Планирование эксперимента - лекция06

Равномерность

Решение №3.

Рассмотрим положение точки O – середины хорды. Если O лежит внутри круга радиусом ½, то длина хорды больше 3, а если вне, то меньше.

Площадь круга составляет ¼ от площади всего круга, а точка середины хорды располагается случайно.

Следовательно, вероятность того, что длина хорды больше , равна ¼.

Ответ: ¼.

Равномерность

В результате имеется 3 разных решения, основанных на предположениях о равномерности распределения разных величин:

расстояния от хорды до центра;

угла, под которым видна хорда;

положения точки середины хорды.

Какое из них окажется ближе к истине, зависит от того, каким образом прямая бросается на круг.

Равномерность

Вывод.

oТеория вероятностей не занимается установлением «истинных» вероятностей тех или иных исходов, она лишь вычисляет из одних вероятностей другие.

oПравильность же назначенных для конкретной ситуации значений вероятностей определяется экспериментом.

Домашнее задание: придумать опыт, реализующий каждый из трех вариантов решения задачи.

Аксиоматика Колмогорова

Проблему необходимого уточнения базовых понятий решил в 1930-х годах А.Н. Колмогоров.

Определение. Случайная величина задается тремя объектами: множеством элементарных событий, множеством событий и вероятностью событий.

Аксиоматика Колмогорова

Элементарными называются те события, которые может принимать случайная величина:

o возраст студента; o его рост или вес; o длина парты;

o вольтметр;

o случайный процесс и т.д.

От множества элементарных событий требуется, чтобы оно было непустым, т.е. содержало хотя бы один элемент.

Аксиоматика Колмогорова

Событиями называются наборы элементарных событий.

oБросание симметричной игральной кости: элементарных событий 6. Событие – любой набор из элементарных событий (например, «чет-нечет»).

oБросание симметричной монеты до тех пор, пока не выпадет «решка».

o Равномерное распределение на отрезке 0;1 .

Все ли наборы элементарных событий можно считать событиями?

Аксиоматика Колмогорова

В общем виде свойства вероятностей таковы:

1)Вероятность P A того, что произойдет событие A – число между нулем и единицей.

2)Вероятность того, что произойдет хоть что-нибудь, равна 1.

3)Если A1, A2 ,... – набор событий, любая пара которых не имеет общих элементарных событий (т.е. любые два из них не могут произойти одновременно), то

P A1 или A2 или... P A1 P A2 ...

Вычисление вероятностей

Теорема 1. P неА 1 P A

Например, если 78% студентов сдает экзамен, то 22%

– не сдает.

Теорема 2. P A или B P A P B P A и B

Пусть к концу сессии 14% студентов имеют долги, причем у 9% – долги по английскому языку и у 8% – по физкультуре. Тогда долги и по английскому языку, и по физкультуре будут у 9% + 8% - 14% = 3% студентов.

Вычисление вероятностей

Условные вероятности

Добавление дополнительной информации меняет вероятности событий. Например:

вероятность успешной сдачи экзамена студентом равна 70%, однако если студент посетил все лекции, эта вероятность равна 90%.

oЕсли из 100 студентов 70 сдали экзамен, то вероятность сдачи равна 70/100 = 70%.

oЕсли из 100 студентов 60 посетило все лекции и из них 54 сдало экзамен, то вероятность сдачи экзамена студентом, посетившим все лекции, равна

54/60 = 90%.

Вычисление вероятностей

Условные вероятности

P A | B P A и B P B

Пусть среди студентов, сдававших экзамен, 60% посетило все лекции, причем среди всех студентов доля сдавших экзамен и посетивших при этом все лекции, равна 54%. Тогда

	P сдал экзамен | посетил все лекции	P сдал экзамен и посетил все лекции		54%	90%
		P посетил все лекции		60%

o Априорная оценка вероятности сдать экзамен: 70%; o Апостериорная оценка: 90%.