Z = R2 +(XL − XC )2 ,
	Z =	302 +(100 −60)2 = 50 Ом.
	Струм у колі
I =U ;	I =120 = 2,4 А.
Z		50

Напруги на елементах:

UR = RI;

UR =30 2,4 = 72 В

– активному,

UL = XLI ;

UL =100 2,4 = 240 В – індуктивному,

UC = XC I ; UC = 60 2,4 =144 В – ємнісному.

+J

UR

UC

Кут зсуву фаз

UL

R

ϕ = arccos

;

U

Z

Uр I +1

ϕ

30

ϕ = arccos

50

= 53,1.

UC

UR

Векторна діаграма показана на

–J

рис.3.2.

Рис.3.2

Приклад 3.2. Для електричної схеми (рис.3.3) визначити показання амперметрів, активну потужність і cosϕ на затискачах кола.

Опори R1 =6 Ом, XL =8 Ом, R2 =12 Ом, XC =16 Ом. Напруга

U = 60 В.

Знайдемо провідності гілок розгалуження:

14

G1

=

R1

;

G1

=

6

= 0,06 См;

A

R2

+

X2

62 +82

1

L

A1

A2

XL

8

B1

=

;

B1

=

=0,08 См;

R2

+

X2

62 +82

1

L

U

R1

R2

R2

12

=

=

= 0,03

G2

;

G2

См;

R2

+

X2

2 +162

12

2

C

B2

=

XC

;

B2

=

16

= 0,04

См.

XL

XC

R2

+

X2

2 +162

12

2

C

Провідність розгалуження

Рис.3.3

Y =

(G +G

)2 + +(B − B )2

,

1

2

2

1

Y =

(0,06 + 0,03)2 + (0,04 −0,08)2

=0,0984 См.

За знайденим значенням провідності визначаємо опори еквівален-

тного йому послідовного кола

R =

G1 +G2

,

R =

0,06 +0,03

= 9,28 Ом;

Y2

0,09842

X =

B2 − B1

,

X = 0,04 −0,08

= −4,12 Ом.

Y2

0,09842

Знак "мінус" показує, що елемент ємнісний. Еквівалентна

послідовна схема електричного кола зображена на рис.3.4.

Повний опір

I

R

Z =

R2 +

X2 ,

Z =9,282 +4,122 =10,15 Ом.

U

X

Струм у нерозгалуженій частині кола

Рис.3.4

I =

U

;

I =

60

= 5,91 А.

Z

1015,

Струми в гілках:

I

1

= U =

U

,

I =

60

= 6 А.

Z1

R12 + XL2

1

62 +82

I =

U =

U

,

I2

=

60

= 3 А.

Z2

R2 +

X2

122 +162

2

C

15

Приклад 3.3 . Для електричної схеми рис.3.5 знайти струми у всіх відгалуженнях. Напруга на затискачах кола U = 12 В. Параметри елементів: R = 100 Ом, L=3 мГн, C =1,75 мкФ, f =3 кГц.

L

I

Визначаємо активний та ємнісний опори гілок:

XL = 2πfL=2 3,14 3 103 3 10−3 =56,52 Ом;

I1

I2

U

R

С

1

1

XC = 2πfC = 2 3,14 3 103 1,75 10−6 =30,33 Ом.

Рис.3.5

Провідності гілок розгалуження:

активна G =

1

=

1

=0,01 См;

R

100

реактивна

B

=

1

=

1

=0,033 См;

C

XC

30,33

повна провідність Y = G2 + BC2 = 0,012 + 0,0332 =0,0345 См.

Опори еквівалентного послідовного кола:

повний Zпосл = Y1 = 0,03451 = 29 Ом;

активний Rпосл = Zпосл cosϕпосл = 28,57 0,29 =8,41 Ом; реактивний Xпосл = Zпослsinϕпосл = 29 sin73,15o = 27,75 Ом.

Коефіцієнт потужності еквівалентного послідовного кола

cosϕпосл = GY = 0,00345,01 =0,29 ; ϕпосл =73,15o.

Послідовна схема заміщення електричного кола показана на рис.3.6.

Rпосл Xпосл

Повний опір кола

+ (X

)2 ;

Z =

R2

L

−

X

посл

U

посл

XL

Z =

8,412

+ (56,52 − 27,75)2 = 29,97 Ом.

I

Струм кола

Рис.3.6

I =U

=

12

=0,4 А.

29,97

Z

Напруга на резисторі R та ємності C:

Uпосл = ZпослI = 29 0,4 =11,6 В.

Струми в гілках:

I =

Uпосл

=11,6

=0,116

А;

I

2

=

Uпосл

=

11,6

=0,382 А.

1

R

100

XC

30.33

16

Перевірка: I = I12 + I22 = 0,1162 + 0,3822 =0,4 А.

Комплексний метод

Зробимо розрахунок прикладу 3.2 комплексним методом. Послідовність розрахунку:

1. Зображення напруги на вхідних затискачах у комплексній формі.

2. Знаходження комплексних опорів Zk гілок.

3. Обчислення за законом Ома I&k = U& комплексних струмів гілок.

Zk

4.Визначення за першим законом Кірхгофа загальний комплексний струм I&.

5.Розрахування за заданими значеннями напруги U& , струму I&

активної Р,

реактивної Q, повної S потужності і кута зсуву фаз за

~

&&

формулою комплексної потужності S =UI .

Комплексна напруга на вхідних затискачах U& =60 В.

Комплексні опори гілок:

Z

= R + jX

L

= Z e jϕ1 ;

Z = R

− jX

C

= Z e− jϕ2

,

1

1

1

2

2

2

де

Z =

R2 + X2

;

ϕ =arccos

R1

;

1

1

L

1

Z1

Z =

R2

+ X

2

; ϕ

2

= arccos

R2

.

2

2

C

Z2

Комплексні струми гілок:

I&

=

U&

,

I&

=

60

=6e− j53,1o

А;

Z1

10e j53,1o

1

1

I&2

=

U&

,

I&2

=

60

=3e j53,1o

А,

Z2

o

20e− j53,1

де

Z =6 + j8 =10e j53,1o

Ом, Z

2

=12

− j16 = 20e− j53,1o

Ом.

1

За формулою Ейлера перейдемо до алгебричної форми зображен- ня комплексного числа:

17

I&1 =6e− j53,1o =6cos(−53,1o )+ j6sin(−53,1o )=(3,6 − j4,7) А.

I&2 =3e j53,1o =3cos53,1o + j3sin53,1o =(1,8 + j2,4) А.

Струм у нерозгалуженій частині кола (загальний струм)

I&= I&1 + I&2 , I&1 =3,6 − j4,8 +1,8 + j2,4 =(5,4 − j2,4) А.

Перейдемо від алгебричної до показової форми зображення комплексного числа:

I&=5,4 − j2,4 =5,91e− j24o А,

де I& = 5,42 + 2,42

= 5,91 А,

cosϕ =

5,4

= 0,914 , ϕ= 24o .

5,91

+J

I2

Векторна

діаграма

струмів

та напруги

ϕ2

U

+1

зображена

на

рис.3.7.

Повна

комплексна

потужність

ϕ1

I

~

o

–J

I2

S =

60(5,4 + j2,4)= 324 + j144 = 355e j24 B A ,

I1

де

Р

=

324

Вт

–

активна

потужність;

Рис.3.7

Q =144 вар – реактивна потужність.

Приклад 3.4. Вхідна напруга uвх =141sin(ωt +30o ). Опори R = 5 Ом,

XL = 4 Ом,

XC = 1 Ом.

Для

електричної

схеми рис.3.8 визначити

миттєве значення вихідної напруги.

XC

Комплексна вхідна напруга

i

U&вх =141e j30o =100e j30o В.

R

2

Комплексний повний опір

uвх

uвих

Z = R + jXL − jXC ,

XL

Z =5 + j4 − j1 =5 + j3 =5,83e j31o Ом.

Комплексний струм

U&

o

Рис.3.8

I& =

,

I&=

100e j30

=17,2e− j1o А.

Z

o

5,83e j31

Комплексний опір вихідного кола

Z

= R+ jX

L

,

Z =5 + j4 =

6,4e j38,7o Ом.

вих

вих

18

Комплексна вихідна напруга

U&вих = ZвихI&, U&вих = 6,4e j38,7o 17,2e− j1o =110e j37,7o В.

Миттєва вихідна напруга

uвих =110 2 sin(ωt +37,7o )В.

Приклад 3.5. У колі змінного струму напруга та струм змінюються за законами: u =141sin(314t +85o) і i =14,1sin(314t + 25o) . Визначити активну та реактивну потужності кола.

Діючі значення напруги та струму:

U =U2m =1412 =100 В; I = Im2 =142,1 =10 А.

Кут між напругою та струмом

ϕ=ψu −ψi =85o − 25o =60o,

де початкові фази напруги та струму ϕu =85o ; ϕi = 25o. Активна потужність кола

P =UIcosϕ ; P =100 10cos60o =100 10 0,5 =500 Вт.

Розрахунок можна зробити комплексним методом:

Комплексні діючі значення напруги та струму

U& =Ue jψu =100e j85o				В;	I&= Ie jψi		=10e j25o .
Комплексна повна потужність
~	&&	=UIe	j(ψu −ψi )	=100	10e	j(85o−25o)	=1000e	j60o	ВА.
S	=UI
~	=1000cos60o + j1000sin60o =(500						+ j866) ВА,
S

де P = 500 Вт, Q = 866 вар.

Приклад 3.6. Знайти активний опір кола, показаного на рис.3.9,

якщо i = 22 2 sin(ωt −30o) , u = 220 2 sin ωt .

Комплексні дійсні значення струму та напруги								I	R
I& = 22e− j30o	А,	U& = 220 В.
								U	L
Повний комплексний опір
	U&		220		=10e j30	o		Рис.3.9
Z =	& ;	Z =					Ом;
			22e	− j30o
	I

Z =10cos30o + j10sin30o =(8,66 + j5) Ом,

де активний опір кола R = 8,66 Ом.

19

4. ТРИФАЗНІ КОЛА

Трифазні електричні кола в залежності від числа проводів, що з'єднують джерело і приймач, бувають трипровідними і чотирипровідними.

У чотирипровідних колах до приймачів підводяться дві напруги: лінійна UЛ (напруга між лінійними проводами) і фазна Uф (напруга між лінійним і нейтральним проводами), що пов'язані між собою співвідношенням UЛ =UФ 3 .

У комплексній формі фазні напруги виражаються формулами

&	&	− j120o	&	j120o	.
U A =UФ,	UB =UФe		, UC =UФe

	+1	UAB
+j		UA
		–j
UCA	UC	UB
	–1	UBC
	Рис.4.1

Комплексні лінійні напруги:

&	j30o	,	&	− j90o	,	&	j150o
U AB =UЛe			UBC =UЛe			UCA =UЛe

Топографічна діаграма лінійних і фазних напруг зображена на рис.4.1.

Струми в трипровідній системі пов'язані рівнянням першого закону Кірхгофа

I&A + I&B + I&C =0.

Приклад 4.1. До трифазної лінії з лінійною напругою UЛ =380 В

A	Uл	Uл
B
	Uл
C
N	Iф	Iф	Iф

Rф Rф Rф

Xф			Xф	Xф

Рис.4.2

підключені три однакових споживачі, з'єднаних за схемою зірка з нейтральним проводом (рис.4.2). Активний і реактивний

опори	кожного	приймача
відповідно дорівнюють		RФ = 4 Ом,
XФ =3 Ом.	Визначити	струми у

фазах і нейтральному проводі, а також активну, реактивну і повну потужності трифазної системи.

Навантаження усіх фаз однакові, тому розрахунок проводять для однієї фази.

20