podgotovka_k_ekzamenu_1_sem_matematika

Практика

1. Найти f(A), если

2. Найти обратную матрицу методом вспомогательной матрицы: .

3. С помощью теоремы Кронекера-Капелли доказать совместность системы линейных уравнений и решить систему тремя способами: 1) правилом Крамера; 2) средствами матричного исчисления; 3) методом Гаусса: 1) ; 2) ; 3) .

4. Найти длины сторон и величины углов треугольника с вершинами А(-1;-2; 4), В(-4; -2; 0), С(3; -2; 1).

5. Даны векторы , и . Вычислить .

6. Заданы векторы . Найти координаты вектора .

7. Показать, что векторы , и компланарны. Разложить вектор по векторам и .

8. Даны четыре вектора в некотором базисе. Показать, что векторы , , образуют базис. Найти координаты вектора в этом базисе.

9. Даны координаты вершины пирамиды А₁(3;5;4), А₂(5;8;3), А₃(1;9;9), А₄(6,4,8). Требуется найти:

1. длину ребра А₁А₂ ;

2. угол между рёбрами А₁А₂ и А₁А₄:

3. площадь грани А₁А₂А₃;

4. объём пирамиды.

10. Даны векторы . Вычислить: а); б); в); г); д); е) напр. косинусы ; ж).

11. Известно, что . Вычислить: а) ; б); в) ; г) .

12. Определить, какая линия задана уравнением и построить её:

    1. ;

    2. ;

    3. ;

    4. ;

    5. .

13. Найти длину хорды эллипса , проходящей через его фокус параллельно малой оси.

14. Найти каноническое уравнение гиперболы, если , расстояние между фокусами равно 6.

15. Составить уравнение параболы с вершиной в начале координат, фокус которой находится в точке пересечения прямой с осью абсцисс.

16. На оси Оx найти точку, равноудалённую от точки А(1;;0) и от плоскости .

17. Установить как расположена точка А(2;-1;3) относительно сферы – на сфере, внутри неё или вне: .

18. Найти расстояние между прямыми и .

19. Найти координаты проекции точки М(2;2;-2) на плоскость .

20. Определить уравнение плоскости, проходящей через ось Оy и составляющей с плоскостью угол 60⁰.

21. Установить тип заданных поверхностей и построить их

1. ; 6) ;

2. ; 7) ;

3. ; 8);

4. ; 9) ;

5. ; 10).

22. Найти пределы числовых последовательностей или установить их расходимость:

1). 2). 3) .

23. Вычислить предел функции:

1. ; 6) ; 11) ;

2. ; 7) ; 12) ;

3. ; 8) ; 13) ;

4. ; 9) ; 14) ;

5. ; 10) . 15) .

24. Исследовать на непрерывность и построить график функции: .

25. Найти пределы, используя правило Лопиталя:

1) ; 2) ; 3) ;

4) ; 5) ; 6) ;

7) ; 8) ; 9) ; 10) .

26. Найти производные функций: 1); 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8).

27. Продифференцировать неявно заданную функцию: .

28. Продифференцировать функцию, заданную параметрически: 1); 2) .

29. Найти производную функции с помощью логарифмического дифференцирования:1); 2)

30. Вычислить с помощью дифференциала приближённое значение выражения .

31. Найти вторую производную функции .

32 Составить уравнения касательной и нормали к графику функции в точке .

33 Исследовать функцию и построить схематически её график.

34. Провести полное исследование функции и построить её график:

1); 2) ; 3); 4)

35. Найти неопределённые интегралы:

1.; 2.; 3.; 4.; 5.; 6.; 7.; 8.; 9.; 10.; 11); 12);13); 14); 15); 16)

36 Вычислить определённые интегралы:

. 1); 2); 3); 4); 5); 6); 7); 8); 9); 10) .

37 . Вычислить несобственный интеграл или доказать, что он расходится:

1); 2); 3); 4); 5); 6); 7).

38. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями:

1).

2).

3) .

4) , и осью ;

39. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями:

1).

2).

3) .

4) .

5)

40. Вычислить объём тела, полученного при вращении вокруг оси ординат фигуры, ограниченной линиями: .

41. Найти длину дуги кривой:

1) от начала координат до т. В(4;8).

2) .

3) .

4) длину дуги кривой от до .

Задача. При подготовке к экзамену студент за дней изучает часть курса, а забывает часть. Сколько дней нужно затратить на подготовку, чтобы студентом была освоена максимальная часть курса?

4