Планирование эксперимента - лекция07
.pdf
Гипотезы
Общая схема проверки статистической гипотезы:
1)Принимается на веру некоторая (нулевая) статистическая гипотеза.
вероятность события равна некоторой величине;
события независимы;
сл. величина принадлежит некоторому классу сл. величин;
сл. величины одинаково распределены;
параметр сл. величины находится в пределах некоторого отрезка;
параметры двух сл. величин равны.
2)Определяется вероятность того, что произойдут такие события, которые произошли в эксперименте.
3)Если полученная вероятность оказывается слишком малой, то статистическая гипотеза отвергается.
Гипотезы
На практике обычно вычисление вероятностей произошедших в эксперименте событий – довольно трудоемкий процесс.
В таких случаях вычисляют вычисляют специальную величину, называемую статистикой критерия, которая принимает малые значения, если нулевая гипотеза верна, и большие значения, когда она неверна.
Доверительная вероятность
Определение. Доверительная вероятность – величина, принятая как разделяющая вероятные и маловероятные события.
Обозначается буквой p и обычно равна круглым числам: 0.1, 0.05, 0.01, 0.001 и т.д.
Например, пусть для критерия Стьюдента с двумя степенями свободы была получена величина статистики T=3,5. Из таблицы видно, что этому соответствует доверительная вероятность p=0,04.
Точное значение: p=0,036.
Доверительная вероятность
Доверительная вероятность – не вероятность некоторого события, а вопрос доверия.
Ошибки 1-го и 2-го рода
При проверке статистической гипотезы возможны ошибки двух родов.
Ошибка 1-го рода – принять на веру неправильную статистическую гипотезу.
oЧрезмерная легковерность приводит к
ложноположительным результатам.
oВероятность ошибки равна доверительной вероятности.
Ошибки 1-го и 2-го рода
Ошибка 2-го рода – не согласиться с правильной гипотезой.
oЧрезмерная подозрительность приводит к
ложноотрицательным результатам.
oВероятность ошибки рассчитать можно, только зная альтернативные гипотезы, поступающие для проверки.
oУменьшение доверительной вероятности, т.е. ужесточение критериев проверки, уменьшает шансы ошибок 1-го рода, однако увеличивает шансы ошибок 2-го рода.
Ошибки 1-го и 2-го рода
На Татуине один из тысячи рождается со способностями джедая. Для их обнаружения любому человеку делают специальный тест, причем вероятность ошибки тестирования — 1%. Куай-Гон нашел у Энакина Скайуокера способности джедая. Какова вероятность, что Энакин на самом деле ими обладает?
Ошибки 1-го и 2-го рода
Решение.
Положительный результат теста возникает с шансом
103 1 102 1 103 102
По формуле условной вероятности
|
P A и B |
|
|
|
|
|
10 3 1 10 2 |
|
|
|
|
|
|
|
99 |
|
||||||
P A | B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8,3% |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2 |
|
3 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||
|
P |
B |
10 |
1 |
10 |
|
1 10 |
|
10 |
|
1198 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Т.е. несмотря на положительный результат теста, вероятность ошибиться равна 91,7%.
Ошибки 1-го и 2-го рода
Решение.
S+ S-
|
T+ |
a |
b |
|
|
|
|
|
|
|
T- |
c |
d |
|
|
|
|
|
|
По условию нужно найти |
|
P S | T |
|
P S T |
|
|
a |
||
|
P T |
|
a b |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
a b c d 1 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
p 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
a c |
|
|
|
|
|
|
||
|
b c q 102 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
???
Ошибки 1-го и 2-го рода
Решение.
|
S+ |
S- |
T+ |
a |
b |
T- |
c |
d |
Неявно предполагалось, что доля ошибок тестирования среди джедаев и обычных людей одинакова:
a b c d 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
p 103 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a c |
|
|
|
p 1 q |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
P S | T |
|
|
99 |
||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
p 1 |
q 1 |
p q |
|
|
||||||
b c |
q 10 |
|
|
|
|
1198 |
|||||||
c |
|
b |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
b d |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
a c |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||