Прекционное черчение

9

2.1.1. Призма

При образовании призматической поверхности образующая скользит по ломаной направляющей, оставаясь параллельной заданному направлению

(рис. 5 а и б).

à

á

â

Рис. 5. Образование призматической поверхности и призмы

Призма – это геометрическое тело, полученное в результате пересечения призматической поверхности двумя параллельными плоскостями, пересекающими все грани поверхности (рис. 5 в). Фигуры сечения – это основания призмы, а часть поверхности, заключенная между ними, – боковая поверхность призмы.

Правильная – призма, в основании которой лежит правильный многоугольник (рис. 6).

Рис. 6. Правильная шестигранная призма

Прямая – призма, ребра которой перпендикулярны основанию (рис. 6). Наклонная – призма, ребра которой наклонены к основанию. Параллелепипед – призма, основания которой прямоугольники.

10

Рассмотрим изображения правильной шестигранной призмы на комплексном чертеже (рис. 7).

Рис. 7. Комплексный чертеж правильной шестигранной призмы

Чтение комплексного чертежа призмы

1. Основания призмы – правильные шестиугольники, расположенные в горизонтальных плоскостях уровня, поэтому на П1 они изобразились в натуральную величину.

2.Боковые грани призмы – прямоугольники, расположенные в горизон-

тально-проецирующих плоскостях, поэтому на П1 они изобразились в виде отрезков прямых, обладающих собирательным свойством.

3.Стороны оснований призмы – горизонтальные прямые уровня, их натуральные величины на плоскости П1.

11

4.Боковые ребра – горизонтально-проецирующие прямые, фронтальные и профильные проекции – натуральные величины боковых ребер.

5.Горизонтальный очерк – проекции оснований призмы. Боковые грани

призмы занимают проецирующее положение по отношению к П1, поэтому горизонтальная проекция призмы обладает собирательным свойством.

6.Фронтальный очерк – проекции оснований в виде отрезков, обладающих собирательным свойством, и проекции крайних ребер 11′ и 44′.

7.Видимость поверхности. На плоскости П1 видимо верхнее основание призмы. При проецировании на П2 граница видимости проходит через боковые ребра призмы 11′ и 44′, поэтому видимыми на П2 являются три передние грани 1′122′, 2′233′ и 3′344′.

Построение профильной проекции призмы по двум известным

Профильная проекция – проекции оснований в виде отрезков 6323 и 6$32$3 и

проекции ребер.

Профильный очерк – проекции оснований в виде отрезков и проекции крайних ребер 22′ (33′) и 66′ (55′).

Видимыми на П3 являются грани 6′611′ и 1′122′.

Построение точек и линий на призме

1. Пусть необходимо построить точку А, принадлежащую грани 122′1′ и заданную фронтальной проекцией А2. Грань 122′1′ занимает горизонтальнопроецирующее положение, значит ее горизонтальная проекция обладает собирательным свойством. Следовательно, горизонтальная проекция точки А1 принадлежит прямой 1121. Без дополнительных построений при помощи вертикальной линии связи находим А1 # 1121. Профильную проекцию точки А строим по двум известным, для этого проводим горизонтальную линию связи и откладываем АzА3 = АхА1. Определяем видимость А3. Грань 131$32$323 видима, значит и проекция А3 ви-

дима.

2.Точка В принадлежит грани 22′3′3, которая занимает проецирующее по-

ложение по отношению к плоскостям П1 и П3, т. е. горизонтальные и профильные проекции этой грани обладают собирательным свойством. Поэтому горизонтальные и профильные проекции точки В находим, проведя вертикальные и горизонтальные линии связи.

3.Линия АВ, принадлежащая поверхности призмы, проходит по двум граням 11′2′2 и 22′3′3. Поэтому линия АВ проходит через ребро 22′ и разбивается на два отрезка АС и СВ. Точку С строим по принадлежности ребру 22′, которое занимает проецирующее положение по отношению к П1, поэтому С1 ≡ 21, а

С3 # 2$323 . Отрезок А3С3 принадлежит видимой на П3 грани 11′2′2, поэтому он

видим на П3, а В3С3 совпадет с проекцией грани 22′3′3, которая изобразилась в виде отрезка на П3 (проецирующее положение).

12

Пример построения выреза в призме

Рис. 8. Задание для построения выреза в призме

Анализ условия (чтение исходного чертежа) (рис. 8)

Дано: 1. Правильная трехгранная призма, грани которой проецирующие по отношению к П1 (собирательное свойство горизонтальной проекции призматической поверхности).

2.Сквозное призматическое отверстие, образованное тремя плоскостями, проецирующими по отно-

шению к П2 (собирательное свойство фронтальной проекции отверстия).

Вывод: горизонтальные и фронтальные проекции линий пересечения известны, необходимо построить их профильные проекции.

Порядок решения:

1. Строим изображение призмы (рис. 9) без учета отверстия, пользуясь введенными внутренними координатными осями и линиями проекционной связи.

2. Строим проекции линий пересечения каждой плоскости, ограничивающей отверстие, с каждой гранью (плоскостью) призмы. Рассмотрим, как пересекается каждая грань призмы каждой плоскостью отверстия.

а) Нижняя плоскость отверстия лежит в плоскости α, которая является горизонтальной плоскостью уровня. Плоскость α пересекает поверхность призмы по треугольнику, горизонтальная проекция которого совпадает с горизонтальным очерком призмы. Но в вырез попадает не весь треугольник, а его часть, ограниченная прямыми 11′ и 22′. Поэтому на передних гранях призмы получаем прямые 13 и 32 (точка 3 принадлежит ребру призмы), а на задней грани – прямую 1′2′.

б) Пересечение поверхности призмы с плоскостью β происходит по прямым 24 и 2′4′, которые занимают проецирующее положение по отноше-

нию к П1.

в) Пересечение передних граней призмы с плоскостью γ происходит по прямым 15 и 54, с задней гранью призмы – по прямой 1′4′. Точка 5 принадлежит переднему ребру призмы.

13

Рис. 9. Призма с вырезом

3. Строим профильные проекции выделенных прямых, для этого сначала строим профильные проекции точек 1, 1′, 2, 2′, 3, 4, 4′, 5. Соединяем полученные проекции точек прямыми с учетом видимости, используя порядок движения по плоскостям выреза: от точки 1 к точке 3 по видимой на П3 грани (1333 видима), от точки 3 к точке 2 по невидимой грани (3323 невидима, совпадает с 1333), от точки 2 к точке 4 по невидимой грани (2343 невидима), от точки 5 к точке 1 по видимой

грани (1353 видима).

Прямые 1′2′, 2′4′ и 1′4′ – линии пересечения плоскостей выреза с задней гранью призмы, являющейся профильно-проецирующей, – совпадают с профильной проекцией грани (по собирательному свойству).

4.Строим проекции линий пересечения плоскостей призматического отверстия: 11′ – проекция линии пересечения плоскостей α и γ, 22′ – проекция линии пересечения плоскостей α и β, 44′ – проекция линии пересечения плоскостей β и γ. Эти отрезки находятся внутри призмы, поэтому на П1 и П3 они невидимы.

5.Удаляем те участки призмы, которые оказались вырезанными отверстием. Это часть ребра между точками 3 и 5, а также части граней, заключенные ме-

жду плоскостями выреза. Часть прямой 2343 до прямой 1353 оказывается ничем не закрытой, а значит видимой на П3.

6.Обводим проекции призмы и полученные линии выреза.

14

2.1.2. Пирамида

При образовании пирамидальной поверхности образующая (прямая) при движении проходит через одну и ту же точку (вершину) и скользит по ломаной направляющей (рис. 10 а и б).

à

á

â

Рис. 10. Образование пирамидальной поверхности и пирамиды

Пирамида – это геометрическое тело, полученное в результате пересечения пирамидальной поверхности плоскостью, пересекающей все грани многогранного угла (рис. 10 в). Фигура сечения – это основание пирамиды, а отсеченная часть многогранного угла – боковая поверхность пирамиды. Основанием пирамиды является многоугольник, а боковыми гранями – треугольники.

Правильной называется пирамида, в основании которой лежит правильный многоугольник, а ее высота проходит через центр основания (рис. 11). Во всех остальных случаях пирамида называется неправильной.

Рис. 11. Правильная шестигранная пирамида

15

Рассмотрим изображение правильной шестигранной пирамиды на комплексном чертеже (рис. 12).

Рис. 12. Комплексный чертеж правильной шестигранной пирамиды

Чтение комплексного чертежа пирамиды

1. Основание пирамиды – правильный шестиугольник, расположенный в горизонтальной плоскости уровня, поэтому на П1 он изобразится в натуральную величину.

2.Ребра пирамиды расположены под углом к плоскости П1, поэтому они изобразятся в виде проекций соответствующих прямых, идущих от вершины к точкам оснований.

3.Грани пирамиды изобразятся в виде треугольников на плоскости П1.

4.Горизонтальная проекция пирамиды – проекция вершины S1, проекции ребер пирамиды, проекция основания.

Горизонтальный очерк – проекция основания в натуральную величину.

16

5. Фронтальная проекция пирамиды – проекция вершины S2, проекция основания, параллельного П1 (обладает собирательным свойством), проекции ребер.

Фронтальный очерк – проекция основания в виде отрезка 1242 и крайние

ребра S212 и S242.

6. Видимость поверхности. На плоскости П1 видима вершина и боковая поверхность пирамиды. При проецировании на П2 граница видимости проходит через боковые ребра пирамиды S1 и S4, поэтому видимыми на П2 являются три передние грани S12, S23 и S34.

Построение профильной проекции пирамиды

По двум известным проекциям пирамиды строим профильную проекцию – это проекция вершины S3, проекция основания, проекции ребер, идущих из вершины к точкам оснований.

Грани 1S2 (3S4) и 1S6 (5S4) изобразятся в виде треугольников, а грани 2S3 и 6S5 (профильно-проецирующие) – в виде отрезков S323 и S363, обладающих собирательным свойством. Профильный очерк – проекция основания в виде отрезка

6323 и крайние ребра S323 (S333) и S363 (S353). Видимыми на П3 являются грани 1S2 и 1S6.

Построение точек и линий на пирамиде

1. Пусть требуется построить точку А, заданную фронтальной проекцией и принадлежащую грани 1S2. Грань 1S2 располагается под углом ко всем плоскостям проекций. Поэтому проекции точки, принадлежащей этой грани, строим из условия принадлежности точки плоскости. Для этого проведем проекцию S2N2 вспомогательной прямой через А2.

Порядок построения:

1) A2 # S2N2.

2)N2 # 1222.

3)N1 # 1121 (вертикальная линия связи N2N1).

4)S1N1 = S1 N1.

5)A1 # S1N1 (вертикальная линия связи А2А1).

6)Видимость А1: грань S11121 видима, значит А1 видима.

7)А3: горизонтальная линия связи А1А3, АzА3 = АхА1 = yA.

8)Видимость А3: грань S31323 видима, значит А3 видима.

2.Необходимо построить точку В (В2), принадлежащую грани 2S3. Грань 2S3 занимает профильно-проецирующее положение, значит, проекция ее на П3 обладает собирательным свойством. Поэтому В3 находим без дополнительных по-

строений на горизонтальной линии связи (В3 # S323). По двум известным проекциям (В2 и В3) строим В1: вертикальная линия связи В2В1, ВхВ1 = ВzВ3 = уВ.

В1 видима, так как грань 21S131 видима.

3. Построение линии АВ (А2В2). Линия АВ, принадлежащая поверхности пирамиды, проходит по двум граням 1S2 и 2S3. Поэтому при движении по по-

17

верхности пирамиды по линии АВ необходимо пройти через ребро S2. Прямая АВ разбивается на два отрезка АС и ВС, причем С # S2.

Точку С строим по принадлежности ребру S2 (прямая общего положения). С1 видима, так как ребро S121 видимо. А1С1 и С1В1 видимы, так как соединяют видимые проекции точек. А3С3 видима, С3В3 совпадает с S323.

Пример построения выреза в пирамиде

Анализ условия (чтение исходного чертежа) (рис. 13)

Дано: 1. Правильная трехгранная пирамида – поверхность общего вида.

2. Сквозное призматическое отверстие, образованное тремя плоскостями, занимающими проецирующее положение по отношению к П2 (собирательное свойство фронтальной проекции отверстия).

Вывод: фронтальные проекции линий пересечения известны, необходимо построить их горизонтальные и профильные проекции.

Рис. 13. Задание для построения выреза в пирамиде

Порядок решения:

1. Строим изображение пирамиды (рис. 14) без учета отверстия, пользуясь введенными внутренними координатными осями и линиями проекционной связи.

2. Строим проекции линий пересечения каждой плоскости, ограничивающей отверстие, с каждой гранью (плоскостью) пирамиды на плоскостях проекций П1 и П2. Рассмотрим, как пересекается каждая грань пирамиды каждой плоскостью отверстия.

а) Нижняя плоскость отверстия лежит в плоскости α, которая является горизонтальной плоскостью уровня. Плоскость α пересекает поверхность пирамиды по треугольнику, стороны которого параллельны сторонам основания пирамиды. Построим прямые пересечения плоскости α с плоскостями граней, используя вспомогательную точку А, принадлежащую ребру пира-

18

миды. Через горизонтальную проекцию А1 построим горизонтальную проекцию треугольника. Но в вырез попадает не весь треугольник, а его часть, ограниченная прямыми 11′ и 22′. Поэтому на передних гранях пирамиды получаем прямые 13 и 32 (точка 3 принадлежит ребру пирамиды), а на задней грани – прямую 1′2′.

Рис. 14. Пирамида с вырезом

б) Пересечение поверхности пирамиды с плоскостью β происходит по прямым 24 и 2′4′. Для построения точек 4 и 4′ воспользуемся вспомогательными прямыми, проходящими параллельно сторонам основания. Для этого необходимо построить вспомогательную точку В, принадлежащую ребру пирамиды. Через горизонтальную проекцию точки В1 строим горизонтальные проекции вспомогательных прямых, которым принадлежат горизонтальные проекции точек 4 и 4′.

в) Пересечение пирамиды с плоскостью γ происходит по прямым: с передними гранями пирамиды – 15 и 54, с задней гранью – 1′4′. Точка 5 принадлежит переднему ребру пирамиды. Ее горизонтальную проекцию можно построить двумя способами: либо через вспомогательную прямую, либо через профильную проекцию.