Планирование эксперимента - лекция06

Вычисление вероятностей

Определим теперь вероятность сдачи экзамена у студентов, посетивших не все лекции.

oПосетили все лекции 60% студентов, следовательно не все лекции посетили 40% студентов.

oЭкзамен сдали 70% студентов, причем 54% студентов посетили все лекции.

oТаким образом, сдавших экзамен и посетивших не все лекции студентов 70% – 54% = 16%.

	P сдал экзамен | посетил не все лекции	P сдал экзамен и посетил не все лекции		16%	40%
		P посетил не все лекции		40%

o Априорная оценка вероятности сдать экзамен: 70%; o Апостериорная оценка: 40%.

Независимость событий

Определение. События А и В независимы, если вероятность того, что они произойдут одновременно, равна произведению их вероятностей, т.е.

P A и B P A P B

Определение. Две случайные величины называются независимыми, если любое событие первой случайной величины не зависит от любого события второй случайной величины.

Теорема. Если А и В – события с ненулевой вероятностью, то они независимы тогда и только тогда, когда

P A P A | B

Независимость событий

Задача. Пусть для оборудования операционной нужно закупить аппарат искусственного дыхания. Мы можем воспользоваться двумя моделями. Первая – дорогая импортная модель, которая стоит 10 000$ и дает один отказ на 100 тысяч операций. Кроме этого нам предлагают дешевую отечественную модель, которая стоит всего 1000$, но отказывает на каждой сотой операции. Будем ли мы поддерживать отечественного производителя?

Независимость событий

Задача. Вы собираетесь лететь на самолете чартерным рейсом. При ближайшем осмотре самолета вы приходите в ужас от того, что его моторы работают с явными перебоями, но стюардесса вас утешает, т.к. хотя каждый из моторов и отказывает примерно на одном рейсе из ста, но самолет четырехмоторный, и если что, он и на трех моторах долетит. Полетим или откажемся?

Независимость событий

Решение.

oВероятность того, что не откажет ни один из двигателей, равна 0,99×0,99×0,99×0,99 = 0,9606.

oВероятность того, что откажет хотя бы один из четырех двигателей, равна 1 – 0,9606 = 0,0394.

oВероятность того, что откажет только первый двигатель, а остальные нет, равна

0,01×0,99×0,99×0,99 = 0,0097.

oВероятность того, что откажет ровно один двигатель из четырех, равна 4×0,0097 = 0,0388.

Независимость событий

Решение (продолжение).

oВероятность того, что у самолета откажет не более одного двигателя, равна 0,9606+0,0388 = 0,9994.

oВероятность того, что откажет больше одного двигателя (и самолет не долетит), равна 1–0,9994 = 0,0006, т.е. примерно 6 отказов на 10 тысяч полетов.

oПри средней продолжительности жизни в 70 лет (25 тысяч дней) вероятность смерти за день около

0,00004.

oПоездка оправдана, если продолжается более

0,0006 / 0,00004 = 14 дней.

Независимость событий

«Тонкое место» всех подобных расчетов – требование к независимости событий.

Однако у этих событий может быть некоторая общая компонента, чей вклад может коренным образом изменить ситуацию: плохие метеоусловия, некачественное горючее, плохое техобслуживание и так далее.

Пример несоответствия расчетной и фактической надежности – авария на Чернобыльской АЭС.

Закон больших чисел

Насколько частота может отличаться от вероятности?

Теорема (закон больших чисел). По мере увеличения объема наблюдений частота стремится к вероятности.

Теорема (усиленный закон больших чисел).

P A 1 P A

P A PN A ~ N

Для того, чтобы повысить точность в 10 раз, нужно объем наблюдений увеличить в 100 раз.

Закон больших чисел

Случайные величины

Дискретные случайные величины – случайные величины, которые могут принимать только одно значение из некоторого (конечного или бесконечного) набора X1, X2, …

Такие случайные величины можно задать набором

вероятностей:

p1 P X1 p2 P X 2

...

Пример:

oподбрасывание монеты до выпадения первой «решки».