Теоретико-методичні основи вивчення множення на дво- та трицифрове число у концентрі «Багатоцифрові числа».

Розгляду випадків ділення чисел, які закінчуються нулями передує певна підготовча робота. Її сутність полягає в тому, що з дітьми опрацьовується властивість ділення числа на добуток і ділення на 10, 100, 1000, зокрема ділення з остачею. Оскільки у перспективі випадки ділення трицифрового числа на круглі десятки без остачі, а особливо, з остачею, будуть компонентом алгоритму ділення багатоцифрового числа на двоцифрове число, то вчитель повинен приділити таким випадкам надзвичайну увагу. Спочатку розглядаються випадки ділення багатоцифрових чисел на 10, 100 і 1000, наприклад: 87:10, 974:100, 5764:1000. Теоретико-методичні основи розгляду всіх вказаних випадків однакові, а тому покажемо зміст роботи вчителя лише для одного з випадків. Наприклад, 5764:1000. Чому дорівнює ділене? – 5764. Чому дорівнює дільник? – 1000. Яке найбільше кругле число, що менше 5764 ділиться на 1000 без остачі? – 5000. Чому дорівнює частка від ділення 5000 на 1000? – 5. Як визначити остачу? – від 5764 відняти 5000. Чому дорівнює остача? – 764. Чи закінчили ми ділення? – так, бо остача 764 менша, ніж дільник 1000. Як записати розв’язання цього прикладу? – 5764:1000=5(ост. 764). Враховуючи індивідуальні особливості учнів, вчитель повинен надавати їм більше самостійності при розгляді кожного наступного прикладу чи випадку.

3. Ділення на розрядні числа. При розгляді випадків ділення трицифрового числа на круглі десятки, наприклад 287:30, найдетальніше пояснення для учнів може бути таким: на які множники, один з яких 10, можна розкласти число 30? – на 10 і 3. На який множник будемо спочатку ділити число 287? – на 10. Скільки отримаємо при цьому? – 28. На яке число нам слід ще поділити число 28? – на 3. По скільки візьмемо? – по 9. Як дізнатися, яке число ми поділили? – 9 помножити на 30. Скільки одержимо? - 903=270. Скільки одиниць нам ще залишилося поділити? – 287-270=17. Чи закінчили ми ділення? - так, бо ми отримали остачу 17, яка менша, ніж дільник 30. Як записати розв’язання прикладу? – 287:30=9(ост. 17). У подальшому при розв’язуванні прикладів дітям, які успішно засвоїли цей прийом, можна дозволити скоротити пояснення, а від решти школярів слід вимагати детальних пояснень доти, доки вони його не засвоять. Вчителеві при цьому не слід лякатися втрати часу, який можна буде надолужити при розв’язуванні прикладів цього виду, представлених у підручнику та прикладів на ділення на дво- та трицифрове число.

Розглянемо теоретико-методичні основи пояснення прийомів ділення круглих чисел. У результаті виконання перших таких прикладів дітей треба підвести до висновку, що частка не зміниться, якщо у діленому і дільнику опустити справа однакову кількість нулів. Це робиться з допомогою зіставлення розв’язання пар прикладів виду 45780:6 і 4578:6 . Після того, як діти розв’яжуть ці приклади, проводимо таку роботу: чим відрізняються записи ділених в обох прикладах? – у першому прикладі ділене закінчується нулем. Чим схожі ділені в обох прикладах? – вони мають однакові перші чотири цифри. Чим відрізняються дільники? – у записі дільника першого прикладу є нуль у кінці. Що можна сказати про частки в обох прикладах? - вони однакові. Як же можна спростити виконання таких прикладів на ділення? – поділити два числа, відкинувши у їхніх записах справа однакову кількість нулів. Розглянувши кілька таких прикладів, дітей слід підвести до відповідного узагальнення: для спрощення ділення чисел, які закінчуються нулями, можна у діленому і дільнику відкинути справа однакову кількість нулів, а потім виконати ділення менших одержаних чисел. Аналіз системи вправ підручника М.Богдановича свідчить, що у ньому використано, в основному, лише ділення на двоцифрові круглі числа виду 92760:30, але й зустрічаються приклади виду 18000:200, 3600:500.

Спеціальні дослідження свідчать, що складність ділення багатоцифрових чисел обумовлюється слабкими знаннями нумерації цих чисел, нерозумінням їх десяткової структури. Експериментальними дослідженнями доведено, що діти, котрі не засвоїли розрядів, не вміють визначати кількості десятків, сотень, одиниць тисяч, десятків тисяч, завжди припускаються помилок при діленні. Крім цього, недостатня сформованість прийомів усного виконання позатабличного ділення є головною причиною неоволодіння діленням багатоцифрових чисел. Наведені дані дозволяють зробити висновок про необхідність саме такої підготовчої роботи.

Досить значний відсоток школярів допускають помилки при визначенні кількості цифр частки. Для того, щоб сформувати у дітей, які допускають такі помилки, правильне уявлення про те, що “розряд першого неповного діленого є і вищим розрядом частки” та забезпечити логічний перехід від розряду першого неповного діленого до кількості цифр частки, потрібно використовувати усні вправи такого виду: 1) скільки цифр буде містити частка, якщо перше неповне ділене 12 дес., 67 тис. тощо; 2) виконавши ділення у таких випадках: 9870:35, 136576:64, 95345:485, 76171:19, 720036:36, учень у частці отримав відповідно: а) трицифрове число; б) чотирицифрове число; в) двоцифрове число; г) чотирицифрове число; д) трицифрове число. У яких випадках частку знайдено правильно і чому? 3) не виконуючи дії ділення і множення, знайди правильні рівності: 116174:58=203, 44172:9=4908, 21476:7=368. Для того, щоб учні не пропускали нулів у частці треба використовувати перед цим вправи на ділення з остачею для виразів виду: 7:23, 2:5, 9:15, записуючи так: 7=023+7.

Розряд першого неповного діленого є і вищим розрядом частки. Вчителі повинні усвідомлювати, що для того, щоб учні не пропускали цифри частки та не одержували лишніх цифр у частці, потрібно формувати у них: 1) уміння усвідомлено визначати кількість цифр у частці; 2) розуміння про те, що менше число ділиться на більше число з остачею, а отже, і частка у цьому випадку буде; 3) неформальне засвоєння способу утворення неповних ділених; 4) знання про те, що кожне неповне ділене обов’язково дає цифру частки у відповідному розряді.

Вчителі повинні чітко усвідомлювати, що дітям досить важко визначати неповні ділені та цифру частки. З огляду на сказане, слід чітко розуміти спосіб утворення неповних ділених. Як відомо, він складається з таких операцій: 1) визначення кількості цифр дільника; 2) визначення можливої кількості цифр неповного діленого; 3) перевірка того факту, чи підходить, чи не підходить неповне ділене утворене з такої кількості цифр, що складається дільник; 4) перевірка того факту, що неповне ділене, яке складається з тієї кількості цифр, яка на одну більша, ніж кількість цифр дільника; 5) знаходження та перевірка цифри частки; 6) переводу одиниць вищого розряду (переводу остачі) в одиниці наступного нижчого розряду та додавання одержаного круглого числа з одиницями цього ж розряду, що є у повному діленому.

Знайшовши перше неповне ділене, кількість цифр у частці, першу цифру частки та перевіривши її, діти можуть зустрітися з випадком, коли неповне ділене не ділиться на дільник. Щоб полегшити дітям розв’язання таких прикладів, корисно розглянути вправи на ділення з остачею; випадки ділення круглих іменованих чисел на одноцифрове число: 6700:5, 16000:2, 48000:3. Два останні випадки зводяться до ділення іменованих чисел на одноцифрове число: 16 тис. : 2, 48 тис. : 3.

Підручник з математики М.Богдановича рекомендує спочатку розглянути приклад на ділення трицифрового числа на двоцифрове без остачі, а потім з остачею, наприклад: 182:26 і 652:86. Отже, це вправи, особливістю яких є те, що частка складається з однієї цифри. Пізніше з’являються вправи, в яких частка містить більше, ніж одну цифру, наприклад: 452:14, 30552:57. У міру засвоєння учнями алгоритму ділення на двоцифрове число з’являються приклади, в яких ділене і частка закінчуються нулями або у частці є нуль всередині, або частка закінчується нулем, але маємо ділення з остачею, або випадки ділення складених іменованих чисел на двоцифрове число, наприклад: 211110:62, 285360:82, 23227:54, 26 кг 372 г : 76.

На нашу думку, пояснення, які даються у підручнику М.Богдановича для четвертого класу, не сприяють, по-перше, особистісній орієнтації навчального процесу, а по-друге – незрозумілі не лише учням, але й вчителям. Саме тому, ми пропонуємо роботу над прикладом 42372:66 проводити так: скільки цифр містить дільник? – дві. Скільки цифр може містити перше неповне ділене? – дві або три. Із скількох цифр спочатку утворимо перше неповне ділене? – із двох. Прочитайте його! – 42 тис. Чи можна його поділити на 66? – ні, бо ми не отримаємо тисяч. Із скількох же цифр утворимо перше неповне ділене? – із трьох. Прочитайте його! – 423 сотні. Що означатиме перша цифра частки? – сотні. Скільки ж цифр буде у частці? – три, бо перша цифра частки означатиме сотні. Поставте у частці три крапки. Як знайти першу цифру частки? – треба 42 поділити на заокруглений дільник, тобто 42:7, буде 6. Як перевірити першу цифру частки? - 666=396. Як визначити, чи правильно знайдено першу цифру частки? – слід від першого неповного діленого 423 відняти 396 і порівняти отриману різницю з дільником. Чи правильно знайдено першу цифру частки? – так, бо 423-396=27, а це менше, ніж дільник 66. Скільки сотень залишилося у нас неподіленими? – 27. Скільки це буде десятків? – 270. Скільки у нас ще є десятків? – 7. Скільки є всього десятків? – 277. Чому дорівнює друге неповне ділене? – 277 дес. Як визначити другу цифру частки? – 27:7. Як перевірити, чи правильно знайдено другу цифру частки? - 663=198. Скільки десятків залишилося неподіленими? – 277-198=79. Чи правильно ми знайшли другу цифру частки? – ні, бо 79 більше за дільник 66. Яку цифру перевірятимемо? – 4. Чи підходить вона? – так, бо 664=264 і 277-264=13. Скільки десятків залишилося неподіленими? – 13. Чи правильно знайдено другу цифру частки? – так. Скільки одиниць міститься у 13 дес.? – 130. Скільки ще одиниць у нас є неподіленими? – 130+2=132. Чому дорівнюватиме третє неповне ділене? – 132. Як визначити третю цифру частки? - 132:66. Якою буде третя цифра частки? – 2. Як її перевірити? – 662. Чи закінчили ми ділення? – так, бо знайшли всі три цифри частки. Як перевірити, чи правильно виконано ділення? – частку помножити на дільник.

Таку роботу з учнями слід проводити доти, доки вони не засвоять відповідний алгоритм. Разом з тим, у міру засвоєння їхні пояснення поступово можуть скорочуватися, але при появі помилок слід звернутися до детальніших пояснень. Скорочення пояснень може бути таким: скільки тисяч ми не можемо поділити на 66? Скільки це буде сотень? Яким буде перше неповне ділене? Як знайти першу цифру частки? Скільки цифр буде у частці? Скільки сотень ми не поділили? Чи правильно знайдено першу цифру частки? Скільки десятків ми ще не поділили? Яким буде друге неповне ділене? тощо.