PS3_10_13

Министерство образования и науки Российской Федерации Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение дополнительного образования детей «Заочная физико-техническая школа

Московского физико-технического института (государственного университета)»

Ф И З И К А

Решение задания №3 для 10-х классов

(2013 – 2014 учебный год)

г. Долгопрудный, 2013

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

Составитель: С.Д.Кузьмичев, доцент кафедры общей физики МФТИ

Физика: Решение задания №3 для 10-х классов (2013-2014 учебный год).

2013, 12 с.

Составитель:

Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

Подписано 17.12.13. Формат 60×90 1/16.

Бумага типографская. Печать офсетная. Усл. печ. л. 0,75. Уч.-изд. л. 0,66. Тираж 1500. Заказ №34-з.

Заочная физико-техническая школа Московского физико-технического института (государственного университета)

ООО «Печатный салон ШАНС»

Институтский пер., 9, г. Долгопрудный, Москов. обл., 141700. ЗФТШ, тел./факс [phone] – заочное отделение,

тел./факс [phone] – очно-заочное отделение, тел. [phone] – очное отделение.

e-mail: [e-mail]

Наш сайт: www.school.mipt.ru

© ЗФТШ, 2013

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

2

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

Контрольные вопросы

1. Тепловыми называют такие машины, в которых происходит превращение теплоты в механическую работу. Вещество, производящее работу в тепловых машинах, называют рабочим телом или рабочим веществом.

Чтобы рабочему телу сообщить некоторое количество теплоты, необходимо привести его в контакт с нагревателем. Количество теплоты, полученное от нагревателя, идѐт на увеличение внутренней энергии рабочего тела и совершение им работы. В результате этого рабочее тело, расширяясь, совершает работу. Для повторного использования двигателя поршень необходимо вернуть в исходное положение.

Чтобы рабочее тело возвращалось в исходное состояние, от него необходимо отводить некоторое количество теплоты. Для этого его приводят в контакт с холодильником. Холодильником называют такое тело, которому рабочее тело отдаѐт теплоту при сжатии. Таким образом, в любой тепловой машине должны присутствовать три элемента:

нагреватель, рабочее тело и холодильник.
2. Пусть Tp	T 30 K изменение температуры газа в процес-

се изобарического расширения. Тогда для работы ν молей газа в этом процессе можно записать

Ap νR T .

Из первого начала термодинамики Q	U Aгаза применительно
к адиабатическому процессу Q 0 для работы газа в этом процессе
получаем: AА U . Для изменения внутренней энергии ν молей
идеального одноатомного газа имеем:
U ν 3 R	Tа .
2

Здесь Tа – изменение энергии в адиабатическом процессе. Тогда для работы газа находим:

Aа ν 3 R Tа .
	2
Учитывая, что Ap Aа A , для	Tа получаем:
Tа 2	Tp 20 K .
3

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

3

U1 2

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

Таким образом, в рассматриваемом адиабатическом процессе температура газа уменьшится на 20 К.

3. Внутренняя энергия идеального газа прямо пропорциональна его абсолютной температуре. В изохорном процессе при увеличении давления газа на 25% его абсолютная температура также увеличивается на 25% (это следует из уравнения состояния идеального газа). Следовательно, внутренняя энергия азота в рассматриваемой ситуации увеличится на 25%, или в 1,25 раза.

4. Адиабатический процесс 1 – 2 (см. рисунок в задании) идѐт без
теплообмена Q1 2 0 , на изохоре 2 – 3 газ работы не совершает
A2 3 0 , а его температура увеличивается, т. е.		U2 3	0 . Следова-
тельно, на изохоре 2 – 3 газ получает теплоту Q2 3 0			. На изобаре 3
– 1 газ сжимается, следовательно A3 1	0 . При этом уменьшается его
температура, а значит и внутренняя	энергия	U3 1 0 . Согласно

первому началу термодинамики, количество теплоты, переданное газу

на этом участке цикла, равно Q3 1	U3 1	A3 1	0 , т. е.	газ отдаѐт
теплоту.		Q	U Aгаза
5. Из первого начала термодинамики				примени-
тельно к рассматриваемому адиабатическому процессу Q 0 для
работы газа получаем: Aгаза U . Учитывая соотношение между ра-
ботой газа и работой внешних сил	Aгаза	Aвнеш , для изменения

внутренней энергии гелия имеем:

U Aвнеш 80 Дж.

Так как гелий – одноатомный газ, то изменение его внутренней энергии определяется выражением

U ν 3 R	T	m	3 R T .
2		M He 2

Отсюда для изменения температуры газа находим:

	2	U M He		2 80 Дж 4 г / моль
T					3,2 К.
		3mR		3 8г 8,31Дж / моль× К

6. Внутренняя энергия ν молей идеального газа определяется соотношением U νCV T , где CV – молярная теплоѐмкость газа при постоянном объѐме, T – температура газа. Так как гелий является одноатомным газом, то для него CV ,He 3R / 2 . Азот же является двухатомным газом, и для него CV ,N 5R / 2 . Изменения внутренних энергий

гелия и азота в рассматриваемом процессе составят

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

4

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

U1 2,He

U1 2,N

3	νHe RT2		3	νHe RT1		3		m		R T ,
2			2			2		M He
5 νN RT2		5 νN RT1			5		m		R T .
2			2		2		M N

Используя уравнение состояния идеального газа PV νRT , для работы каждого из газов в процессе изобарического расширения получаем:

A1 2,He p V2 V1 pV2 pV1 νHe RT2 νHe RT1				m		R T ,
				M He
A1 2,N p V2 V1 pV2 pV1 νN RT2 νN RT1			m		R T .
		M N

Теперь для количеств теплоты, необходимых для нагревания гелия и

азота находим:

Q

U

A

3

ν R T ν R

T 5

m

R T ,

1 2,He

1 2,He

1 2 ,He

2

He

He

2

M He

Q

U

A

5

ν

R

T ν

R T 7 R

m

T .

1 2,N

1 2,N

1 2 ,N

2

N

N

2

M N

Отсюда для отношения количеств теплоты получаем

5

m

R

T

5 28г / моль

Q1 2,He

2

M He

5M N

5.

Q

7

m

7M He

7 4г / моль

1 2,N

2 R

M N

T

7. Пусть внутренняя энергия единицы объѐма воздуха U ρcT , где ρ, c, T – плотность воздуха, его удельная теплоѐмкость и температура соответственно. Из уравнения состояния идеального газа следует, что

mμ RT pV ( μ – молярная масса воздуха, R – универсальная газовая

постоянная). Следовательно, внутренняя энергия U определяется только давлением, а значит и энергия всего воздуха в комнате тоже определяется только его давлением. Оно остаѐтся постоянным, значит не изменяется и энергия воздуха в комнате. Нагреваясь, воздух частично вытекает через щели наружу, что и обеспечивает постоянство (несмотря на нагревание) внутренней энергии воздуха, находящегося в комнате.

8. Так как оба процесса – изотермические, то внутренняя энергия газа не изменяется U 0 . Тогда для них из первого начала термоди-

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

5

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

намики можно записать Q2 Qсжат Aсжат и Q1 Qрасш Aрасш (здесь Aсжат и Aрасш – работы внешних сил при сжатии и самого газа при расширении соответственно).

Работа численно равна площади под графиком процесса. Изменение объѐма газа для обоих процессов одинаковое. В процессе расширения

среднее давление газа pср.расш p0 (здесь p0 – давление в начальном состоянии). При сжатии pср.сжат p0 . Площадь под графиком изотерми-

ческого сжатия больше площади под графиком изотермического расширения:

Aсжат Pср.сжат V Aрасш Pср.расш V .

Следовательно Q2 Q1 .

Задачи

1. Так как объѐм газа не изменяется, то газ работы не совершает. В такой ситуации, как это следует из первого начала термодинамики, вся

подводимая теплота Q1 2	идѐт на увеличение внутренней энергии газа:
Q1 2	U2 U1 νCV ( T2 T1 ).
Здесь ν p1V / RT1 – число молей идеального газа, CV 3R / 2 –
его молярная теплоѐмкость при постоянном объѐме, T2 и T1 – конечная
и начальная температуры.

В изохорном процессе при увеличении давления в 2 раза температу-
ра также увеличивается в 2 раза						T2	2T1 . Это несложно показать,
используя	уравнения			начального			p1V νRT1	и	конечного
p2V νRT2	состояний газа.
Окончательно, для количества теплоты Q1 2 имеем:
	Q		p1V	3R ( 2T T ) 3 p V 1500 Дж.
			RT1
	1 2			2	1	1	2 1
2. Гелий – одноатомный идеальный газ. Пусть T2 – конечная темпе-
ратура гелия. Для работы гелия в изобарном процессе имеем:
	A1 2 p V2 V1				p2V2 p1V1 νR T2 T1				.

При выводе выражения для работы использованы уравнения начального p1V1 νRT1 и конечного p2V2 νRT2 состояний газа.

Теперь уравнение первого начала термодинамики для изобарического процесса можно записать следующим образом:

Q1 2 Q U2 U1 A1 2 23 νR T2 T1 νR T2 T1 25 νR T2 T1 .

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

6

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

Сравнивая полученное выражение с выражением для работы газа, получаем:

A1 2 52 Q 250 Дж.

Из первого начала термодинамики найдѐм конечную температуру газа

T2 T1 52νRQ 360K.

Для отношения конечного объѐма газа к начальному, учитывая, что данный процесс изобарный, находим:

V2 T2 1,2. V1 T1

3. Рассмотрим систему, составными частями которой являются две

порции гелия, находящиеся в разных сосудах. Так как объѐм системы
не изменяется		V1	V2	const , то система работы над другими телами
не совершает		A	0	. По условию задачи теплообмена с другими те-
лами	также нет		Q 0		. Тогда из первого	закона термодинамики
Q	U A	следует, что внутренняя энергия системы сохраняется
U 0 , или
	U1 ν1 3 RT1				ν2 3 RT2 U2 ν1	ν2 3 RT .
			2		2	2

Отсюда для установившейся температуры получаем:

T ν1T1 ν2T2 360 K.

ν1 ν2

4. В процессе изобарического нагревания 1 – 2 газу сообщается количество теплоты

Q1 ν 23 R T1 T0 νR T1 T0 ν 25 R T1 T0 .

где T0 300 K – начальная температура газа, T1 – его температура в конце изобарического процесса.

В процессе изохорического охлаждения газ отдаѐт количество теплоты

Q2 ν 23 R T1 T ,

где T – температура газа в конце изохорного охлаждения.

Используя полученные соотношения, для конечной температуры газа получаем:

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

7

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

T1 T0 52νRQ1 ,

TT1 23QνR2 T0 52νRQ1 23QνR2 300 K.

5.Найдѐм связь между работой

	A1 2	газа в процессе 1 – 2 (см. рис.1)				P
	и	изменением	его	температуры		2
	T2	T1 в этом процессе.
	Согласно графическому				методу
	расчѐта работы газа, модуль работы					1
	газа	A1 2 в процессе 1 – 2 численно
						3
	равен площади фигуры под графи-
	ком процесса в координатах				p,V . В	V
	нашем случае – это трапеция. Высота
						0
	трапеции равна V2 V1 ,			а основания
	– p1 и p2 (V1 ,V2		и p1 , p2 – объѐмы и			Рис. 1

давления газа в состояниях 1 и 2). Так как газ расширяется, то его работа положительна. Имеем:

A1 2 0,5 p2 p1 V2 V1 .

Так как давление гелия p в процессе 1–2 изменяется прямо пропор-

ционально его объѐму V , то справедливы соотношения	p1 αV1 и
p2 αV2 , где α – положительная константа. Тогда для	уравнений

Менделеева–Клапейрона в состояниях 1 и 2 имеем: p1V1 αV12 νRT1 и p2V2 αV22 νRT2 . С учѐтом этих соотношений выражение для работы A2 3 принимает вид:

A1 2 0,5α V22 V12 0,5νR T2 T1 .

Отсюда для разности температур T2 T1 получаем:

T2 T1 2 A1 2 .

νR

По условию задачи температуры гелия в состояниях 1 и 3 равныT3 T1 . Следовательно

T2 T3 2 A1 2 .

νR

Согласно определению, молярной теплоѐмкостью тела в тепловом процессе называется величина

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

8

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

	c	Q	,
		νΔT
где Q – сообщѐнное телу количество теплоты, T – изменение тем-
пературы тела,	ν – количество молей тела. Если теплоѐмкость является
постоянной величиной, то T – разность конечной и начальной темпе-
ратур тела.
Пусть T1 , T2	и T3 – температуры газа в состояниях 1, 2 и 3, соответ-
ственно. Так как по условию задачи молярная теплоѐмкость c2 3 гелия

остаѐтся постоянной в течение всего процесса 1–2, то еѐ расчѐт можно произвести по приведѐнной ниже формуле:

c2 3	Q2 3		.
	ν T3 T2

Применяя к этому процессу первый закон термодинамики, получаем:

Q2 3 ν c2 3 T3 T2 U3 U2 A2 3 .

Учитывая, что гелий является одноатомным газом, перепишем последнее соотношение:

Q2 3 ν c2 3 T3 T2 3 νR T3 T2 A2 3 .
					2
Рассчитаем количество теплоты Q2 3 , учитывая полученное выше
выражение для разности температур T2 T3 :
Q2 3	U3 U 2 A2 3 3				νR T3 T2 A2 3
		2
	3	νR	2A1 2	A2 3	A2 3 3A1 2 400 Дж.
	2		νR

Воспользуемся полученными выражениями для расчѐта искомой теплоѐмкости c2 3 :

c2 3	Q2 3			A2 3 3A1 2				3A1 2 A2 3	R R.
	ν T3 T2			ν	2A1 2			2A1 2
					νR

6. Пусть h1 и h2 – расстояния от поршня до дна сосуда в начале и в конце первого опыта, T1 и T2 – начальная и конечная температуры газа в первом опыте, S – площадь поршня, m – его масса.

Применим к описанию происходящего в системе процесса первый закон термодинамики. Так как стенки сосуда и поршень тепло-

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

9

2013-2014 уч. год, №3, 10 кл. Физика. Решение

непроводящие, то Q1 2 0 . Пренебрежение теплоѐмкостями сосуда и поршня означает, что следует учитывать только изменение внутренней энергии газа. С учѐтом этих обстоятельств запишем первый закон в следующей форме:

Q1 2 0 U2 U1 Aгаза ,

где U1 3νRT1 / 2 и U2			3νRT2	/ 2 – начальное и конечное значения
внутренней энергии ν		молей гелия (гелий – одноатомный газ),				Aгаза –
работа газа.
Рассчитаем Aгаза . Результатом совершѐнной газом работы является
опускание	поршня	с	гирей	(общая масса	3,5m ) на	высоту
h h1 h2	h1 h2 . При этом потенциальная энергия поршня и гири
W уменьшилась на 3,5mgh . Таким образом, получаем:
	Aгаза W 3,5mgh 3,5mg h2				h1 .
Пусть	p1 и p2 –	начальное и конечное давления газа, V1				h1S и
V2 h2 S - начальный и конечный объѐмы газа. Как в начальном, так и

в конечном состояниях равновесия действующая на поршень (или гирю и поршень) сила тяжести поршня уравновешивается только силой давления газа (внешнее давление отсутствует):

mg = p1S, 3,5mg = p2S,

откуда видно, что p2 = 3, 5 p1 (по условию задачи масса гири в 2,5 раза больше массы поршня). Используя уравнения состояния

p1V1 mgh1 νRT1 , p2V2 3,5mgh2 νRT2 .

Выражение для работы Aгаза , с учѐтом полученных соотношений, можно преобразовать к следующему виду:

Aгаза 3,5mgh2 3,5mgh1 RT2 3,5 RT1 .

Подставляя найденное выражение для работы в уравнение первого закона термодинамики получаем:

U 2 U1 Aгаза ν 32 RT2 ν 32 RT1 νRT2 3,5νRT1 0.

Отсюда для температуры T2 находим T2 2T1 600 К .

Для нахождения количества теплоты Q2 3 , необходимого для возвращения газа в состояние с начальной температурой T1 в процессе изобарного охлаждения, воспользуемся первым началом термодинамики:

2013, ЗФТШ МФТИ, Кузьмичѐв Сергей Дмитриевич

10