ТФКП Половинкин
.pdfЕ. С. ПОЛОВИНКИН
КУРС ЛЕКЦИЙ / 1
ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ
КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕНИОГО
Москва
ФИЗМАТКНИГА
2003
ББК 22.161.5
П52
УДК 517.5
П52 ПОЛОВИНКИН Е. С. Курс лекций по теории функций комп
лексного переменноrо.-М.: Физматкнига, 2003.-М., Издательство
МФТИ, 2003.-208 с.- ISBN 5-89155-115-9.
В пособии, представляющем из себя конспект лекций, читаемых автором студентам Московского физико-технического института, излагаются теория функ
ций комплексного перемениого и свойства функций комплексного переменного.
Рассматриваются также геометрические принцилы регулярных функций, на
основе которых построена геометрическая теория конформных отображений.
Приводятся и некоторые прикладные аспектъ1 фунций комплексного переменноrо. Для студентов высших учебных заведений.
с илл.
ПОЛОВИНКИН Евгений Сергеевич
КУРС ЛЕКЦИЙ ПО ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕНИОГО
Редактор А. К. Розаиов
Оригинал-макет А. В. Полозов
Подписано в печать 15.08.2003. Формат 60х90/16. Тираж 3000 экз. Бумага офсетная. Печать офсетная. Уел. печ. л. 12,7. Уч.-изд. л. 13,0.
N2 8717
Издательская и книготорговая фирма «ФИЗМАТКНИГА»
141700 г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер., 9
Тел./факс: (095) 409-93-28; E-mail: fizmatlit@fizmatlit.ru
1
Интернет-магазин литературы по фундаментальным и прикладным наукам
WWW.FIZMATKNIGA.RU
Издательство Московского физико-технического инсти1Уfа
14 1700 г. Долгопрудный Московской области, Институтский пер., 66
Тел./факс: (095) 408-76-81, 409-93-28; E-mail: publishers@mail.mipt.ru
Оrпечатано в ППП Типография «Наука)) АИЦ «Наука» РАН
121099, Г-99, Москва, Шубинекий пер., 6
ISBN 5-89155-115-9
<е> Е. С. Половинкин, 2003
ɈȽɅȺȼɅȿɇɂȿ
|
Основные обозначения . |
|
|
|
|
|
|
4 |
§ 1. |
Предисловие . . . . . . . |
. . . . |
|
|
. . . . . . |
. . |
6 |
|
Комплексные числа |
|
|
|
|
. . |
. . |
8 |
|
§2. |
Предел. Ряды. Расширенная комплексная плоскость. Функции |
|||||||
§3. |
комплексного перемениого . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
12 |
|||||
Дифференцирование функции комплексного перемениого |
|
18 |
||||||
§4. |
Регулярные функции. |
|
|
|
|
|
|
|
§5. |
Гармонические функции . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
23 |
||||
Теорема об обратной функции . . . . . . . . . . . . . |
|
|
27 |
|||||
§6. |
Интегрирование функции комплексного перемениого |
|
|
34 |
||||
§7. |
Интегральная теорема Коши . . . . . . |
|
. . . . . . . . |
|
39 |
|||
§8. |
Интегральная формула Коши . . . . . . .. . |
|
|
|
|
44 |
||
§9. |
Ряд Тейлора. Теоремы Вейерштрасса . . . . |
|
|
|
|
47 |
||
§10. |
Некоторые свойства регулярных функций |
|
|
|
|
54 |
||
§11. |
Ряд Лорана . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
|
62 |
|
§12. |
Изолированные особые точки . . . . . . . . |
. . . . |
|
|
67 |
|||
§13. |
Теория вычетов . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
|
|
75 |
||
§14. |
Приращение аргумента z вдоль контура |
|
|
|
|
|
86 |
|
§15. |
Регулярные ветви многозначных функций { уГz} |
и Ln z . |
|
91 |
||||
§16. |
Регулярные ветви многозначных функций Lnf(z) и |
~ . |
96 |
|||||
§17. |
Примеры нахождения регулярных ветвей . . . . . . . . . |
|
103 |
|||||
§18. |
Примеры вычисления интегралов от регулярных ветвей |
|
|
|||||
§19. |
многозначных функций . . . . . |
|
. . . . . . . . . |
|
108 |
|||
Целые и мераморфные функции . . . . |
|
|
|
|
|
115 |
||
§20. |
Аналитическое продолжение . . . . . . |
vГz . |
|
|
|
. |
123 |
|
§21. Полные аналитические функции Ln z и |
|
|
|
. 131 |
||||
§22. |
Особые точки аналитических функций |
|
|
|
|
. |
138 |
|
§23. |
Принцип аргумента. Теорема Руше |
|
|
|
|
|
143 |
|
§24. |
Принцип сохранения области . . . . . . . . . |
|
|
|
|
147 |
||
§25. |
Конформные отображения в С . . . |
|
|
. . . . . |
. |
152 |
||
§26. |
Дробио-линейные отображения . . . |
. . . . . |
|
|
. |
156 |
||
§27. |
Конформные отображения элементарными функциями. Теорема |
|||||||
§28. |
Римана . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
|
. |
.. |
165 |
||
Принцип симметрии . . . . . . . . . . . . . . . . |
|
. |
. . |
175 |
||||
§29. |
Задача Дирихле на плоскости . . . . . . . . . . |
|
|
. . |
184 |
|||
|
Приложение 1. Экзаменационная программа. . . . . |
. |
.. |
197 |
||||
|
Список литературы . . . |
. . . . |
|
|
|
|
. |
199 |
|
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . |
|
. |
. . |
200 |
4 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
Основные обозначения
=6 - знак равенства по определению
N - множество всех натуральных чисел
Z - множество всех целых чисел
n, т- множество целых чисел вида n, n + 1, n + 2, ... , т ~ - множество всех действительных чисел
~n - п-мерное действительное евклидово пространство
С- множество всех комплексных чисел, комплексная плоскость С - расширенная комплексная плоскость
lzl == Jx 2 + у2 -модуль комплексного числа. z == х + iy
z = х - iy - число, КО1\1плексно-сопряженное числу z = х + iy
Re z == х -действительная часть числа z == х + iy
Im z == у - мнимая часть числа z == х + iy
Br(z0 ) = {z llz- z0 1< r} - открытый круг радиусаr >О с центром
в точке z0
Br(z0 ) = {z l1z-z0 1:::; r}-замкнутыйкруградиусаr >Ос центром
в точке z0
fЦz0) = {z 1 О< lz- z0 1< r} - проколотая окрестность точки z0
Br(oo) = {z llzl > r} - проколотая окрестность бесконечности
о
Br(oo) == Br(oo) U ооокрестность бесконечности arg z - произвольное значение аргумента числа z -:j:. О
аrgгл z - главное значение аргумента числа z -:j:. О, принадлежащее
интервалу (-1Г, 1r]
Arg z = { аrgгл z +21rk 1 k Е Z} - множествовсехзначений аргумента
числа z i=- О
'Уаь - ориентированная кривая (контур) с началом в точке а и с
концом в точке Ь
,У- простая замкнутая ориентированная кривая (контур)
f : G -4 С - функция f задана на множестве G со значениями в
расширенной комплексной плоскости С
f(G) = {f(z) 1 z Е G} - множество значений функции j, заданной
на множестве G |
|
ux(x,y) == ди(х,у), uy(x,y) == |
ди(х,у)- частные производные пер- |
ах |
ду |
вого порядка функции u(x, у) |
|
{ y'Z}-многозначная функция корня п-й степени z
Ln z - многозначная функция логарифма z, аналитическая функ ция логарифма z
{zn}, {f n ( z)} - числовая и функциональная последовательности
Основные обозначения |
5 |
С[О, 1], (С1 [0, 1])- пространство действительных непрерывных (не прерывно дифференцируемых) функций, заданных на отрезке [0, 1]
С2 ( G) - пространство действительных дважды непрерывно диффе
ренцируемых функций, заданных на области G С IR2
res f - вычет функции f |
в точке а |
|
а |
|
|
dist (z, Т) = inf{lz- (1 1 ( |
Е ')'} - |
расстояние от точки z до кривой 'У |
diam G = sup{ lz - (1 1 z, ( Е G} - |
диаметр множества G С С |
6 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
Предисловие
Настоящая книга является достаточно полным конспектом курса
лекций по теории функций комплексного переменного, читаемого
автором студентаr-.1 l\1осковского физико-технического института. Это - полуторасеместровый курс в объеме 51 академического часа
лекционных занятий.
Эта книга является учебным пособием для студентов высших
учебных заведений с углубленным изучением курса математики.
Б настоящей книге r-.1ы будем изучать свойства функций ком
плексного переменного. Такие функции нашли многочисленные при
менения как в различных разделах чистой математики, таких как:
алгебра, аналитическая теория чисел, дифференциальные уравне
ния, так и в различных прикладных r-.1атематических дисциплинах,
таких как: теоретическая физика, небесная механика, гидродина
мика, теория упругости и др.
Чтобы понять важность теории функций комплексного перемен
ного, отметим лишь некоторые примеры использования этой теории,
которые встречаются студентам младших курсов при изучении ими
алгебры, математического анализа и дифференциальных уравнений.
Так, утверждение о том, что всякое алгебраическое уравнение имеет
по крайней мере один комплексный корень, является основным в
алгебре. Б интегральноr-.1 исчислении большое значение имеет тот факт, что рациональная функция представима в виде элементар ных дробей с КО1\1плексными коэффициентами. Понятие комплекс ного числа и экспоненциальной функции комплексного перемениого
имеет важное значение при решении линейных дифференциальных уравнений с постоянныl\1И коэффициентами. Только изучив теорию
функций комплексного переменного, можно понять, почему такаЯ
хорошая на всей числовой оси функция f (х) == 1j (1+х2 ) может быть
+оо
представлена в виде степенного ряда f (х) == 2:: (-1)n x2 n лишь при
n=O
значениях х, удовлетворяющих условию -1 < х < 1.
Несколько слов о плане настоящего курса. В первых параграфах мы будем заниматься развитием в комплексной области известных
из действительного анализа основных понятий и операций: предела,
производной, интеграла. Опираясь на указанный аналитический ап парат, в основной части курса мы будем изучать свойства регуляр
ных функций, т. е. функций комплексного переменного, определен
ных и непрерывно дифференцируемых в некоторой области на ком плексной плоскости. Б § 9-11 и § 19 бу,п~ут изучены условия предста вления таких функций в виде степенных рядов, в виде рядов Лорана,
атакже рядов из элементарных дробей.
Бкниге изложены свойства обратных l'лногозначных функций. Б
§14-17 приведено подробное исследование условий существования
Предисловие |
7 |
и вид однозначных функций, называемых "регулярными ветвями"
многозначного корня или многозначного логарифма от регулярной
функции. В§ 20-21 рассмотрены'понятия аналитических продолже
ний и аналитической функции.
Вкурсе также изложены геометрические принцилы регулярных
функций, такие как: принцип аргумента, принцип сохранения обла сти, принцип максимума модуля и другие. На их основе построена
геометрическая теория конформных отображений, осуществляемых
регулярными функциями.
Вкниге приведены некоторые прикладные аспекты теории функ
ций комплексного переменного. В § 13 и § 18 с помощью теории вы четов показавы эффективные методы вычисления интегралов, в том числе несобетвенных интегралов от действительных функций. В § 29 на примере задачи Дирихле продемонстрированы возможности ком плексного анализа при решении уравнений математической физики.
Вкниге имеются некоторые упражнения, призванные закрепить теоретический материал. Эти упражнения имеют разный уровень
сложности, и поэтому студентам не стоит огорчаться, если они не
сразу смогут найти решение некоторых из них.
В приложении 1 в конце книги изложена экзаменационная про грамма по курсу лекций, предложенная студентам l\1ФТИ на экза
мене в 2002 году.
Первое издание книги вышло в 1999 году. В настоящем втором
издании устранены опечатки и сделаны небольшие изменения.
Считаю своим долгом выразить признательность своим коллегам
-професеарам А..А... Болибруху, В. К. Захарову, В. Б. Лидскому,
Б. В. Пальцеву, 1 Ю. В. Сидорову 1 , М. И. Шабунину и Г. Н. Яковлеву
за полезные обсуждения первого издания книги, а также выражаю
большую благодарность А. В. Полозову за помощь в подготовке ру
кописи к печати. Особую признательность выражаю моим слушате
лям - студентам физтеха, которые помогли исправить опечатки и
сделали ряд интересных замечаний по данному курсу лекций.
8 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
§ 1. Комплексные числа
Рассмотрим двумерное линейное евклидово пространство IR2 , со стоящее из векторов z = (х, у) с двумя действительными компонен
тами х, у, в котором как обычно заданы поиятие равенства векторов
и
1) операция сложения
Z1 +z2 = (xl +х2,У1 +у2),
где zk = (xk, Yk), k Е 1, 2;
2) операция умножения вектора z на действительное число Л:
Лz = (Лх, Лу);
3) расстояние и норма:
p(zl, z2) = llz1 - z2ll = J(xl - х2)2 + (yl - У2)2 ·
Свойства приведеиных операций известны из математического
анализа.
Обозначим базисные векторы в IR2 следующим образом:
D. |
i D. (0, 1). |
(1) |
1 = (1, 0), |
||
В силу (1) всякий вектор z == |
(х, у) Е IR2 можно записать в виде |
z = х · 1 +у· i, или проще: z = х + iy.
Теперь определим в IR2 операцию произведения следующим обра.-
зам |
6 |
|
|
Z1 Z2 |
(xl Х2 - У1У2) + i(xl У2 + Х2У1), |
(2) |
где zk = xk + iyk.
Определение 1. Евклидава пространство IR2 , в котором вве дено произведение по формуле (2), называется .множеством (или
пространство.м} х:о.мплех;сньtх 'Чисел С. Элементы множества С на
зываются х;о.мплех;сньt.ми 'Числа.ми.
Комплексное число i называется .мни.мой единицей. В силу опре
деления произведения (2) получаем, что i 2 = -1.
Величина lz1 |
6 у'х2 + у2 называется .модуле.м комплексного |
числа z = х + iy. |
|
- D. |
. |
число z = х- 'lY называется ?Со.мпле?Ссно-сопряженньt.м 'Число.м к
числу z = х + iy.
Очевидно, что zz- = lzl2 . Очевидно также, что множество ком
плексных чисел вида х + iO изоморфно множеству действительных
чисел (т. е. между ними можно установить взаимно однозначное со
'ответствие, сохраняющее операции сложения и умножения). При этом х = Re z называется действителъной (вещественной} 'Частъю,
а у = Im z - .мни.мой 'Частъю 'Числа z = х + iy.
§ 1. Комплексные числа |
9 |
Легко проверить справедливость следующих свойств:
1)z 1 z2 = z2 z 1 (коммутативность умножения),
2)(z 1 z2 )z3 = z1 (z2 z3 ) (ассоциативность умножения),
3)(z 1 + z2 )z3 = z1 z3 + z2 z3 (дистрибутивность),
4)обратимость операции умножения (2), т. е. для любых z1 i= О
иz2 уравнение
(3)
имеет, и притом единственное, решение, которое будем обозначать
6
z = z2 / z 1 и называть делением 'Числа z2 на 'Число z1 .
В самом деле, уравнение (3) эквивалентно в силу определения произведения (2) системе линейных уравнений
|
|
|
{ |
х1х-у1у=х2 , |
|
|
( ) |
|||||
|
|
|
У1Х + Х1У = У2· |
|
|
4 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
Определитель этой системы равен |
|
|
|
||||||||
|
д = |
|
х1 -у1 |
|
= xi + Yr = lz1l2 |
:f. О, |
|
|||||
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
У1 |
Х1 |
|
|
|
|
|
|
|
т. е. по правилу Крамера решение системы (4) |
|
существует и един |
||||||||||
ственно. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вид решения уравнения (3) удобно вычислять, домножая это |
|||||||||||
уравнение слева и справа на z1 . Тогда получаем |
|
|
||||||||||
|
(z1 z1 )z=z1 z2 |
==> |
lz1 12 z=z1 z2 |
|
==> |
|
||||||
|
- |
zlz2 |
xlx2 + YlY2 |
+ -ylx2 + XlY2 . |
(5) |
|||||||
|
z - |
--- |
XI + Yr |
XI + Yr |
't. |
|||||||
|
|
lz1l 2 |
|
|
||||||||
|
Решение уравнения z1 z = 1, z 1 |
:f. |
О называют обратным числом к |
|||||||||
z |
-1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
1 и обозначают z1 |
|
= -. |
|
|
|
|
|
|
|
|
zl
Множество комплексных чисел С
удобно рассматривать как евклидову
плоскость, выбрав базисные векторы 1
и i из (1) (см. рис. 1). Эту плоскость бу
дем называть комплексной плоскостью.
Перейдем в этой плоскости к поляр
ной системе координат
х = r cos ер, |
(б) |
{ у= r s1n ер. |
|
у
z = х +iy
у
о |
х |
х |
|
|
Рис. 1
В новых обозначениях получаем, что r = lzl, т. е. r есть модуль
числа z, а ер называется аргументом 'IСомпле'IСс'Ного 'Числа z i= О и обозначается arg z. Аргумент числа z определяется неоднозначно с
точностью до 21Гk. Поэтому введем специальные обозначения. Ар
гумент числа z, выбираемый в интервале (-1Г, 1Г], назовем главн·ым
10 |
Е. С. Половинкин. Курс лекций по ТФКП |
|
зна'Чение.м аргумента z и обозначим |
|
|
|
аrgгл z Е (-1r, 1r]. |
(7) |
lVIножество всех значений аргу~лента числа z выражается формулой
Argz А {argглz+27rk 1 k Е Z}, |
(8) |
где через Z обозначено множество всех целых чисел. Через N будем обозначать множество всех натуральных чисел.
Отметим, что для числа z = О аргумент не определен.
Для всякого z = х + iy #О, используя переменные (6), получаем
представление
1 1 ( |
cos <р + i sin <р) |
, |
<р Е |
Arg z, |
(9) |
z = z |
|
|
которое называется тригонометри'Чес'Х:ой (или nолярной} формой задания комплексного числа.
Отметим, что два числа, записанные в тригонометрической
фор:ме, равны тогда и только тогда, когда равны их модули и мно
жества значений аргумента. Произведение чисел (2) в форме (9)
прини:мает вид
z1 z2 = lz1 \(cos<p1 + isin<p1 )\z2 \(cos<p2 + isin<p2 ) =
= \z1 \\z2 \ ( ( cos <р1 cos <р2 - sin <р1 sin <р2) + i(sin <р1 cos <р2 +sin <р2 cos <р1)),
т. е. в силу известных формул тригонометрии получаем
z1z2 = lz11\z2 \ ( cos(<р1 + <р2) + i sin(<р1 + <р2)) • |
(10) |
Таким образом, при перемножении комплексных чисел модули этих
чисел перемножаются, а аргументы складываются, т. е.
lz1 z2l |
= lz1llz2\, |
(11) |
Arg(z1z2 ) |
= Argz1 +Argz2 • |
(12) |
В формуле (12) записано равенство множеств, причем под суммой
множеств А и В понимается множество А + В А {а+ Ь 1 а Е А, Ь Е
Е В}.
Из формулы (10) для всякой натуральной степени n числа z по
лучаем так называемую формулу Муавра вида |
|
zn = \z\n(cosn<p + isinn<p). |
(13) |
Введем обозначение |
|
eilf? д cos <р + i sin <р, |
(14) |
называемое фор.мулой Эйлера. В силу (14) тригонометрическая
форма комплексного числа принимает вид
z = \z\ei<P. |
(15) |