билеты матан 3 мод 2010
.docx№1.Понятие первообразной. Неопр интеграл.
Функция F(x) на некотором промежутке X называется первообразной для функции f(x) на некотором множестве Х , если для любого x∈X выполняется условие F’(x)=f(x). ЛЕММА: функция, производная от которой на промежутке Х равна 0, постоянна на этом промежутке. Если F есть первообразная для f на Х, то любая другая первообразная может быть представлена в виде:
F(x)+c, где F(x) – первообразная, C – любая постоянная, F’(x)=f(x).
Если функция F(x) первообразная для функции f(x) на промежутке X, то множество функций F(x)+C, где C -- произвольная постоянная, называется неопределенным интегралом для функции f(x) на промежутке X и обозначается: ∫f(x)dx=F(x)+C
Операция восстановлении функции по ее производной называется интегрированием.
№2.Свойства неопределенного интеграла
1)производная от неопр интеграла равна подынтегральной функции 2)диффер. от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению 3) неопр интеграл от дифференциала некоторой функции равен сумме этой функции и произв. постоянной 4) Отличный от нуля постоянный множитель k можно выносить за знак неопределенного интеграла 5)неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме интегралов этих функций
№3 Таблица интегралов.
№4 Методы интегрирования.Метод разложения
Методы интегрирования:
-
Разложение
-
Непосредственное интегрирование
-
Замены переменной( подстановки)
-
По частям
Метод разложения Этот метод применяется для интегрирования функций f(x), представляющих собой алгебраическую сумму нескольких функций f1(x); f2(x);...; fn(x), первообразные которых заранее известны или могут быть легко получены. Тогда в соответствии со свойством 3 неопределенного интеграла получаем
№5 Метод замены переменной(подстановки)
Если функция f ( z ) определена и имеет первообразную при z Z , а функция z = g ( x ) имеет непрерывную производную при x X и её область значений g ( X ) Z , то функция F ( x ) = f [ g ( x )] g' ( x ) имеет первообразную на Х и
F ( x ) dx = f [ g ( x )] • g' ( x ) dx = f ( z ) dz , где g(x)=z, g´(x)dx=dz
№6. Метод интегрирования по частям.
# Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцированы на некотором множестве х, и пусть функция u’(x)*v’(x) имеет на этом множестве первообразную, тогда на множестве х функция u(x)*v’(x) тоже имеет первообразную, причем справедлива следующая формула:
Su(x)*v’(x)dx=u(x)*v(x)-Su’(x)*v(x)dx
[u(x)*v(x)]’=u’(x)*v(x)+u(x)*v’(x)
u(x)*v’(x)=[u(x)*v(x)]’-u’(x)*v(x) dx
Su(x)*v’(x)dx=S[u(x)*v(x)]’dx-Su’(x)*v(x)dx
↓
=d(u(x)*v(x))=u(x)*v(x)
# метод интегрирования по частям в тригонометрической функции применяется дважды, в качестве u оба раза следует выбирать либо показат. функцию, либо тригонометр.
№7. Интегр-ие тригоном-их ф-ий. 1) Преобразование произв-ия в сумму. cosαx cosβx, sinαx sinβx, sinαx cosβx.
cosαx ∙ cosβx = ½(cos(α−β)x + cos(α+β)x)
sinαx∙ sinβx=½(cos(α−β)x – cos(α+β)x)
sinαx∙ cosβx=½(sin(α−β)x + sin(α+β)x)
№8. Интегрирование рациональных дробей
Выражение , где Pm(x) и Qn(x) – многочлены m-й и n-й степени, называется рациональной дробью. Рациональная дробь называется правильной, если m<n, и неправильной, если m≥n. Если дробь неправильная, следует разделить числитель на знаменатель с выделением частного и остатка.
Теорема: любая правильная элементарная дробь может быть представлена в следующем виде: (Pm(x)/Qn(x) ) = = A1/(x-a)+A2/(x-a)2+...+Ak/(x-a)k+(B1x+C1)/(x2+px+q)+(B2x+C2)/(x2+px+q)2+...+ (Bex+Ce)/(x2+px+q)e
Это разложение называется разложением дробно-рац ф-и на элементарные дроби Qn(x)=(x-a)k
Если при разложении скобка повторяется к раз, то к-корень кратности. Правую часть мы приводим к общему знаменателю, дальше сравниваем числители дробей, т.к там присутствуют многочлены, то приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях Х, получаем систему для нахождения неизвестных коэффициентов.
Имеется 4 типа правильных дробей:
№10. Свойства определенного интеграла.
1) 2)
3)
4)
5)
№11. Оценки определенных интегралов
-
Если на отрезке [a;b] f(x)≥0, то : ∫f(x)dx≥0
-
[a;b] ; f(x)≤g(x) => ∫ba f(x)dx≤ ∫ba g(x)dx
h(x)=g(x)-f(x)≥0
0≤ ∫ba h(x)dx
-
[a;b] ; f(x), то |∫ba f(x)dx |≤ ∫ba |f(x)| dx
Доказательство: -|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|
-∫ba |f(x)| dx ≤ ∫ba f(x)dx ≤ ∫ba |f(x)| dx
|a|≤b -b≤a≤b
Если на отрезке [a;b] имеет место неравенство |f(x)| ≤ k , то |∫ba f(x) dx |≤ k (b-a)
-
Если функция достигает своих минимальных (m) и максимальных (М) значений на [a;b], то имеет место следующая оценка m|b-a| ≤ ∫f(x)dx ≤ M|b-a|
№9. Определенный интегралл его геометрический смысл.
Если существует конечный предел суммы δ=f(η1)*∆x1+f(η2)*∆x2+...+f(ηn)*∆xn при x→0, то этот предел называется определенным интегралом f(x) на [a;b], где a, b - верхний и нижний пределы интегрирования.
∫baf(x)dx= lim(λ→0) ∑ni=1f(ηi)*∆xi
Пусть на отрезке [а; b] задана непрерывная функция у = ƒ(х) ≥ 0. Фигура, ограниченная сверху графиком функции у = ƒ(х), снизу — осью Ох, сбоку — прямыми х = а и х = b, называется криволинейной трапецией. Найдем площадь этой трапеции.
Для этого отрезок [а; b] точками а=х0, х1, ..., b=хn (х0<x1<...<xn) paзобьем на n частичных отрезков [хо;х1], [х1;х2],...,[хn-1;хn]. (см. рис. 168). В каждом частичном отрезке [xi-1;xi] (i=1,2,..., n) возьмем произвольную точку ci и вычислим значение функции в ней, т. е. ƒ(ci).
Умножим значением функции ƒ(ci) на длину ∆xi=xi-xi-1 соответствующего частичного отрезка. Произведение ƒ(ci) • ∆xi равно площади прямоугольника с основанием ∆xi и высотой ƒ(ci). Сумма всех таких произведений
равна площади ступенчатой фигуры и приближенно равна площади S криволинейной трапеции:
С уменьшением всех величин Δхi точность приближения криволинейной трапеции ступенчатой фигурой и точность полученной формулы увеличиваются. Поэтому за точное значение площади S криволинейной трапеции принимается предел S, к которому стремится площадь ступенчатой фигуры Sn, когда n неограниченно возрастает так, что λ = max∆xi →0:
Итак, определенный интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.
В этом состоит геометрический смысл определенного интеграла.
№12.Теорема о среднем.
Если f(x) непрерывна на отрезке [a,b], то существует точка , такая что . Док-во. Функция, непрерывная на отрезке, принимает на этом отрезке своё наименьшее m и наибольшее M значения. Тогда . Число заключено между минимальным и максимальным значениями функции на отрезке. Одно из свойств функции, непрерывной на отрезке, заключается в том, что эта функция принимает любое значение, расположенное между m и M. Таким образом, существует точка , такая что .
№13 Определенный интеграл с переменным верхним пределом
верхний предел интеграла может меняться, т.е. что x - переменная, в результате интеграл будет функцией Ф(x) своего верхнего предела: . Легко доказать, что если f(t) интегрируема, то Ф(x) непрерывна, но для нас важнее следующая фундаментальная теорема: Теорема об интеграле с переменным верхним пределом. Если функция f(t) непрерывна в окрестности точки t = x, то в этой точке функция Ф(x) дифференцируема, и . Другими словами, производная определённого интеграла от непрерывной функции по верхнему пределу равна значению подынтегральной функции в этом пределе. Док-во. Дадим верхнему пределу x приращение . Тогда
, где c - точка, лежащая между x и (существование такой точки утверждается теоремой о среднем; цифры над знаком равенства - номер применённого свойства определённого интеграла). . Устремим . При этом (c- точка, расположенная между x и ). Так как f(t) непрерывна в точке t = x, то . Следовательно, существует , и . Теорема доказана.
Следствия: 1.Любая непрерывная функция f(x) имеет первообразную, и эта первообразная определяется формулой , 2. формула Ньютона-Лейбница, или основная формула интегрального исчисления.
№ 14. Формула Ньютона-Лейбница
Если непрерывна на отрезке и F — ее первообразная на этом отрезке, то имеет место равенство
Док-во: в силу того, что f(x) непрерывна на [a;b] , она имеет первообразную F (x) во всех точках промежутка. Существует С*, такое, что = F(x) + C*. Равенство верно при любом х из [a;b].
X=a, , F(a)+C*=0, C*=-F(a)
X=b, *= F(b)-F(a), чтд.
№15 Особенности вычисления определенных интегралов.
Пусть функция у = f(x) определена во всех точках отрезка [а; b]. Произвольной конечной системой точек x1, i = 0, 1, ... , п, таких что
а = х0 < х1 < х2 < ... < хn-1 < хn = b
разбиваем отрезок [а; b] на отрезки [xi; xi+1]; i = 0, 1, ... , n - 1. На каждом из полученных отрезков произвольным образом выбираем точку ci+1: ci+1 [xi; xi+1], и рассчитываем значение функции у = f(x) в этих точках. Составляем так называемую интегральную сумму, соответствующую данной разбивке xi и выбору точек ci+1, i = 0, 1, ... , n - 1 : где xi = хi+1 - хi Обозначим через = max |xi|, т. е. - длина наибольшего из отрезков [xi; xi+1]. Определение 1. Если при -> 0 (n -> ) существует конечный предел интегральных сумм , то этот предел называется определенным интегралом функции у = f(x) на отрезке [а; b]: Определение 2. Если существует определенный интеграл функции у = f(x) на некотором отрезке, то функция называется интегрируемой на этом отрезке. К числу наиболее важных типов интегрируемых функций относятся непрерывные функции; ограниченные функции, имеющие конечное число точек разрыва; ограниченные монотонные функции.
№16. Вычисление площади плоской фигуры.
Для вычисления площади плоской фигуры используют следующие этапы:
1) определяется вид искомой площади фигуры
2)устанавливаются пределы интегрирования
3)устанавливаются участки, на которых подынтегральная функция положительная и отрицательная
4)берутся интегралы, на каждом участке находится суммарная абсолютная величина площадей этих участков
Если требуется вычислить S фигуры, ограниченной двумя кривыми на участке
[a,b] y1= f1(x), y2=f2(x), то искомая S находится как разность площадей криволинейных трапеций, ограниченных разными кривыми
S= a∫b f1(x)dx - a∫b f2(x)dx = a∫b (f1(x) - f2(x))dx
В некоторых случаях пределы интегрирования не заданы, и они находятся в процессе решения.
№17. Вычисление площади поверхности тела вращения
Найдем площадь поверхности, которая образуется вращением кривой вокруг оси , где .
Указанную площадь можно получить вычислением определенного интеграла:
Теперь рассмотрим случай, когда вращаем кривую вокруг оси , где
В этом случае площадь определяется вычислением следующего определенного интеграла:
№18. Вычисление объема тела вращения.
Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной
Объем этого тела
.
Если криволинейная, ограниченная
, вращается вокруг оси Oy, то объем полученного тела вычисляется по формуле
.
Докажем сформулированные утверждения. Заметим, что если - разбиение отрезка , то будет представлять приближенно объем тела вращения. Это выражение можно рассматривать как интегральную сумму. Переходя к пределу, получаем
.
№19. Вычисление длины дуги кривой.
Пусть известна функция и требуется найти длину дуги, заданной функцией , где .
Для определения длины дуги необходимо вычислить определенный интеграл:
№20. Несобственные интегралы.
Будем считать, что определена и непрерывна в и стремится к бесконечности при . Составим интеграл
.
Очевидно, что в этом случае интеграл зависит от значений ε. Перейдем к пределу при и назовем этот предел несобственным интегралом первого рода:
.
Если сущ-ет и конечен, то несобственный интеграл наз. сходящимся. Если этот предел не сущ-ет или бесконечен, то несобственный интеграл наз. расходящимся.
Предположим, что непрерывна в любом конечном промежутке , тогда сущ-ет определенный интеграл . В данном случае величина b задает верхний переменный предел интегрирования.
Устремим b к бесконечности и рассмотрим предел
,
который назовем несобственным интегралом второго рода. Если этот предел сущ-ет и конечен, то интеграл наз. сходящимся. Если предел не сущ-ет или бесконечен, то несобственный интеграл наз. расходящимся.
Следует отметить важное св-во несобственных интегралов.
Известно, что для опред. интеграла справедливо утверждение:
если сущ-ет , то сущ-ет и интеграл .
В случае несобственных интегралов получаем след. утверждение: из сходимости несобственного интеграла от следует сходимость несобственного интеграла от . Примем это утверждение без док-ва.
Если несобственный интеграл сходится, то говорят, что интеграл сходится абсолютно. (Аналогично абсолютная сходимость опред-ся для несобственного интеграла первого рода).
Следует заметить, что сходимость несобственного интеграла не влечет сходимости несобственного интеграла . Такую сходимость будем наз. условной.
№21.Теоремы сравнения
Т 1. Если φ(х), f(x)– неотрицательныефункции и φ(х) f(x) для то:
-
Из сходимости следует сходимость ;
-
Из сходимости следует расходимость
Т 2. Если φ(х), f(x)– неотрицательныефункции и существут конечный предел , то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно.
№23. Обыкновенные диф уравнения. Их решения.
Обыкновенным диф.уравнением называется соотношение вида F(x,y,y’,y’’,…y(n))=0 (1), которая связывает первый независимый аргумент (х), неизвестную функцию (у) и ее производную.
Порядок старшей производной в диф.уравнении называется порядком диф.уравнения.
Замечание: y(i) не обязательно входит в уравнение (1)
Решением диф.уравнения называется функция y=φ(x), которая при подстановке ее в (1) превращает последнее в тождество.
График решения диф.уравнения – интегральная кривая этого уравнения.
К основным задачам теории диф.уравнений относятся: 1) разыскание всех решений; 2) изучение свойств этих решений.
Решить диф. уравнение=проинтегрировать.
Общим решением диф.уравнения (1) называется такая функция y=ф(x, y, C1,…,Cn)(2), где n- порядок диф.уравнения.
Если каждой из const Ci присвоить определенное значение, то решение, полученное после подстановки этих значений в (2) будет называться частным.
Диф.уравнение называется линейным, если все производные функции и сама ф-я входит в уравнение (1) в первой степени.
a0(x)*y(n)+a1(x)*y(n-1)+…+a(n-1)(x)*y’+an(x)*y=f(x)
№22. Применение интегралов в экономике
Пусть функция z=f(x) описывает изменение производительности некоторого производства с течением времени. Тогда объем продукции , произведенной за промежуток времени вычисляется по следующей формуле:
Возможность учета влияния различных факторов на изменение производительности производства связана с использованием,например, так называемых функций Кобба-Дугласа. Вэтом случае производительность f(t) представляется в виде произведения трех сомножителей:
Доход от реализации количества товара x0 по равновесной цене р0 равен проиведению х0р0. Если предполагать непрерывное снижение цены рD=f(0) до равновесной р0 по мере удовлетворения спроса,то доход составит . Величина денежных средств сберегается потребителями, если предполагать продажу товара по равновесной цене р0, поэтому С называется также выигрышем потребителей.
Аналогично,
называется выигрышем потребителей.