20

Билет №20

1.Интегрирование дробно-рациональных функций

Известны сравнительно немногие классы функций, интегралы

которых выражаются через элементарные функции. Среди них

одним из основных классов является класс рациональных функций.

Рациональной дробью называется функция вида

R(x)=

где - алгебраический многочлен степени n;

- алгебраический многочлен степени m.

Здесь … ; - некоторые действительные числа, называемые коэффициентами многочлена.

Если степень многочлена в числителе n меньше степени

многочлена в знаменателе m, то дробь называется правильной,

в противном случае дробь называется неправильной.

Всякую неправильную дробь можно представить в виде суммы

многочлена и правильной дроби. Для этого нужно разделить

многочлен в числителе на многочлен в знаменателе по правилу

деления многочленов.

Так как интегрирование многочленов не вызывает трудностей,

то задача интегрирования рациональной дроби сводится к задаче интегрирования правильной рациональной дроби.

Определение. Правильные рациональные дроби вида

I.

II.

III.

Где A,B,p,q - действительные числа; кроме того квадратный трехчлен

не разлагается на линейные множители, т.е.

D= 0 называются I и II типа и интегрируются непосредственно

Aln

Интегрированные дроби III типа также проводится методом непосредственного интегрирования.

Интегрирование произвольной правильной дроби основывается на следующей теореме

Теорема.

Каждая правильная дробь может быть представлена в виде суммы конечного числа простейших дробей (без доказательства).

Разложение правильной дроби на простейшие определяется разложением ее знаменателя _{на простейшие множители. Известно, что всякий алгебраический многочлен разлагается единственным образом на множители типа x-a}

и , при этом 0, т.е. квадратичные множители

_{не разлагаются на линейные множители.}

_{Приведем без доказательства правила разложения правильной рациональной дроби на простейшие.}

_{В разложении знаменателя правильной дроби:}

_{1. Всякому неповторяющемуся линейному множителю вида (x-a) отвечает дробь I типа} .

2. _{Всякому повторяющемуся линейному множителю вида} соответствует одна дробь I типа и (r-1) дробей II типа

3. Всякому квадратичному множителю вида _{, не разлагающемуся на линейные множители, т.е.} D= 0,

отвечает дробь III типа

2. Разложение в ряд по степеням х следующих элементарных функций: , sin x, cosx.

1. Для функций f(x)=sinx и f(x)=cosx имеем при всех п=0, 1, 2,… и всех х, . Поэтому каждая из функций разлагается в степенной ряд, сходящийся на всей числовой оси.

Вычислив коэффициенты Тейлора , получим

2. Для функции f(x)= производные всех порядков на интервале (-R, R) равномерно ограничены, так как . Это означает, что показательная функция разлагается в степенной ряд на любом интервале (-R, R) и, следовательно, на всей оси ох.

Так как , n= 1, 2,…, то