22.05
.pdfМосковский физико-технический институт
Теория вероятностей
1 курс. 2 семестр. 2015 год.
Лектор: Горяйнов Виктор Владимирович
Набрал:
Ломов Артём
Содержание
1 Пространство элементарных событий |
2 |
1.1Законы де Моргана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2Основное правило комбинаторики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3 Выборки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.4Размещение k частиц по n ячейкам . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.5Пример геометрических вероятностей. Задача о встрече . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2 |
Алгебра событий и свойства вероятностей |
4 |
|
3 |
Условная вероятность и независимость |
5 |
|
|
3.1 |
Независимость . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
7 |
4 |
Независимость испытания. Схема Бернулли |
8 |
|
|
4.1 |
Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
8 |
5 |
Полиномиальная схема |
10 |
|
6 |
Случайные величины |
10 |
6.1Математическое ожидание . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
6.2Дисперсия случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.3Случай счетного количества . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
6.4Основные целочисленные случайные величины и их распределения . . . . . . . . . . . . . 13
7 Пространство с мерой и общая модель вероятностного пространства |
14 |
7.1Сигма-алгебра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
|
7.2 |
Вероятностные пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
|
7.3 |
Функция распределения вероятностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
16 |
8 |
Математическое ожидание |
18 |
|
|
8.1 |
Предельные теоремы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
20 |
9 |
Совместное распределение и независимость случайной величины |
20 |
|
|
9.1 |
Независимость случайной величины . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
21 |
9.2Ковариация и коэффициент корреляции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
9.3Задача линейного оценивания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
|
9.4 |
Ковариационная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
|
9.5 |
Корреляционная матрица . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
24 |
10 |
Неравенство Чебышева. Закон больших чисел |
25 |
|
|
10.1 |
Законы больших чисел: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
25 |
11 |
Характеристические функции. Центральная предельная теорема |
26 |
|
|
11.1 |
Таблица характеристических функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
27 |
|
11.2 |
Виды сходимости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
29 |
|
11.3 |
Центральная предельная теорема . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
30 |
12 |
Марковские цепи |
32 |
|
|
12.1 |
Теорема о предельных вероятностях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
32 |
1
Лекция 1 13.02.2015
1Пространство элементарных событий
А - событие
n - число экспериментов
nA - количество произошедших событий Аa = nnA - частота появления события
P(A) - вероятность события А - проявляется через частоту Элементарный исход ! - неделимое событие. Событие - подмножество элементарных исходов. Совокупность всех элементарных исходов - .
Говорят, что событие А произошло, если ! 2 A. A [ B - произошло A или B
A \ B = AB - произошли и А и B- достоверное событие
? - невозможное событие (не путать с событием вероятности 0!) A = n A - отрицание
A n B = AB
1.1Законы де Моргана
Ai; i 2 I - некоторые события
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
\ |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai = |
Ai |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
i2I |
i2I |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
\ |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
Ai = |
Ai |
|
|
||||
Докажем первое: |
|
|
|
i2I |
i2I |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Теоретико-множественное равенство вытекает из двух включений. |
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
S |
|
|
|
|
T |
|
|||
|
S |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
1) ! 2 Ai ) ! 2= |
|
Ai ) ! 2= Ai; 8i 2 I ) ! 2 Ai; 8i 2 I ) ! 2 Ai |
|||||||||||||
|
i2I |
|
i2I |
|
|
|
i2I |
||||||||
|
T |
|
|
|
|
|
|
|
|
S |
|
||||
2) ! 2 |
|
Ai ) ! |
2 Ai; 8i 2 I ) ! 2= Ai; 8i 2 I ) ! |
2= Ai ) ! 2 |
|
Ai |
|||||||||
|
i2I |
|
|
|
|
|
|
i2I |
i2I |
||||||
Доказано. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1.2Основное правило комбинаторики
Дискретная модель - пространство элементарных исходов конечно или счетно.
= f!1; !2; :::g
Каждому элементарному исходу !k соответствует вероятность его выпадения pk.
k: Pk2 |
pk |
P(A) = |
|
! |
A |
Классическое определение вероятности: конечно, все элементарные исходы равновероятны. j j = N jAj = K P(A) = KN
Основное правило комбинаторики:
Есть m различных групп уникальных элементов. jij = ki; i = 1; m
Выбираем из каждой группы один элемент. Всего N = k1 k2 ::: km различных комбинаций.
2
1.3Выборки
Есть n элементов, занумерованных от 1 до n. Делаем выборку объёмом k.
Выборки различаются по двум критериям: упорядоченность(если имеет значение порядок элементов)
ис возвращением или нет (элементы могут повторятся или нет).
1.упорядоченная выборка с возвращениями [размещение с повторениями]
n n ::: n = nk
| {z }
k
2. упорядоченная выборка без возвращений [размещение без повторений]
n (n 1) ::: (n k + 1) = n! = Ak
(n k)! n
3. неупорядоченная выборка без возвращений [сочетание без повторений]
|
Ank |
= Ck |
|
k! |
|||
|
n |
4. неупорядоченная выборка с возвращениями [сочетание с повторениями]
Докажем, что количество таких выборок Ck
n+k 1
Q(n,k) - количество таких выборок
Б.и. Q(n,1)=n;
И.ш. Пусть формула верна для 1,...,k. Докажем, что она верна и для k+1 (Q(n,k+1)=Cnk++1k). Разобъём множество всех выборок объёмом k+1 на непересекающиеся подмножества:
1-ое - хотя бы один раз есть элемент 1; 2-ое - нет элемента 1; хотя бы один раз есть элемент 2;
3-ое - нет элементов 1,2; хотя бы один раз есть элемент 3;
...
n-ое - нет элементов 1,...,n-1; хотя бы один раз есть элемент n;
Найдём сумму всех подмножеств:
Q(n; k + 1) = Q(n; k) + Q(n 1; k) + ::: + Q(1; k) = Cnk+k 1 + Cnk+k 2 + ::: + Ckk+1 + Ckk = (Cnk++1k
Cnk++1k 1) + (Cnk++1k 1 Cnk++1k 2) + ::: + (Ckk+2+1 Ckk+1+1) + Ckk = Cnk++1k ч.т.д.
1.4Размещение k частиц по n ячейкам
Частицы могут быть различные или одинаковые. Может существовать ограничение: в каждой ячейке не более одной частицы.
1.различные частицы, размещение без ограничений (статистика Максвелла-Больцмана)
Каждой частице ставится в соответствие номер ячейки. Происходит выборка номеров ячеек. Это эквивалентно упорядоченной выборке с возвращениями. nk
2.различные частицы, размещение с ограничением
Это эквивалентно упорядоченной выборке без возвращений. Akn
3.одинаковые частицы, размещение с ограничением (статистика Ферми-Дирака)
Это эквивалентно неупорядоченной выборке без возвращений. Cnk
4.одинаковые частицы, размещение без ограничений (статистика Бозе-Эйнштейна)
Это эквивалентно неупорядоченной выборке с возвращениями. Ck
n+k 1
1.5Пример геометрических вероятностей. Задача о встрече
Два друга договорились встретится в интервале 1 час. Каждый приходит, ждёт 15 минут и уходит, если не встретил друга. Какова вероятность их встречи (событие А)?
3
Проекция точки на ось x - время прихода первого, на ось y - второго. Заштрихованная область - друзья встречаются. Вероятность их встречи равно отношению площадей закрашенной фигуры ко всему квадрату. Заметим, что дискретная модель уже не работает, т.к пространство элементарных
исходов не счётно.
P(A) = mesA = 7=16
mes 1
Лекция 2 20.02.2015
2Алгебра событий и свойства вероятностей
Какой класс подмножеств следует называть событиями? A [ B AB A - теоретико-множественные операции
Определение: Класс подмножеств - A- будем называть алгеброй, если
1)2 A;
2)Aзамкнуто относительно теоретико-множественных операций.
Предложение 1: A- класс подмножеств , удовлетворяющий следующим условиям
1)2 A
2)Если А 2 A ) A 2 A
3)Если А и B 2 A ) A [ B 2 A Тогда A- алгебра.
n
S
Определение: D = fD1; :::; Dng будем называть разбиением, если DiDj = ? при i 6= j и Di = :
i=1
Di - атомы разбиения.
В случае, когда P(Di) > 0 8i = 1; :::; n; D - называется группой событий, а Di - гипотезы.
A(D) - класс подмножеств, которые состоят из , всевозможных объединений атомов и ?. A(D) - алгебра.
Свойства вероятностей P : A 7!R:
1.неотрицание 8A 2 A P(A) > 0
2.нормированность P( ) = 1
3.аддитивность A; B 2 A; AB = ? ) P(A [ B) = P(A) + P(B)
Следствия:
1.A 2 A P(A) = 1 P(A) (P(?) = 0)
2.A B ) P(B n A) = P(B) P(A)
3.A B ) P(A) 6 P(B)
4.8A 2 A 0 6 P(A) 6 1
5.8A; B 2 A P(A [ B) = P(A) + P(B) P(AB)
4
Доказательство:
1)= A [ A; AA = ?
1 = P( ) = P(A) + P(A)
2)A B B = A [ (B n A) A; (B n A) - не пересекаются
P(B) = P(A) + P(B n A) ) P(B n A) = P(B) P(A)
5)A [ B = (A n AB) [ (B n AB) [ (AB)
P(A [ B) = P(A n AB) + P(B n AB) + P(AB)
По 2 следствию, AB A; B ) P(A) = P(AB) + P(B) P(AB) + P(AB) = P(A) + P(B) P(AB)
Теорема сложения: Пусть A1; :::; An 2 A - события. Тогда
nn
[ X |
6 1X2 |
6 |
|
06i1 |
X2 3 |
6 P |
|
||
P( Ai) = |
P(Ai) |
|
|
P(Ai1Ai2) + |
|
|
|
(Ai1Ai2Ai3) :::( 1)n 1P(A1 |
; :::; An) |
i=1 |
i=1 |
1 i <i |
|
n |
|
<i <i |
1 |
|
|
Доказательство:
При n=2 это следствие 5. Допустим это верно вплоть до n-1.
n 1 n
SS
An [ (i=1 Ai) = i=1 Ai |
n 1 |
|
|
|
|
|
n 1 |
|
|
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
nS1 |
|
|
iS |
Ai) P(An \ ( |
|
S |
Ai)) =! |
|
|
|
|
||||||
P( |
Ai) = P(An) + P( |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
i=1 |
|
|
|
=1 |
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n P1 |
|
|
P(Ai) |
|
|
|
P26 |
P(Ai1Ai2) + ::: + ( 1)n 2P(A1:::An 1)] |
|||||
P( |
Ai) = P(An) + [ |
|
|
6 |
1 |
|
|||||||||||
S |
n 1 |
1 |
1 |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
i=1 |
|
|
|
i=1::n |
|
|
i |
<i |
n |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(AiAn) |
P26 |
|
|
P(Ai1Ai2An) + ::: + ( 1)n 2P(A1:::An)] |
|||
P(An |
\ ( Ai)) = P( |
AiAn) = [ |
|
|
|
|
|
||||||||||
n |
S |
S |
|
|
P |
1 |
|
16i1 |
n |
1 |
|||||||
|
i=1 |
i=1 |
|
|
i=1::n |
|
|
|
<i |
|
|||||||
!= |
P(Ai) |
P(Ai1Ai2) + ::: + ( 1)n 1P(A1A2::::An) |
|
|
|||||||||||||
P |
|
|
16i1Pn6 |
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
|
<i |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Предложение 2 (полуаддитивность): Если A1:::An 2 A - произвольные событие, то
nn
[X
P( Ai) 6 P(Ai)
i=1 i=1
Доказательство:
B1 = A1; B2 = A2A1; B3 = A3A1A2; ::: ; Bn = AnA1:::An 1
nn
SS
|
Bi |
= |
|
Ai |
|
|
|
|
|
|
i=1 |
|
i=1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
BiBj = ?; i 6= j |
|
6 |
n |
|
|
n |
||||
8 |
n |
|
Ai |
) n |
|
|
||||
i Bi |
|
P(Bi) |
|
P(A |
|
i) |
iP |
|||
P( |
S |
|
|
S |
Bi) = |
P |
|
|
||
Ai) = P( |
P(Bi) 6 |
P(Ai) |
||||||||
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
i=1 |
|
|
=1 |
3Условная вероятность и независимость
Допустим мы провели n экспериментов. Есть события A и B. na раз - A, nb раз - B, nab раз - и А и В. na=n - частота A
nab=na = nab=n na=n
Комментарий: У нас всегда есть ( ; A; P):
Определение: Пусть А 2 A : P(A) > 0 ) 8B 2 A. Под условной вероятность события B при условии A будем понимать P(BjA) = P(AB)=P(A) = PA(B)
Комментарий: Можно заменить ( ; A; P) на ( ; A; PA):
P(AB) = P(A) P(BjA)
5
Теорема 1 (умножения): Пусть A1:::An 2 A такие, что P(A1:::An) > 0. Тогда
P(A1:::An) = P(A1) P(A2jA1) ::: P(AnjA1:::An 1)
Доказательсво по индукции:
Для n=2 это следствие определения условной вероятности.
Комментарий: Почему P(A2jA1); :::; P(AnjA1:::An 1) определены? Т.к. A1:::Ak A1:::An и P(A1:::Ak) >
P(A1:::An) > 0.
Пусть это верно до n-1 включительно.
P(A1:::An) = P(A1:::An 1) P(AnjA1:::An 1) =! P(A1:::An 1) = P(A1) P(A2jA1) ::: P(An 1jA1:::An 2)
! = P(A1) P(A2jA1) ::: P(An 1jA1:::An 2) P(AnjA1:::An 1)
Теорема 2 (полной вероятности): Пусть D = fD1:::Dng - полная группа событий. Тогда 8A 2 A
n
X
P(A) = P(Di) P(AjDi)
i=1
Доказательство:
n |
n |
iS |
|
= Di |
|
=1 |
|
A = A = |
ADi |
|
=1 |
|
iS |
nn
P |
iP |
P(A) = P(ADi) = |
P(Di) P(AjDi) |
i=1 |
=1 |
Пример:
Двое подбрасывают монету по очереди. Выигрывает тот, у кого первый появится герб. A - выигрыш первого игрока, B - второго.
P(A) = p1 P(B) = p2 p1 + p2 = 1
H1 (гипотеза): при первом бросании выпал "герб". H2: при первом бросании выпала "решка".
По формуле полной вероятности: P(A) = p1 = P(H1) P(AjH1) + P(H2)
P(AjH2) = 0; 5 1 + 0; 5 p2 2p1 = 1 + p2
Решая систему, получим p1 = 2=3; p2 = 1=3.
Лекция 3 27.02.2015
Теорема 3 (формула Байсса): Пусть D = fH1; :::; Hng - полная группа событий. Для любого P(A)>0
P(HkjA) = nP(Hk) P(AjHk) ; k = 1; ::; n
P
P(Hi) P(AjHi)
i=1
P(Hk) - априорные вероятности
P(HkjA) - апосториорные вероятности
Доказательство:
P(HkjA) = |
P(HkA) |
nP(Hk)P(AjHk) |
|
P(a) |
|||
= Pi=1 P(Hi) P(AjHi) |
Пример:
Есть n ячеек. В одной ячейке приз. Участник вскрывает 1 ячейку. Ведущий вскрывает n-2 ячейки.
6
Стоит ли поменять на оставшуюся?
H - в выбранной игроком ячейке есть приз. A - вскрытие n-2 ячейки пустые.
1) Ведущий знал, где приз, и открывал заведомо n-2 пустые ячейки.
P(H) = 1=n; P(H) = 1 1=n
P(AjH) = 1; P(AjH) = 1
P(HjA) =
P(HjA) =
2) Ведущий не знал, где приз.
P(AjH) = 1=(n 1)
P(HjA) = 1=n 1
1=n 1+(n 1)=n 1=(n 1)=1=2
P(HjA) = 1=2)
3.1Независимость
A,B - события
Знание о наступлении события А не изменяет вероятность события В. P(A)>0 ) P(BjA) = P(B)
P(B) = P(AB)
P(A)
P(AB) = P(A)P(B)
Определение: Два события А и В называются независимыми, если выполняется P(AB) = P(A)
P(B).
Определение: A1:::An - называются независимыми (в совокупности), если 8k = 1; :::; n и 81 6 i1 < ::: < ik 6 n выполняется
P(Ai1:::Aik) = P(Ai1) ::: P(Aik) |
(1) |
Пример 1:
= f!1; !2; !3; !4gP(f!kg) = 1=4 A = f!1; !2g
B = f!1; !3g C = f!1; !4g
P(AB) = P(f!1g) = 1=4 P(A) = P(B) = 1=2 P(AB) = P(A) P(B)
P(ABC) = P(f!1g) = 1=4 P(A) P(B) P(C) = 1=8
Следовательно из попарной независимости не следует независимость совокупная.
Пример 2:
Подбрасываются две игральные кости.
A={на первой игральной кости выпало 1, 2 или 5}
B={на первой игральной кости выпало 4, 5 или 6} C={сумма выпавших очков равна 9}
P(A)=1/2
P(B)=1/2
P(C)=1/9 (3,6) (4,5) (5,4) (6,3)
P(ABC) = 1=36 = P(A) P(B) P(C) P(AB) = 1=6 6= P(A) P(B)
Вывод - ?
Определение: F1; :::; Fn - классы событий (F A) называются независимыми, если для любого набора A1 2 F1; :::; An 2 Fn A1; :::; An - независимы.
Замечание: в случае, когда F1; :::; Fn - алгебры, то условие независимости можно записать:
7
8A1 2 F1; :::; An 2 Fn : P(A1:::An) = P(A1) ::: P(An). |
|
|
|
Теорема 4: Пусть D1 = fD11; :::; Dk11g; :::; Dn = fD1n; :::; Dknn g - разбиения. |
|
A1 |
= (D1); :::; An = (Dn) - алгебры, порожденные этими разбиениями. |
|
A1; :::; An - независимы , для 1 6 i1 6 k1; :::; 1 6 in 6 kn |
|
|
|
P(Di11:::Dinn ) = P(Di11) ::: P(Dinn ) |
(2) |
Доказательство: |
|
|
A1 |
2 (D1); :::; An 2 (Dn) |
|
|
P(Ai:::An) = P(A1) ::: P(An) |
(3) |
Покажем, что из P(HA2:::An) = P(H)P(A2):::P(An) и P(GA2:::An) = P(G)P(A2):::P(An) при условии
HG 6= ? следует, что P((H [ G)A1:::An) = P((H [ G)) P(A2):::P(An): Сложим: P(HA2:::An) = P(H)P(A2):::P(An) и P(GA2:::An) = P(G)P(A2):::P(An) P(HA2:::An) + P(GA2:::An) = P((H [ G)A2:::An)
(P(H) + P(G)) P(A2):::P(An) = P((H [ G))P(A2):::P(An)
Предложение : Если A и B - независимые события, то также независимыми являются: A; B A; B A; B. Доказательство:
P(AB) = P(A) P(B)
P(AB) = P(A n (AB)) = P(A) P(AB) = P(A) P(A) P(B) = P(A) (1 P(B)) = P(A)P(B)
4Независимость испытания. Схема Бернулли
n раз проводится случайный эксперимент, следим за появлением события A (успехом). Пусть p - вероятность успеха в отдельно эксперименте. q=1-p - вероятность не успеха.
Bk - в n независимых экспериментах событие A появилось ровно k раз.
! = (!1; :::; !n)
!k = 1, если в k-ом эксперименте произошло A !k = 0, если в k-ом эксперименте не произошло A
nn
P(f!1; :::; !ng) = piP |
q |
n |
P |
||
|
|
|
!i |
!i |
|
|
|
=1 |
|
|
i=1 |
! 2 Bk ) P(f!g) = pk qn k |
|||||
f 0 |
ng |
- разбиение |
|
|
|
B ; :::; Bn |
|
|
|||
P(Bk) = k |
pk qn k; k = 0; :::; n - биномиальное распределение вероятностей |
nn
P(Bk) = |
nk |
pk qn k = (p + q)n = 1 |
kP |
P |
|
=0 |
k=0 |
|
Лекция 4 06.03.2015
4.1Предельные теоремы
Теорема 1 (Пуассона)(Закон редких событий): Пусть в схеме Бернулли при n 7! 1; p 7!0; np 7!
|
|
|
|
|
|
P |
(B |
) |
e |
k |
|
; k = 1; 2; ::: |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
k |
7! |
|
|
|
|
|
|
||||
Доказательство: |
|
|
|
(np)k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
P(Bk) = |
n! |
|
k |
|
( |
|
n(n 1):::(n k+1) |
(1 p) |
k |
|
p) |
n1 |
np |
|||||
k!(n k)! p |
|
(1 |
p) n k) = |
k! |
|
|
nk |
|
|
|
[(1 |
] |
|
1. (npk!)k 7!kk!
n(n 1):::(n k+1)
2. nk = (1 1=n)(1 2=n)::: 7!1 3. (1 p) k 7!1
8
4. [(1 |
|
p)1=p]np |
|
|
|
|
|
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
ч.т.д |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k |
j 6 (np)2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
По учебнику Севастьянова: jP(Bk) e |
= np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Теорема 2 (Локальная теорема Муавра-Лапласа): Пусть 0<p<1 фиксированно, = p |
|
|
|
x = |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
npq; |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x(k) = |
k np |
. Тогда 8M > 0 равномерно на всем k: jx(k) 6 Mj, при n 7! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P(Bk) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p |
|
|
) |
e 2 (1 + o(1)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
формула Стирлинга: n! = p2 n nn e ne |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(n!) = ln(p |
|
|
|
|
|
) + nxqln(n) n + O(n1 ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k = np + x = np(1 + ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
n k = nq x = nq(1 xp ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При n 7! 1; k 7! 1и n k 7! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Следовательно для k! и (n-k)! мы тоже можем воспользоваться этой асимптотической формулой. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
При 7! 1; |
n1 = O(1= 2); |
|
|
|
k1 = O(1= 2); |
|
|
|
|
1 |
|
= O(1= 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P(Bk) = |
|
|
|
|
|
n! |
|
pk qn k (формула Бернулли) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k!(n k)! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(P(Bk)) = ln(n!) ln(k!) ln((n k)!)+k ln(p)+(n k) ln(q) = 2 |
ln( |
|
)+n ln(n) k ln(k) (n |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 k(n k) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k) |
|
ln(n |
|
k)+k |
|
ln(p)+(n |
|
k) |
|
ln(q)+O(1= 2) = |
1 |
|
ln( |
|
n |
|
) |
|
k |
|
ln( |
k |
) |
|
(n |
|
k) |
ln(n k )+O(1= 2) =!!! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 k(n k) |
np |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nq |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
xq |
|
|
|
|
|
|
|
xp |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
ln( |
|
|
|
|
|
|
|
) = ln( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = ln( |
|
) ln(1 + |
) ln(1 |
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k(n |
|
|
|
k) |
np(1+xq= )nq(1 |
|
xp= ) |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
xq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
ln(1 + |
) = O(1= ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
ln(1 |
|
xp ) = O(1= ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
ln( |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) = ln( |
p |
|
|
) + O(1= ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 k(n k) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k |
|
|
ln( |
k |
) |
|
(n |
|
k) |
|
ln( |
n k |
) = (np + x ) |
|
|
ln(1 + xq ) + (nq |
|
x ) |
|
ln(1 |
|
xp ) = (np + x ) |
|
(xq |
|
x |
q |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
nq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
o( |
)) + (nq x ) ( xp |
x p |
|
+ o( |
)) = x |
x q |
+ x2q x |
x p |
+ x2p + O(1= ) = x2=2 + O(1= ) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
2 2 |
2 |
2 |
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
!!! = ln( |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
) x2 |
|
+ O(2= ) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
p2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
P(Bk) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
p |
|
|
e 2 |
|
(1 + o(1)) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
Теорема 3 (Интегральная теорема Муавра-Лапласа): Пусть Sn - количество успехов в схеме |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Бернулли, тогда 80 < p < 1; 1 < a < b < +1; при n 7! 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Sn |
|
|
np |
|
|
|
|
|
1 |
|
b |
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
(e 2 dx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
6 |
|
|
p |
npq |
|
|
|
|
7!p2 Za |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Граница применимости: q>20. |
|
|
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Распределение Пуассона: pk = e |
; |
k = 1; 2; :::; > 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Докажем, что pk > 0: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 pk = e |
1 |
k |
= e e = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
k! |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
k=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
kP |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
P |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
Нормальное распределение: |
|
|
p |
|
|
|
e 2 |
= '(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 |
|
'(x)dx = 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
R |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
1 |
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
(x) = |
p |
|
|
1 e 2 dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
R |
|
|
|
|
|
n2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
0(x) = |
p |
|
|
e 2 dn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(x) = |
|
|
|
|
|
(R x ) |
|
|
|
|
|
|
|
Sn np |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
j |
|
j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
P(k1 6 Sn 6 k2) = P(x1 6 |
|
p |
|
|
|
6 x2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
npq |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9