- •Интегральное исчисление
- •Неопределенный интеграл
- •Свойства неопределенного интеграла
- •Основные методы интегрирования
- •Интегрирование рациональных дробей
- •Интегрирование тригонометрических функций
- •Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •Определенный интеграл
- •Свойства определенного интеграла
- •2.2 Интегрирование методом замены переменной и по частям в определенном интеграле
- •Несобственные интегралы с бесконечными пределами
- •Геометрические и физические приложения определенного интеграла
- •Контрольные вопросы и задания
Свойства неопределенного интеграла
.
Проверка результата интегрирования производится дифференцированием.
или .
.
.
Если , то, где– дифференцируемая функция.
Например, .
В частности, если – линейная функция, то
(**),
т.к. . Заметим, что преобразование дифференциалак видусоответствует внесению константыпод знак дифференциала (см. 1.3 п. 3).
Таблица основных неопределенных интегралов
. В частности, .
.
. В частности, .
.
.
.
.
. В частности, .
. В частности, .
.
.
Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование.
Метод состоит в нахождении интеграла по таблице с помощью тождественных преобразований подынтегральной функции (выражения) с применением свойств интеграла.
Примеры:
.
.
.
.
В некоторых случаях сведение интеграла к табличным интегралам требует искусственных преобразований:
.
.
Заметим, что последний пример можно решить по-другому, применив в знаменателе формулу тригонометрии :
.
Метод подстановки (замены переменной).
Заключается во введении новой переменной интегрирования.
Пусть требуется найти интеграл .
Рассмотрим подстановку: – непрерывно дифференцируемая функция, тогда дифференциал функциии
–(1)
формула замены переменной в неопределенном интеграле.
После нахождения интеграла правой части следует перейти от новой переменной интегрирования к переменной, т.е. сделать обратную подстановку. Таким образом,
,
где – функция, обратная к.
Метод применяется, если новый интеграл проще исходного.
Пример 1. Найти интеграл .
Пусть и
.
Пример 2. Найти интеграл .
.
Пример 3. Найти интеграл .
Пусть и
.
Наиболее часто на практике формулу (1) применяют в обратном порядке.
Пусть требуется найти интеграл , где– сложная функция.
Сделаем подстановку , тогда дифференциал функциии.
Пример 4. Найти интеграл .
Пусть , тогдаи
.
Пример 5. Найти интеграл .
.
Пример 6. Найти интеграл .
.
Метод подведения (внесения) функции под знак дифференциала.
Применяется, когда в подынтегральном выражении есть произведение (дифференциал функции).
Пусть требуется найти интеграл .
По определению дифференциала функции: . Тогдаи, применяя свойство 5 интеграла, получим первообразную.
Заметим, что рассмотренный метод равносилен подстановке .
Пример 1. .
Данный пример показывает самый простой случай внесения под знак дифференциала константы, когда , аявляется дифференциалом функции. Очевидно, чтобы внести функцию под знак дифференциала, надо найти ее подходящую первообразную.
Пример 2. .
Пример 3. .
Приведем формулы наиболее часто встречающихся дифференциалов:
-
, ,;
;
;
;
;
;
;
;
;
.
Интегрирование по частям.
Метод основан на формуле интегрирования по частям:
, (2)
где – непрерывно дифференцируемые функции.
Интегрирование по частям применяется, если интеграл правой части формулы (2) проще исходного.
Например,
в интегралах вида
,
где – многочлен,
.
в интегралах вида
,
где – многочлен,,
.
В некоторых случаях формула применяется последовательно несколько раз.
Пример 1. Найти интеграл .
Пусть , тогдаи
.
Пример 2. Найти интеграл.
.
Пример 3. Найти интеграл .
.