Планирование эксперимента - лекция07

Процентили

Задача (об определении доверительных границ к процентилю). Вычислить двусторонние доверительные границы для медианы с p=0,05.

Решение. Пусть x1, x2 ,..., xN – набор из N наблюдений, а

X p ее p-процентиль. Случайная величина ξ – количество наблюдений со значениями, меньшими X p .

Тогда по определению процентиля ξ имеет биномиальное распределение с числом наблюдений N и вероятностью p.

Процентили

Оценка	Кол-во	Кум. кол-во	%	Кум. %
10	107	439	24,5%	100,0%
9	98	331	22,2%	75,5%
8	112	234	25,5%	53,3%
7	68	122	15,5%	27,8%
6	28	54	6,4%	12,2%
5	11	25	2,5%	5,8%
4	5	14	1,1%	3,3%
3	3	10	0,6%	2,2%
2	2	7	0,4%	1,6%
1	5	5	1,2%	1,2%
Всего:	439		100,0%

	n
Оценка снизу:	C439i	0,5 i 1 0,5 439 i 0,025	n 199
	i 0
	439
Оценка сверху:	C439i	0,5 i 1 0,5 439 i 0,025	n 240

i n

Критерий «хи-квадрат»

Часто вместо сравнения одной частоты с вероятностью нужно сравнивать наборы частот и вероятностей.

Пусть изучаемая величина может принимать n

разных значений с вероятностями pk , а из N наблюдений k-тое значение встретилось Nk раз.

Определение достоверности отличия набора частот Nk N от их вероятностей pk происходит по следующей

схеме.

Критерий «хи-квадрат»

Схема проверки:

1)Для каждого k определяется ожидаемое количество наблюдений Npk

2)Для каждого k определяется существенность разности ожидаемого и фактического:

N Np 2

k k Npk k

3)Вычисляется общая существенность различий:

N

k

k1

4)Определяется вероятность p того, что случайная величина, распределенная как 2 с N–1 степенями свободы принимает значения, равные или большие .

Критерий «хи-квадрат»

VS

	Оценка		%
	1	2	1			2
10	107345	61189	24,5%			25,6%	58505	123,1
9	97572	55860	22,2%			23,4%	53179	135,2
8	111938	60455	25,5%			25,3%	61009	5,0
7	68123	34777	15,5%			14,5%	37129	148,9
6	28268	13892	6,4%			5,8%	15407	148,9
5	10978	5422	2,5%			2,3%	5983	52,6
4	4697	2328	1,1%			1,0%	2560	21,0
3	2809	1450	0,6%			0,6%	1531	4,3
2	1773	963	0,4%			0,4%	966	0,0
1	5165	2748	1,2%			1,1%	2815	1,6
Всего:	438668	239084	100,0%			100,0%		640,7

Критерий «хи-квадрат»

	Оценка		%
	1	2	1			2
10	107345	61189	24,5%			25,6%	58505	123,1
9	97572	55860	22,2%			23,4%	53179	135,2
8	111938	60455	25,5%			25,3%	61009	5,0
7	68123	34777	15,5%			14,5%	37129	148,9
6	28268	13892	6,4%			5,8%	15407	148,9
5	10978	5422	2,5%			2,3%	5983	52,6
4	4697	2328	1,1%			1,0%	2560	21,0
3	2809	1450	0,6%			0,6%	1531	4,3
2	1773	963	0,4%			0,4%	966	0,0
1	5165	2748	1,2%			1,1%	2815	1,6
Всего:	438668	239084	100,0%			100,0%		640,7

Вычисления дают = 640,7 и p=1,0. Т.е., говоря о различиях в наборах оценок этих двух фильмов, мы ошибаемся с вероятностью 100%.

Следовательно, различия недостоверны.

Критерий «хи-квадрат»

Проверка гипотезы о различиях в наборе частот

Все наблюдения объединяются и рассчитывается общая частота, после чего для каждого наблюдения определяется существенность расхождения и далее по схеме обычного критерия «хи-квадрат».

Критерий «хи-квадрат»

Условия применимости

oПри сравнении наборов частот:

1)Общее количество наблюдений – не менее 50.

2)Количество наблюдений каждого варианта значения – не менее 7 (в крайнем случае – не менее 5).

oПри сравнении набора частот с набором вероятностей

1)Общее количество наблюдений – не менее 50.

2)Для каждого варианта значения количество успешных наблюдений не менее 7 (в крайнем случае – не менее 5).

3)Для каждого варианта значения количество неуспешных наблюдений не менее 7 (в крайнем случае – не менее 5).

Критерий «хи-квадрат»

Недостатки критерия:

oЕсли критерий применяется для слишком малых объемов наблюдений, то могут быть обнаружены достоверные различия там, где их на самом деле нет.

oКритерий разные значения переменных считает разными в одинаковой степени.

oДаже при истинности нулевой гипотезы рассчитанная случайная величина распределена не как n2 , а несколько иначе (лишь асимптотически приближаясь к n2 ).

Домашнее задание

Задача. Из 48 студентов первые 6 лекций нашего курса посетило 42, 46, 44, 43, 47 и 43 студента соответственно. С какой доверительной вероятностью можно считать посещаемость лекций постоянной величиной?